Cálculo Numérico - Lista sistemas

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Universidade Federal de Minas Gerais
Cálculo Numérico
Lista 01 - Sistemas Lineares
Professor: Rosklin Juliano Chagas
1o semestre - 2015
Exercícios
1. Resolva o seguinte sistema linear utilizando o método de eliminação de Gauss sem
pivotação parcial. 
2x1 − 3x2 + x3 = −5
4x1 − 8x2 − x3 = −7
x1 + 2x2 + x3 = 4
2. Resolva o seguinte sistema linear utilizando o método de eliminação de Gauss com
pivotação parcial. 
2x1 + 3x2 + 4x3 = −2
3x1 + 2x2 − x3 = 4
5x1 − 4x2 + 3x3 = 8
3. Verificar, utilizando o método de Eliminação de Gauss com pivotação parcial, que o
sistema linear a seguir não tem solução única.
x1 + 2x2 + x3 = 3
2x1 + 3x2 + x3 = 5
3x1 + 5x2 + 2x3 = 1
4. Resolva o sistema abaixo em relação aos vetores independentes b1, b2, b3 e b4, onde
b1 = [24, 36, 39]
T e: bi+1 = bi + xi ∀ i > 0. Indique e justifique o método que
você escolheu. Para cada caso, verifique a exatidão da solução com o cálculo do vetor
resíduo r = b−Ax e a unicidade da solução.
1
 2 3 11 2 3
3 2 1
 x = bi
5. Resolva os sistemas lineares usando a decomposição LU com pivotação parcial. −1 2 12 1 2
2 5 3
 x1x2
x3
 =
 −1015
32

Verificar o resultado com o software de sua preferência. Sugestão: Scilab.
6. Obtenha a decomposição de Cholesky para as matrizes A e B abaixo e determine o
determinante de cada uma a partir dos elementos da diagonal da respectiva L. Use
três casas decimais.
A =

4 −4 2 8
−4 5 −7 −10
2 −7 42 18
8 −10 18 46
 B =

4 2 1 1
2 9 12 −16
1 12 37 −43
1 −16 −43 98

7. Considere o sistema linear Ax = b abaixo:
 4 2 142 17 −5
14 −5 83
  x1x2
x3
 =
 14−101
155

(a) Resolva o sistema usando a Decomposição de Cholesky. (Utilize 2 casas decimais)
(b) A matriz A acima é definida positiva? Justifique sua resposta.
(c) Calcule o determinante da matriz A
(d) Verifique, comente e justifique a unicidade da solução.
8. Por que usar pivotação parcial ao aplicar métodos numéricos baseados na eliminacão
de Gauss na solução de sistemas de equações lineares?
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9. Mostre que resolver AX = B, onde A é uma matriz n×n, X e B são matrizes n×m
é o mesmo que resolver m sistemas do tipo Ax = b, onde x e b são vetores coluna de
n linhas.
10. A partir da demonstração do exercício anterior, mostre que A−1, onde A é uma matriz
n× n, pode ser obtida pela resolução de n sistemas lineares.
11. Explique a diferença entre as decomposições A = LU e PA = LU . Como é o formato
da matriz P e que informação relacionada ao processo de fatoração ela carrega? As
matrizes L e U obtidas na fatoração A = LU são as mesmas que aparecem em
PA = LU? Para cada um dos dois casos, explique como o sistema Ax = b pode ser
solucionado depois que a fatoração de A foi obtida. Justifique todas as suas respostas.
12. Proponha um problema em sua área de interesse que resulte na necessidade de solução
de um, ou mais, sistema de equações lineares. Contextualize o problema e formalize o
sistema de equações a partir da teoria que descreve o caso em estudo. Depois, indique
como os métodos estudados podem ser empregados para solucionar o sistema.
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