Cálculo Vetorial -Produto Misto

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Cálculo Vetorial 
Aula 4: Produto Misto 
Prof. André Assumpção 
I. Produto Misto 
 
 Dados os vetores u, v e w, o produto misto entre esses vetores será dado por 
(uxv).w. Ou seja, será um número real oriundo do produto vetorial entre u e v, 
seguido do produto interno entre (uxv) e w. 
 Por exemplo: 
Ex1.: Dados os vetores u = (2; -1; 3), v = (-1; 4; 1) e w = (5; 1; -2), o produto misto 
(uxv).w será: 
 
(uxv) = (-13; -5; 7) 
(uxv).w = (-13; -5; 7).(5; 1; -2) = -84. 
 
 O produto misto também pode ser calculado por meio do determinante da 
matriz formada pelos vetores u, v e w. Assim, para os vetores do exemplo acima, 
teremos: 
 
det 
84
215
141
312




 
 
 Vejamos outro exemplo. 
Ex2.: Dados os vetores u = (-2; 1; 1), v = (-1; -1; 1) e w = (2; 1; -2), calcule o produto 
misto entre u, v e w. 
det 
1
212
111
112




. 
 
II. Interpretação Geométrica do Produto Misto 
 
Volume do Paralelepípedo formado por três vetores 
 Vamos considerar o paralelepípedo formado pelos vetores u, v e w, conforme 
apresentado na figura abaixo. 
 
 uxv 
 w 
 h u 
 
 
 v 
 
 
 
Sabemos que a Área da base desse 
paralelepípedo será dada pelo módulo do 
produto vetorial uxv. Além disso, a altura 
do sólido será dada pela projeção do vetor 
w no vetor uxv. 
 
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 O volume desse paralelepípedo será dado pelo módulo do produto misto entre 
os vetores u, v e w. Assim, teremos: 
 
V = |(uxv).w| 
 
Ex3.: Determine o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u = (3; 5; 7), v = 
(2; 0; -1) e w = (0; 1; 3). 
 
V = |(uxv).w|  V = |(-5, 17, -10).(0; 1; 3)| = |-13| = 13 u.v. 
 
Relação entre os volumes do paralelepípedo, da pirâmide de base retangular e do 
tetraedro 
 
 Vamos lembrar da relação existente entre os volumes do paralelepípedo, da 
pirâmide de base retangular e do tetraedro. 
 
 Sabemos que o volume do paralelepípedo é dado por: 
 
 
 V = Ab.h 
 Sendo: Ab = Área da base; 
 h = altura; 
 
 
 A pirâmide de base retangular terá volume igual a 1/3 do volume do 
paralelepípedo. Assim, teremos: 
 
 
 
 Vp = 1/3.Ab.h 
 Sendo: Ab = Área da base; 
 h = altura; 
 
 
 O tetraedro terá volume igual a ½ do volume da pirâmide de base retangular. 
Assim, teremos: 
 
 Vt = 1/2.1/3.Ab.h  Vt = 1/6.Ab.h 
 Sendo: Ab = Área da base; 
 h = altura; 
 
 
 
 
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 Portanto, para calcularmos o volume de uma pirâmide de base retangular, 
formada pelos vetores u, v e w, teremos: 
 
Vp = 1/3. |(uxv).w|. 
 
 Da mesma forma, o volume de um tetraedro formado pelos vetores u, v e w será 
dado por: 
 
Vt = 1/6.|(uxv).w| 
 
Ex4.: Determine o volume da pirâmide de base retangular formada pelos vetores u = 
(3; 5; 7), v = (2; 0; -1) e w = (0; 1; 3). 
 
Vp = 1/3.|(uxv).w|  V = 1/3.|(-5, 17, -10).(0; 1; 3)| = 1/3.|-13| = 13/3 u.v. 
 
Ex5.: Determine o volume do tetraedro formado pelos vetores u = (3; 5; 7), v = (2; 0; -
1) e w = (0; 1; 3). 
 
Vp = 1/6.|(uxv).w|  V = 1/6.|(-5, 17, -10).(0; 1; 3)| = 1/6.|-13| = 13/6 u.v. 
 
Distância entre ponto e reta 
 
 Dada a reta r: ax + by + c = 0 e um ponto P fora da reta, a distância entre P e a reta 
será dada por: 
 P=(x1;y1) r: ax + by + c = 0 
 
 dP;r 
 
22
11
;
ba
cbxax
d rP



 
 Assim, para um ponto P=(1;3) e uma reta r: 3x + 4y + 5 = 0, a distância entre P e r 
será: 
 
cu
ba
cbxax
d rP .4
4
20
169
53.41.3
22
11
; 






 
 
Distância entre ponto e plano 
 
 Considerando um plano  que contenha os vetores u e v, e um ponto P = (x1; y1; 
z1) fora desse plano, a distância entre P e  será calculada da seguinte forma: 
 
 
 
 
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P=(x1; y1; z1) 
 
  
 u 
 O Ab 
 v 
 
Assim, teremos: 
uxv
uxvV
hhuxvuxvV
PO
PO
.
.. 
 
Vejamos o exemplo abaixo. 
Ex6.: Determine a distância entre o ponto P=(5; 2; 1) e o plano que contém os vetores 
u = (1; 2; -1) e v = (3; 3; 1). 
Teremos uxv = (5; 4; -3). Assim, |uxv| = 
25)3(425 22 
. 
Portanto, d =
..23
25
30
25
)1;2;5).(34;5(
cu

 
Numa próxima aula veremos outra maneira de determinar a distância entre um 
ponto e um plano. 
 
Exercícios: 
1) Calcule o produto misto entre os seguintes vetores: 
(a) u= (-1; 2; -2); v = (0; 1; 1) e w = (1; 1; 0); 
(b) u = (1; 1; 1); v = (-2; 2; 0) e w = (-1; 3; 1); 
2) Explique o resultado obtido no exercício 1(b). 
3) Dados os vetores u = (-1; 2; 3), v = (2; 1; 1) e w = (1; 3; k), determine o valor de k 
para que os três vetores sejam coplanares. 
4) Calcule o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u = (1; 0; 1), v = (1; 1; 
1) e w = (0; 3; 3). 
5) Calcule o volume da pirâmide de base retangular formada pelos vetores u = (1; 0; 
1), v = (1; 1; 1) e w = (0; 3; 3). 
6) Calcule o volume do tetraedro formado pelos vetores u = (1; 0; 1), v = (1; 1; 1) e w 
= (0; 3; 3). 
Gabarito: 
1) (a) 5; (b) 0 
2) O produto misto nulo obtido entre os vetores indica que os três vetores são 
coplanares. 
3) K = 4 
4) V = 3 u.v 
5) Vp = 1 u.v 
6) Vt = ½ u.v 
Até breve.... 
Sabemos que Ab = |vxu| e que V = |VPO.vxu|, sendo VPO: vetor 
formado pelos pontos P e O. Além disso, sabemos que V = Ab.h, 
sendo h = dP; (distância entre o ponto P e o plano ).