Aula5-Probabilidade (intro)

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© E. Novaes	
 1	
Universidade	
  Federal	
  de	
  Goiás	
  
Escola	
  de	
  Agronomia	
  e	
  Engenharia	
  de	
  Alimentos	
  
Engenharia	
  Florestal	
  
Disciplina: Estatística e Experimentação Florestal	
Professor: Evandro Novaes	
Probabilidade – introdução	
Capítulo 3	
© E. Novaes	
Aula	
  de	
  hoje	
  
© E. Novaes	
© E. Novaes	
 2	
Inferência	
  esta-s.ca	
  
•  Esta-s.ca	
  Indu.va	
  (Inferência	
  esta-s.ca):	
  a	
  par.r	
  de	
  
amostras	
  permite	
  inferências	
  (induções)	
  	
  prováveis	
  	
  sobre	
  	
  a	
  
população	
  
–  Problema:	
  amostra	
  não	
  é	
  idên.ca	
  à	
  população;	
  
–  Precisa-­‐se:	
  medida	
  de	
  erro	
  ou	
  acurácia	
  para	
  dizer	
  quão	
  próximo	
  
(representa.vo)	
  são	
  as	
  es.ma.vas	
  das	
  esta-s.ca	
  descri.va	
  
(amostrais)	
  em	
  relação	
  aos	
  parâmetros	
  populacionais.	
  
Probabilidade	
  é	
  a	
  ferramenta	
  que	
  nos	
  
permite	
  calcular	
  essas	
  acurácias	
  
© E. Novaes	
Es
ta
tís
tic
a 
D
es
cr
iti
va
	
Te
or
ia
 d
e 
Pr
ob
ab
ili
da
de
s	
Inferência Estatística 
(paramétrica)	
Slide gentilmente cedido pelo Prof. Alexandre S. G. Coelho	
© E. Novaes	
 3	
Usos	
  da	
  probabilidade	
  -­‐	
  exemplos	
  
1.  Meteorologistas:	
  70%	
  de	
  chance	
  de	
  chover	
  
amanhã;	
  
2.  Teste	
  de	
  gravidez:	
  não	
  são	
  100%	
  acurados	
  
(%falsos	
  +	
  e	
  %falsos	
  -­‐);	
  
•  Qual	
  é	
  a	
  P(gravidez/teste	
  +)?	
  
3.  Viveiro	
  =>	
  “sementes	
  de	
  baru	
  possuem	
  taxa	
  
de	
  germinação	
  de	
  75%”	
  
•  Você	
  planta	
  20	
  sementes	
  e	
  somente	
  2	
  germinam.	
  
© E. Novaes	
Histórico	
	
Blaise Pascal (1623-1662)	
Pierre de Fermat (1601-1665)	
Slide gentilmente cedido pelo Prof. Alexandre S. G. Coelho	
Da Silva e Coutinho (2005)	
Link para as cartas 
traduzidas	
© E. Novaes	
 4	
Conceito	
  de	
  probabilidade	
  
Clássico:	
  probabilidade	
  pode	
  ser	
  estabelecida	
  a	
  priori.	
  
	
   	
  -­‐	
  somente	
  aplica-­‐se	
  aos	
  casos	
  em	
  que	
  todos	
  os	
  resultados
	
  são	
  igualmente	
  prováveis.	
  
	
   	
  -­‐	
  surgiu	
  dos	
  jogos	
  de	
  azar	
  
	
  
	
  
	
   	
  -­‐	
  exemplos:	
  a)	
  jogar	
  uma	
  moeda	
  e	
  anotar	
  o	
  resultado	
   	
  (cara	
  
ou	
  	
  coroa);	
  b)	
  dado;	
  c) 	
  baralho	
  
	
   	
  -­‐	
  Problema:	
  resultados	
  geralmente	
  não	
  são	
  igualmente	
  
	
  prováveis;	
  
€ 
P(A) = NAN
© E. Novaes	
Conceito	
  de	
  probabilidade	
  
Frequência	
  rela\va:	
  probabilidade	
  é	
  estabelecida	
  a	
  
posteriori	
  baseado	
  nos	
  cálculos	
  empíricos	
  de	
  
frequências	
  rela\vas	
  
	
  
	
  
	
  
	
   	
  -­‐	
  exemplo:	
  taxa	
  de	
  germinação	
  em	
  baru	
  
	
  
© E. Novaes	
© E. Novaes	
 5	
Frequência	
  rela\va	
  
• 	
  Conceito	
  com	
  maior	
  abrangência	
  
	
  
	
  
	
  
	
   	
  	
  
	
  
€ 
n =10
© E. Novaes	
Frequência	
  rela\va	
  
• 	
  Conceito	
  com	
  maior	
  abrangência	
  
	
  
	
  
	
  
	
   	
  	
  
	
  
€ 
n =100
© E. Novaes	
© E. Novaes	
 6	
Propriedades das probabilidades 	
	
P(A) = 0⇔ evento é impossível
P(A) = 1⇔ evento é certo
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(A) + P(A) = 1
Slide gentilmente cedido pelo Prof. Alexandre S. G. Coelho	
Regras para se combinar probabilidades 	
	
P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A e B)
Probabilidade de ocorrência de dois eventos quaisquer	
Slide gentilmente cedido pelo Prof. Alexandre S. G. Coelho	
S	
A	
 B	
P(A	
  ou	
  B)	
  =	
  	
  
P(A	
  e	
  B)	
  =	
  	
  
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 7	
Exemplo	
  -­‐	
  baralho	
  
•  Qual	
  é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  se	
  obter	
  um	
  “Ás”	
  
ou	
  uma	
  carta	
  qualquer	
  de	
  “Copas”	
  ao	
  re\rar	
  
uma	
  carta	
  do	
  baralho?	
  
S	
A	
 B	
P(A	
  ou	
  B)	
  =	
  	
  
€ 
P(A∪ B) = P(A) + P(B) − P(A∩ B)
€ 
P(A∪ B) = 452 +
13
52 −
1
52
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Exemplo	
  
•  Com	
  base	
  nas	
  probabilidades	
  do	
  diagrama	
  de	
  
Venn	
  abaixo,	
  determine:	
  
a)  P(A),	
  P(Ā)	
  
b)  P(B),	
  P(B)	
  
c)  P	
  
d)  P	
  
S	
A	
 B	
0,45	
   0,15	
  
0,05	
  
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© E. Novaes	
 8	
Exemplo	
  
-­‐	
  Em	
  um	
  plan\o	
  florestal,	
  numa	
  dada	
  região,	
  sabe-­‐se	
  que	
  em	
  
média	
  10%	
  das	
  plantas	
  sofrem	
  com	
  o	
  ataque	
  da	
  ferrugem,	
  
15%	
  com	
  cercospora	
  e	
  23%	
  sofrem	
  com	
  pelo	
  menos	
  uma	
  das	
  
doenças.	
  Calcule	
  as	
  probabilidades	
  de:	
  
	
   	
  a)	
  plantas	
  infectadas	
  com	
  os	
  dois	
  patógenos;	
  
	
   	
  b)	
  plantas	
  sadias;	
  
	
   	
  c)	
  plantas	
  infectadas	
  com	
  um	
  ou	
  outro	
  patógeno,	
  mas	
  
	
  não	
  ambos;	
  
© E. Novaes	
✓  Dois eventos A e B são considerados mutuamente exclusivos (ou disjuntos) se:	
✓  Quando A ocorre, B não pode ocorrer e vice-versa;	
Eventos mutuamente exclusivos 	
	
P(A e B) = 0
Slide gentilmente cedido pelo Prof. Alexandre S. G. Coelho	
S	
A	
 B	
P(A	
  e	
  B)	
  =	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  =	
  0	
  
© E. Novaes	
 9	
Regras para se combinar probabilidades 	
	
P(A ou B) = P(A) + P(B)
Probabilidade de ocorrência de dois eventos mutuamente exclusivos (disjuntos)	
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Exemplos	
  –	
  eventos	
  disjuntos	
  
•  Qual	
  é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  se	
  amostrar	
  uma	
  
planta	
  de	
  baixa	
  resistência	
  ou	
  uma	
  de	
  alta	
  
resistência	
  a	
  ferrugem	
  em	
  uma	
  família	
  de	
  
Eucalyptus?	
  
•  Qual	
  é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  se	
  obter	
  um	
  
“Valete”,	
  “Dama”	
  ou	
  “Rei”	
  ao	
  re\rar	
  uma	
  
carta	
  do	
  baralho?	
  
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© E. Novaes	
 10	
Probabilidade condicional 	
	
P(B / A) = P(A e B)P(A)
Slide gentilmente cedido pelo Prof. Alexandre S. G. Coelho	
S	
A	
 B	
P(A	
  e	
  B)	
  =	
  	
  
Exemplo	
  
	
   	
  Em	
  um	
  plan\o	
  florestal,	
  numa	
  dada	
  região,	
  sabe-­‐se	
  que	
  
em	
  média	
  10%	
  das	
  plantas	
  sofrem	
  com	
  o	
  ataque	
  da	
  
ferrugem,	
  15%	
  com	
  cercospora	
  e	
  2%	
  sofrem	
  com	
  as	
  duas	
  
doenças.	
  Calcule	
  a	
  probabilidades	
  de	
  uma	
  árvore	
  estar	
  
infectada	
  com	
  cercospora	
  dado	
  que	
  ela	
  tem	
  ferrugem?	
  
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© E. Novaes	
 11	
Independência entre eventos	
	
P(B) = P(B / A)
✓  Dois eventos A e B são considerados independentes se:	
✓  A probabilidade de ocorrência do evento B não é afetado pela ocorrência ou não 
de A	
Slide gentilmente cedido pelo Prof. Alexandre S. G. Coelho	
Exemplo: sexo dos filhos	
Testar	
  a	
  independência	
  
•  Verificar	
  se	
  os	
  eventos	
  abaixo	
  são	
  
independentes:	
  
– Re\rar	
  uma	
  carta	
  ás	
  
– Re\rar	
  uma	
  carta	
  decopas	
  
€ 
P(ás) = 452 =
1
13
€ 
P(ás /copas) = P(ás∩ copas)P(copas) =
1/52
13/52 =
1
13
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© E. Novaes	
 12	
Regras para se combinar probabilidades 	
	
P(A e B) = P(A) . P(B)
Probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos independentes	
Slide gentilmente cedido pelo Prof. Alexandre S. G. Coelho	
Exemplo: sexo dos filhos	
Exemplo	
  –	
  probabilidade	
  de	
  ocorrência	
  de	
  
dois	
  eventos	
  simultaneamente	
  
-­‐	
  Em	
  um	
  plan\o	
  florestal,	
  numa	
  dada	
  região,	
  sabe-­‐se	
  que	
  em	
  
média	
  15%	
  das	
  plantas	
  sofrem	
  com	
  o	
  ataque	
  da	
  ferrugem	
  e	
  a	
  
taxa	
  de	
  mortalidade	
  no	
  primeiro	
  ano	
  após	
  plan\o	
  é	
  de	
  8%.	
  
Calcule	
  a	
  probabilidade	
  da	
  planta	
  ter	
  ferrugem	
  e	
  morrer	
  no	
  
primeiro	
  ano	
  após	
  o	
  plan\o.	
  
Será	
  que	
  as	
  árvores	
  infectadas	
  com	
  ferrugem	
  
morrem	
  na	
  mesma	
  proporção?	
  
© E. Novaes	
© E. Novaes	
 13	
Regras para se combinar probabilidades 	
	
P(A e B) = P(A) . P(B / A)
Probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos quaisquer	
Slide gentilmente cedido pelo Prof. Alexandre S. G. Coelho	
€ 
P(A∩ B) = P(A) *P(B /A)
€ 
P(A∩ B) = P(B) *P(A /B)
Exemplo	
  –	
  probabilidade	
  de	
  ocorrência	
  de	
  
dois	
  eventos	
  simultaneamente	
  
-­‐	
  Em	
  um	
  plan\o	
  florestal,	
  numa	
  dada	
  região,	
  sabe-­‐se	
  que	
  em	
  
média	
  15%	
  das	
  plantas	
  sofrem	
  com	
  o	
  ataque	
  da	
  ferrugem	
  e	
  a	
  
taxa	
  de	
  mortalidade	
  das	
  plantas	
  infectadas	
  com	
  ferrugem	
  é	
  
de	
  30%	
  no	
  primeiro	
  ano	
  de	
  vida.	
  Calcule	
  a	
  probabilidade	
  da	
  
planta	
  ter	
  ferrugem	
  e	
  morrer	
  no	
  primeiro	
  ano	
  após	
  o	
  plan\o.	
  
© E. Novaes	
© E. Novaes	
 14	
Exemplo	
  –	
  probabilidade	
  condicional	
  e	
  
teorema	
  de	
  Bayes	
  
-­‐ Teste	
  de	
  HIV	
  (gravidez,	
  bacteriose	
  vascular)	
  
-­‐ 	
  Empresa	
  farmacêu\ca	
  conduz	
  um	
  teste	
  para	
  avaliar	
  as	
  taxas	
  de	
  
erros	
  em	
  seu	
  teste;	
  
-­‐ 	
  Sabendo	
  que	
  somente	
  4.5%	
  das	
  pessoas	
  que	
  fazem	
  o	
  teste	
  são	
  de	
  
fato	
  HIV+,	
  calcule	
  a	
  probabilidade	
  de	
  uma	
  pessoa	
  ser	
  HIV+	
  dado	
  que	
  
ela	
  obteve	
  um	
  resultado	
  +	
  no	
  teste.	
  
Diagnós.co	
  do	
  
teste	
  
HIV+	
   HIV-­‐	
  
posi\vo	
   950	
   10	
  
nega\vo	
   50	
   990	
  
Total	
   1000	
   1000	
  
€ 
P(HIV + / teste+) = ?
© E. Novaes	
Derivação	
  fórmula	
  de	
  Bayes	
  
€ 
P(HIV + / teste+) = P(HIV
+ ∩ teste+)
P(teste+)
€ 
P(HIV + / teste+) = P(HIV
+ ∩ teste+)
P(HIV + ∩ teste+) + P(HIV − ∩ teste+)
€ 
P(HIV + / teste+) = P(HIV
+) *P(teste+ /HIV +)
P(HIV +) *P(teste+ /HIV +) + P(HIV −) *P(teste+ /HIV −)
-	
HIV+	
 teste
+	
Falso-	
 Falso+	
© E. Novaes	
© E. Novaes	
 15	
Fórmula de Bayes 	
	
P(A / B) = P(A) . P(B / A)P(A) . P(B / A) + P(A) . P(B / A)
Slide gentilmente cedido pelo Prof. Alexandre S. G. Coelho	
Muito útil para inverter condicionais