Definições sobre funções, domínios e imagem.

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Func¸o˜es e suas Propriedades
David Zavaleta Villanueva.
villanueva@ccet.ufrn.br
§1 Conceitos Ba´sicos
Sejam X e Y dois conjuntos. Suponhamos que seja dada uma lei
ou regra f pela qual a cada nu´mero(elemento) x ∈ X fazemos corresponder
com um u´nico nu´mero(elemento) y ∈ Y , enta˜o dizemos que esta´ definida
uma func¸a˜o y = f(x).
Definic¸a˜o. O conjunto X chama-se domı´nio da func¸a˜o e o conjunto Y
chama-se contradomı´nio da func¸a˜o.
Vejamos um exemplo para ilustrar a definic¸a˜o acima. A a´rea de um
retaˆngulo inscrito num triaˆngulo e´ uma func¸a˜o do comprimento da sua base.
Exemplo. Expresse a a´rea do retaˆngulo ABCD em func¸a˜o do compri-
mento de sua base x, se ele esta´ inscrito no triaˆngulo MNP cuja base mede
10cm e cuja altura mede 6cm como indica a figura embaixo.
A a´rea do nosso retaˆngulo e´ uma func¸a˜o de x, isto e´, a a´rea do retaˆngulo
vai depender de como sera´ inscrito o retaˆngulo no triaˆngulo. Assim, de-
1
notemos o comprimento da altura do retaˆngulo por AB = a, e portanto
PT = 6−a. Podemos escrever a a´rea do triaˆngulo MNP como sendo a soma
das a´reas de treˆs triaˆngulos mais a soma da a´rea de nosso retaˆngulo, isto e´,
A´rea(4MNP ) = A´rea(4MAB) + A´rea(4CDN) + A´rea(4PBC) + A´rea(2ABCD)
10× 6
2
=
MA× AB
2
+
CD ×DN
2
+
BC × PT
2
+ AB × AD
10× 6
2
=
MA× a
2
+
a×DN
2
+
x(6− a)
2
+ ax
30 =
(MA+DN)× a
2
+
x(6− a)
2
+ ax
30 =
(10− x)a
2
+
x(6− a)
2
+ ax
60 = 10a− ax+ 6x− ax+ 2ax.
Daqui temos, 60 = 10a+ 6x, donde
a =
60− 6x
10
=
6(10− x)
10
= 0, 6(10− x).
Como a a´rea do retaˆngulo ABCD e´ dado por ax, enta˜o temos
A´rea retaˆngulo ABCD = 0, 6x(10− x).
A notac¸a˜o que usaremos para dizer que f e´ uma func¸a˜o de X em Y e´ a
seguinte;
f : X → Y
x 7→ f(x)
onde, x 7→ f(x) e´ para indicar que f faz corresponder o elemento x ao
elemento f(x).
Definic¸a˜o. O conjunto Im(f) ⊂ Y de todos os valores de y, tal que para
cada um deles existe ao menos um x ∈ X com y = f(x), chama-se Imagem
da func¸a˜o f . Em termos da teoria de conjuntos,
Im(f) = {y ∈ Y ; ∃ x ∈ X tal que f(x) = y}.
Se a func¸a˜o esta´ dada mediante uma fo´rmula, enta˜o dizemos que ela esta´
definida de forma anal´ıtica, como por exemplo, as seguintes func¸o˜es:
1. y = 4x5 − 2x+ 3, x ∈ [0,∞)
2
2. y =
x+ 8
x2 + 4x
, x ∈ R\ ({0} ∪ {−4})
3. y =
{
2x3 − 1, se x ≤ 0,
3x2 + x+ 5, se x > 0,
§2 Domı´nio de uma Func¸a˜o
Chamamos de domı´nio de definic¸a˜o de uma func¸a˜o f : X → Y ao
conjunto de todos os valores de x ∈ X, para os quais a expressa˜o f(x) esteja
bem definida, ou seja, f(x) ∈ Y .
Consideremos alguns exemplos.
Exemplo. Encontre o domı´nio da func¸a˜o f(x) =
1√
9− x2 .
O domı´nio da func¸a˜o dada consiste de todos os pontos x para os quais
a expresa˜o
√
9− x2 tenha sentido e ale´m disso, seja poss´ıvel a divisa˜o por√
9− x2. Desta forma, temos 9− x2 > 0, isto e´ |x| < 3. Portanto o domı´nio
da func¸a˜o acima e´ o intervalo (−3, 3).
Exemplo. Encontre o domı´nio de existeˆncia da func¸a˜o f(x) + g(x), se
f(x) =
√
log5(3−
√
x− 1) e g(x) =
√
log5 x√−x2 + x+ 6 .
O domı´nio de f(x) + g(x) sera´ o domı´nio comum de f(x) e g(x). Como
log5(3−
√
x− 1) ≥ 0 ⇐⇒ 3−√x− 1 ≥ 1 ⇐⇒ 2 ≥ √x− 1 ⇐⇒
⇐⇒
{
x− 1 ≥ 0
4 ≥ x− 1 ⇐⇒
{
x ≥ 1
x ≤ 5 ⇐⇒ 1 ≤ x ≤ 5,
segue que o domı´nio de existeˆncia da func¸a˜o f(x) e´ o intervalo [1, 5].
Como
−x2 − x+ 6 > 0 ⇐⇒ x2 + x− 6 < 0 ⇐⇒
⇐⇒ (x+ 3)(x− 2) < 0 ⇐⇒
⇐⇒ −3 < x < 2,
3
log5 x ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 1,
enta˜o, resolvendo o sistema { −3 < x < 2,
x ≥ 1,
encontramos que o domı´nio de existeˆncia da func¸a˜o g(x) e´ o intervalo [1, 2).
Resolvendo o sistema {
1 ≤ x ≤ 5,
1 ≤ x < 2,
encontramos que o domı´nio da func¸a˜o f(x)+g(x) consiste do intervalo [1, 2).
Exemplo. Encontre o domı´nio de existeˆncia da func¸a˜o
f(x) =
√
log15 cos 2x.
Como
log15 cos 2x ≥ 0 ⇐⇒ cos 2x ≥ 1 ⇐⇒ cos 2x = 1 ⇐⇒ 2x = 2kpi, ⇐⇒ x = kpi, k ∈ Z.
Exemplo. Encontre o domı´nio da func¸a˜o
f(x) =
√
log3
1− x
x+ 2
.
Primeiramente, observamos
log3
1− x
x+ 2
≥ 0 ⇐⇒ 1− x
x+ 2
≥ 1, x 6= −2 ⇐⇒
⇐⇒ 1− x
x+ 2
− 1 ≥ 0 ⇐⇒
⇐⇒ (−2x− 1)(x+ 2)
(x+ 2)2
≥ 0 ⇐⇒
⇐⇒ (2x+ 1)(x+ 2) ≤ 0,
donde, encontramos,
x ∈ (−2,−1/2].
Exemplo. Encontre o domı´nio da func¸a˜o f(x) = log2(5−x)−log2(x+8).
Da definic¸a˜o de logaritmo, temos, 5− x > 0, e x + 8 > 0, ou seja, x < 5
e x > −8, donde
−8 < x < 5.
Exemplo. Encontre o domı´nio das seguintes func¸o˜es
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1. f(x) = 3
√
x+ 10− 7√x− 9;
2. f(x) =
√
x+ 8− 4√12− x
1. Observamos que a func¸a˜o 3
√
x+ 10 esta´ definida para todo x+ 10 ∈ R,
ou seja −∞ < x + 10 < ∞ ⇐⇒ −∞ < x < ∞. Da mesma forma,
concluimos que a func¸a˜o 7
√
x− 9 esta´ definida para todo x ∈ R. Logo
podemos dizer que a func¸a˜o f(x) = 3
√
x+ 10 − 7√x− 9 esta´ definida
para todo x ∈ R.
2. A func¸a˜o
√
x+ 8 esta´ definida para todo x + 8 ≥ 0, ou seja x ≥ −8.
Da mesma forma, observamos que a func¸a˜o 4
√
12− x esta´ definida para
todo 12 − x ≥ 0, ou seja x ≤ 12. Logo podemos dizer que a func¸a˜o
f(x) =
√
x+ 5− 4√12− x esta´ definida para todo x ∈ [−8, 12].
§3 Gra´fico de uma Func¸a˜o
Definic¸a˜o. O gra´fico de uma func¸a˜o f : X → Y e´ o subconjunto deno-
tado por G(f) e definido, como sendo
G(f) = {(x, y) ∈ X × Y ; y = f(x)} ⊂ X × Y.
Figura 1: Gra´fico e na˜o gra´fico de uma func¸a˜o
5
A figura a esquerda representa o gra´fico de uma func¸a˜o f : X → Y , no
entanto a figura da direita na˜o representa o gra´fico da func¸a˜o f : X → Y .
Definic¸a˜o. Uma func¸a˜o f : A → B chama-se injetiva se verificamos
o seguinte: dados x, y ∈ A, f(x) = f(y) segue que x = y, ou em outras
palavras, se tivermos x1, x2 ∈ A, com x1 6= x2 implica
f(x1) 6= f(x2).
Claramente, a func¸a˜o identidade I : A → A, I(x) = x e´ injetiva. A
func¸a˜o constante e´ injetiva se e somente se seu domı´nio A possuir apenas um
elemento.
Definic¸a˜o. Uma func¸a˜o f : A → B chama-se sobrejetiva se verificamos
que Im(f) = B, ou dito de outra forma, para todo y ∈ B existe pelo menos
um x ∈ A, tal que f(x) = y.
Por exemplo, a func¸a˜o f : R→ R, definida por f(x) = x3 e´ sobrejetiva,
enquanto a func¸a˜o
f : R→ R
x 7→ x2
na˜o e´ sobrejetiva, pois para −5 ∈ R na˜o existe x ∈ R tal que x2 = −5.
E´ conveniente fazer o seguinte esclarecimento. Diz-se que f e´ uma func¸a˜o
do conjunto A “sobre”o conjunto B se f(A) = B; no caso geral, quando
f(A) ⊂ B, dizemos que f e´ uma func¸a˜o de A “em”B.
Definic¸a˜o Uma func¸a˜o f : A → B chama-se bijetiva quando e´ simulta-
neamente injetiva e sobrejetiva.
Exemplo. A func¸a˜o f : R→ R definida por f(x) = x3 + 3 e´ bijetiva.
Primeiramente mostremos que e´ injetora. De fato, sejam x1, x2 ∈ R tais
que x1 6= x2. Analisemos
f(x1)− f(x2) = x31 + 3− (x32 + 3) = x31− x32 = (x1− x2)(x21 + x1x2 + x22) 6= 0.
Agora mostremos que f e´ sobrejetora. Dado b ∈ R, existe x = 3√b− 3 tal
que f(x) = ( 3
√
b− 3)3 + 3 = b.
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Figura 2: Gra´fico da func¸a˜o f(x) = x3
Definic¸a˜o. Dada uma func¸a˜o f : A→ B e dado Y ⊂ f(A), o conjunto
f−1(Y ) = {x;x ∈ A tal que f(x) ∈ Y }
e´ chamado de imagem inversa do conjunto Y pela func¸a˜o f .
Assim, da definic¸a˜o segue que f−1(Y ) ⊂ A.
§4 Func¸a˜o Inversa
Dada a func¸a˜o bijetiva f : X → Y , dizemos que a func¸a˜o f−1 : Y →
X, x = f−1(y) chama-se func¸a˜o inversa de f . Com isto, a func¸a˜o inversa
possui domı´nio Y e imagem X, e a cada yo corresponde um u´nico xo, tal que
f(xo) = yo, com xo ∈ X. Portanto para cada x ∈ X, temos
f−1(f(x)) = x, x ∈ X.
Desta forma, o par de func¸o˜es f e f−1 : Y → X sa˜o mutuamente inversas:
f−1(f) : X → X,
f(f−1) : Y → Y,
ou seja
f−1(f(x)) ≡ x, x ∈ X,
f(f−1(y)) ≡ y, y ∈ Y.
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Como f(x1) = y1 ⇐⇒ f−1(y1) = x1, significa que o par ordenado
(x1, y1) pertence ao gra´fico de f se e somente se (y1, x1) pertence ao gra´ficode f−1. Desta forma obtemos o par ordenado (y1, x1) a partir do par or-
denado (x1, y1) refletindo-o em torno da reta y = x. Podemos usar este
resultado para dizer o seguinte: quando trocamos x por y para encontrar a
func¸a˜o inversa, obtemos o gra´fico da func¸a˜o f−1 a partir do gra´fico de f , ou
seja as representac¸o˜es gra´ficas de f e f−1 sa˜o sime´tricas em relac¸a˜o a reta
y = x.
Figura 3: Gra´fico da func¸a˜o inversa
Quando estudamos as func¸o˜es inversas f e f−1, as varia´veis independentes
costuma-se indicar por x, e os valores destas func¸o˜es indica-se por y. Em
outras palavras, para a func¸a˜o y = f(x), x ∈ X, a func¸a˜o inversa escreve-se
na forma y = f−1(x), x ∈ Y .
Assim, com estas novas notac¸o˜es, temos as seguintes identidades:
f−1(f(x)) = x, x ∈ X,
f(f−1(x)) = x, x ∈ Y.
Por exemplo, as func¸o˜es y = x + 3, x ∈ R, e y = x − 3, x ∈ R sa˜o func¸o˜es
inversas, assim como as func¸o˜es y = x5 e y = 5
√
x.
Teorema. Se a func¸a˜o f : A→ B e´ bijetiva, enta˜o existe uma e somente
uma func¸a˜o f−1 : B → A, tal que
f(f−1(y)) = y
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qualquer que seja y ∈ B.
Prova: Como f e´ bijetiva, enta˜o f(A) = B e a cada y ∈ B corresponde
um u´nico x ∈ A, tal que f(x) = y.
Desta forma fica definida uma func¸a˜o representada por
f−1 : B → A tal que f−1(y) = x.
Segue que para todo y ∈ B, temos
f(f−1(y)) = y.
Exemplo. Encontre a func¸a˜o inversa da func¸a˜o y = 7− 5−x.
Vamos resolver a equac¸a˜o abaixo com relac¸a˜o a x,
5−x = 7− y,
tomando logaritmo aos dois membros da equac¸a˜o, obtemos
−x ln 5 = ln(7− y)
ou seja,
x = − ln(7− y)
ln 5
.
E´ obvio que o domı´nio da func¸a˜o inversa f−1(y) e´ o intervalo (−∞, 7).
Exemplo. Encontre a func¸a˜o inversa da func¸a˜o f(x) = x2 + x, x ∈
[1/2, 2].
Claramente a func¸a˜o f(x) e´ injetiva. Podemos escrever a func¸a˜o f(x) =
x2 + x na forma:
f(x) = x2 + x = (x+ 1/2)2 − 1/4 ≥ 0, x ∈ [1/2, 2],
ou seja,
f(x) + 1/4 = (x+ 1/2)2 ⇐⇒ 4f(x) + 1
4
= (x+ 1/2)2 ⇐⇒
⇐⇒ √4f(x) + 1/2 = x+ 1/2 ⇐⇒
⇐⇒ x = (√4f(x) + 1− 1)/2.
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Donde
y = f−1(x) = (
√
4x+ 1− 1)/2, x ∈ [3/4, 6],
e´ a func¸a˜o inversa de f(x).
§5 Func¸a˜o Composta
Consideremos a func¸a˜o f : A → B com f(A) ⊂ C ⊂ B. Defina-
mos a func¸a˜o g : C → D, fazendo corresponder a cada x ∈ A o elemento
g(f(x)) ∈ D, pois f(x) ∈ f(A) ⊂ C.
Agora definamos uma nova func¸a˜o h : A → D chamada de func¸a˜o com-
posta e denotada por h = g ◦ f , isto e´, para todo x ∈ A,
h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)).
A seguir vamos monstrar um resultado importante para func¸o˜es compostas.
Teorema. Sejam A,B,C,D,A1, D1 conjuntos, enta˜o
1. Se a func¸a˜o f : A→ B e g : C ⊃ f(A)→ D, e A1 ⊂ A, enta˜o,
(g ◦ f)(A1) = g(f(A1)).
2. Se D1 ⊂ (g ◦ f)(A), enta˜o,
(g ◦ f)−1(D1) = f−1(g−1(D1)).
Exemplo. Encontre f(g(x)), f(f(x)), g(f(x)), f(ϕ(a)), ϕ[f(a)] e g(ϕ(a)),
onde f(x) = x3, ϕ(x) = lnx e g(x) = 3x.
1. f(g(x)) = f(3x) = (3x)3 = 33x;
2. f(f(x)) = f(x3) = (x3)3 = x6;
3. g(f(x)) = g(x3) = 3x
3
;
10
4. f(ϕ(a)) = ϕ3(a) = (ln a)3;
5. ϕ [f(a)] = ln a3 = 3 ln a;
6. g(ϕ(a)) = g(ln a) = 3ln a.
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