2ª Lista de Exercícios

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-A´RIDO
2a LISTA DE EXERCI´CIOS - 2017.2
DISCIPLINA: Ca´lculo I
CURSO: Bacharelado em Cieˆncia e Tecnologia (BCT)
TURMA:
PROFESSOR: Fernando Neres
ALUNO(A):
DERIVADAS E APLICAC¸O˜ES
1. Defina a derivada de uma func¸a˜o f em um ponto p. Em seguida, interprete geometrica-
mente tal definic¸a˜o.
2. Se uma bola for atirada ao ar com velocidade de 10 m/s, sua altura (em metros) depois
de t segundos e´ dada por y = 10t− 4, 9t2. Encontre a velocidade quando t = 2.
[gab.: −9, 6m/s]
3. Se uma equac¸a˜o de uma reta tangente a` curva y = f(x) no ponto (2, f(2)) e´ y = 4x− 5,
encontre f(2) e f ′(2). [gab.: f(2) = 3 e f ′(2) = 4]
4. Se f(x) = 3x2 − x3, encontre f ′(1) e use-o para encontrar uma equac¸a˜o da reta tangente
a` curva y = 3x2 − x3 no ponto (1, 2). [gab.: y = 3x− 1]
5. Usando a definic¸a˜o encontre f ′(p) para cada uma das func¸o˜es abaixo:
(a) f(x) = 3x2 − 4x+ 1 (b) f(t) = 2t+ 1
t+ 3
(c) f(x) =
√
1− 2x
[gab.: (a) 6p− 4; (b) 5
(p+ 3)2
; (c) − 1√
1− 2p ]
6. Cada limite representa a derivada de certa func¸a˜o f em certo nu´mero p. Diga o que sa˜o
f e p em cada caso.
(a) lim
h→0
(1 + h)10 − 1
h
(b) lim
x→5
2x − 32
x− 5 (c) limh→0
cos (pi + h) + 1
h
[gab.: (a) f(x) = x10 e p = 1 ou f(x) = (1 + x)10 e p = 0; (b) f(x) = 2x e p = 5; (c)
f(x) = cos x e p = pi ou f(x) = cos (pi + x) e p = 0]
7. O custo da produc¸a˜o de x quilogramas de ouro provenientes de uma nova mina e´ C = f(x)
do´lares.
1
(a) Qual o significado da derivada f ′(x)? Quais sa˜o suas unidades?
(b) O que significa a afirmativa f ′(50) = 36?
(c) Voceˆ acha que os valores de f ′(x) ira˜o crescer ou decrescer a curto prazo? E a longo
prazo? Explique.
8. Encontre a derivada da func¸a˜o dada usando a definic¸a˜o. Diga quais sa˜o os domı´nios da
func¸a˜o e da derivada.
(a) f(x) =
1
2
x− 1
3
(b) f(t) = 5t− 9t2
(c) f(x) = x3 − 3x+ 5
(d) f(t) =
1− 2t
3 + t
[gab.: (a) f ′(x) =
1
2
,R,R; (b) f ′(t) = 5 − 18t,R,R; (c) f ′(x) = 3x2 − 3,R,R; (d) f ′(t) =
−7
(3 + t)2
, (−∞,−3) ∪ (−3,+∞), (−∞,−3) ∪ (−3,+∞)]
9. Lembre-se de que uma func¸a˜o f e´ chamada par se f(−x) = f(x) para todo x em seu
domı´nio, e ı´mpar se f(−x) = −f(x) para cada um destes x. Demonstre cada uma das
afirmativas a seguir:
(a) A derivada de uma func¸a˜o par e´ uma func¸a˜o ı´mpar ;
(b) A derivada de uma func¸a˜o ı´mpar e´ uma func¸a˜o par.
10. Mostre que a func¸a˜o f(x) = |x−6| na˜o e´ diferencia´vel em x = 6. Encontre uma fo´rmula
para f ′ e esboce seu gra´fico.
gab.: f ′(x) =
{
−1, se x < 6
1, se x > 6
ou f ′(x) =
x− 6
|x− 6|
2
11. Seja l a reta tangente a` para´bola y = x2 no ponto (
√
3/2, 3/4). O aˆngulo de inclinac¸a˜o
de l e´ o aˆngulo ϕ que l faz com a direc¸a˜o positiva do eixo x. Determine uma equac¸a˜o para
a reta l e o aˆngulo ϕ.
12. O custo total de saldar uma d´ıvida a uma taxa de juros de r% ao ano e´ C = f(r).
(a) Qual o significado da derivada f ′(r)? Quais sa˜o suas unidades?
(b) O que significa a afirmativa f ′(10) = 1200?
(c) f ′(r) e´ sempre positiva ou muda de sinal?
13. Suponha que f seja uma func¸a˜o que satisfac¸a a equac¸a˜o
f(x+ y) = f(x) + f(y) + x2y + xy2
para todos os nu´meros reais x e y. Suponha tambe´m que lim
x→0
f(x)
x
= 1.
(a) Encontre f(0); (b) Encontre f ′(0); (c) Encontre f ′(x).
[gab.: (a) 0; (b) 1; (c) f ′(x) = x2 + 1]
14. Suponha que f seja uma func¸a˜o com a propriedade |f(x)| ≤ x2 para todo x. Mostre
que f(0) = 0. Em seguida, mostre que f ′(0) = 0.
15. Derive a func¸a˜o:
(a) f(x) =
√
2013;
(b) f(x) = x2(1− 2x);
(c) f(t) =
√
2t+
√
3t;
(d) f(x) = 3ex +
4
3
√
x
;
(e) f(x) =
x2 + 4x+ 3√
x
;
(f) f(x) = (x+ x−1)3.
[gab.: (a) f ′(x) = 0; (b) f ′(x) = 2x − 6x2; (c) f ′(t) = √2 +
√
3
2
√
t
; (d) f ′(x) = 3ex − 4
3
x−4/3;
(e) f ′(x) = 3
2
√
x+ 2√
x
− 3
2x
√
x
; (f) f ′(x) = 3x2 + 3− 3x−2 − 3x−4]
16. Ache os pontos sobre a curva y = 2x3 + 3x2 − 12x + 1 onde a tangente e´ horizontal.
[gab.: (−2, 21), (1,−6)]
17. Encontre a primeira e a segunda derivadas da func¸a˜o:
(a) f(x) = 10x10 + 5x5 − x; (b) f(x) = 2x− 5x3/4.
[gab.: (a) f ′(x) = 100x9 − 25x4 + 1, f ′′(x) = 900x8 + 100x3; (b) f ′(x) = 2 − 15
4
x−1/4,
f ′′(x) = 15
16
x−5/4]
18. A equac¸a˜o de movimento de uma part´ıcula e´ s = t3 − 3t, em que s esta´ em metros e t
em segundos. Encontre:
3
(a) a velocidade e a acelerac¸a˜o como func¸o˜es de t;
(b) a acelerac¸a˜o depois de 2s;
(c) a acelerac¸a˜o quando a velocidade for 0.
[gab.: (a) v(t) = 3t2 − 3, a(t) = 6t; (b) 12 m/s2; (c) a(1) = 6 m/s2]
19. Encontre equac¸o˜es para ambas as retas que sa˜o tangentes a` curva y = 1 + x3 e que sa˜o
paralelas a` reta 12x− y = 1. [gab.: y = 12x− 15, y = 12x+ 17]
20. Encontre uma equac¸a˜o para a reta normal a` para´bola y = x2 − 5x+ 4 que seja paralela
a` reta x− 3y = 5. [gab.: y = 1
3
x− 1
3
]
21. Encontre um polinoˆmio de segundo grau P tal que P (2) = 5, P ′(2) = 3 e P ′′(2) = 2.
[gab.: P (x) = x2 − x+ 3]
22. Considere
f(x) =
{
x2 + 1, se x < 1
x+ 1, se x ≥ 1
f e´ deriva´vel em 1? Esboce gra´ficos de f e f ′.
23. Encontre a para´bola com equac¸a˜o y = ax2+bx cuja reta tangente em (1, 1) tem equac¸a˜o
y = 3x− 2. [gab.: y = 2x2 − x]
24. Para quais valores de a e b a reta 2x + y = b e´ tangente a` para´bola y = ax2 quando
x = 2? [gab.: a = −1
2
, b = 2]
25. Considere
f(x) =
{
x2, se x ≤ 2
mx+ b, se x > 2
.
Encontre os valores de m e b para que a func¸a˜o f seja deriva´vel. [gab.: m = 4, b = −4]
26. Calcule os limites abaixo:
(a) lim
x→1
x2013 − 1
x− 1 ; (b) limx→0
sen (3 + x)2 − sen 9
x
.
[gab.: (a) 2013; (b) 6 cos 9]
27. Se f(x) = exg(x), onde g(0) = 2 e g′(0) = 5, encontre f ′(0). [gab.: 7]
28. Se g(x) = xf(x), onde f(3) = 4 e f ′(3) = −2, encontre uma equac¸a˜o da reta tangente
ao gra´fico de g no ponto onde x = 3. [gab.: y = −2x+ 18]
29. Derive:
4
(a) f(t) =
tsen t
1 + t
;
(b) f(θ) = cossec θ + eθcotg θ;
(c) f(θ) =
sec θ
1 + sec θ
;
(d) f(x) = xexcossec x;
(e) f(x) =
x
2− tg x ;
(f) f(x) = sen x+ 1
2
cotg x.
[gab.: (a) f ′(t) =
(t2 + t)cos t+ sen t
(1 + t)2
; (b) f ′(θ) = −cossec θ cotg θ+eθ(cotg θ−cossec2θ); (c)
f ′(θ) =
sec θ tg θ
(1 + sec θ)2
; (d) f ′(x) = excossec x(−x cotg x+x+1); (e) f ′(x) = 2− tg x+ xsec
2x
(2− tg x)2 ;
(f) f ′(x) = cos x− 1
2
cossec2x]
30. Uma escada com 6m de comprimento esta´ apoiada em uma parede vertical. Seja θ o
aˆngulo entre o topo da escada e a parede e x, a distaˆncia do pe´ da escada ate´ a parede. Se
o pe´ da escada escorregar para longe da parede, com que velocidade x variara´ em relac¸a˜o a
θ quando θ = pi/3 rad? [gab.: 3 m/rad]
31. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto dado.
(a) y = sec x, (pi/3, 2); (b) y = cos x− sen x, (pi,−1).
[gab.: (a) y = 2
√
3x− 2
3
√
3pi + 2; (b) y = x− pi − 1]
32. Encontre a derivada da func¸a˜o.
(a) f(x) = e
√
x;
(b) f(x) = (4x− x2)100;
(c) f(t) = 3
√
1 + tg t;
(d) f(t) = e−2tcos 4t;
(e) f(x) = 2sen pix;
(f) f(r) =
r√
r2 + 1
;
(g) f(t) = et sen 2t;
(h) f(θ) = cotg2(sen θ);
(i) f(t) = sen2(esen
2t).
[gab.: (a) e
√
x
2
√
x
; (b) 100(4x− x2)99(4− 2x) ou 200x99(x− 2)(x− 4)99; (c) sec
2t
3 3
√
(1 + tg t)2
;
(d) −2e−2t(2sen 4t+ cos 4t); (e) 2sen pix(pi ln 2)cos pix; (f) 1
(r2 + 1)3/2
ou (r2 + 1)−3/2;
(g) et sen 2t(2tcos 2t+ sen 2t); (h) −2cos θ cotg(sen θ) cossec2(sen θ);
(i) 4 sen(esen
2t) cos(esen
2t) esen
2t sen t cos t]
33. Se f(x) =
√
4 + 3g(x), onde g(1) = 7 e g′(1) = 4, encontre f ′(1). [gab.: f ′(1) = 6
5
]
34. Encontre todos os pontos do gra´fico da func¸a˜o f(x) = 2 sen x + sen2x nos quais a reta
tangente e´ horizontal. [gab.:
(
pi
2
+ 2kpi, 3
)
e
(
3pi
2
+ 2kpi,−1) ondek ∈ Z]
35. Se F (x) = f(3f(4f(x))), onde f(0) = 0 e f ′(0) = 2, encontre F ′(0). [gab.: 96]
5
36. (a) Escreva |x| = √x2 e use a Regra da Cadeia para mostrar que
d
dx
|x| = x|x| .
(b) Se f(x) = |sen x|, encontre f ′(x) e esboce os gra´ficos de f e f ′. Onde f na˜o e´ deriva´vel?
(c) Se g(x) = sen |x|, encontre g′(x) e esboce os gra´ficos de g e g′. Onde g na˜o e´ deriva´vel?
gab.: (b) f ′(x) =
{
cos x, se sen x > 0
−cos x, se sen x < 0, f na˜o e´ deriva´vel em x = kpi, onde k ∈ Z,
(c) g′(x) =
{
cos x, se x > 0
−cos x, se x < 0, g na˜o e´ deriva´vel em x = 0,
37. Encontre
dy
dx
por derivac¸a˜o impl´ıcita.
(a) x3 + y3 = 1;
(b) x4(x+ y) = y2(3x− y);
(c) ex/y = x− y;
(d) eycos x = 1 + sen (xy);
(e)
√
x+ y = 1 + x2y2;
(f) xsen y + ysen x = 1.
[gab.: (a) y′ = −x
2
y2
; (b) y′ =
3y2 − 5x4 − 4x3y
x4 + 3y2 − 6xy ; (c) y
′ =
y(y − ex/y)
y2 − xex/y ;
(d) y′ =
eysen x+ ycos (xy)
eycos x− xcos (xy) ; (e) y
′ =
4xy2
√
x+ y − 1
1− 4x2y√x+ y ; (f) y
′ =
−sen y − ycos x
xcos y + sen x
]
38. Usando derivac¸a˜o impl´ıcita, mostre que uma equac¸a˜o da reta tangente a` elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1
no ponto (x0, y0) e´
x0
a2
x+
y0
b2
y = 1.
6
39. Derive a func¸a˜o.
(a) f(x) = x lnx− x;
(b) f(x) = xx;
(c) ln(x+
√
x2 − 1);
(d) f(x) = xcos x;
(e) f(x) = log5(xe
x);
(f) f(x) = (sen x)lnx.
[gab.: (a) lnx; (b) xx(1 + ln x); (c)
1√
x2 − 1; (d) x
cos x
(cos x
x
− lnx sen x
)
; (e)
x+ 1
x ln 5
;
(f) (sen x)lnx
(
lnx cotg x+
ln(sen x)
x
)
]
40. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto dado.
(a) y = ln(x2 − 3x+ 1), (3, 0); (b) y = x2 lnx, (1, 0).
[gab.: (a) y = 3x− 9; (b) y = x− 1]
41. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→0
ln(1 + x)
x
; (b) lim
x→pi
esen x − 1
x− pi .
[gab.: (a) 1; (b) −1]
42. Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos de f no intervalo dado.
(a) f(x) = 3x2 − 12x+ 5, [0, 3];
(b) f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x+ 1, [−2, 3];
(c) f(x) = x+
1
x
, [1
5
, 4];
(d) f(x) =
x
x2 − x+ 1, [0, 3];
(e) f(t) = t
√
4− t2, [−1, 2];
(f) f(t) = 2 cos t+ sen 2t, [0, pi
2
].
[gab.: (a) ma´ximo absoluto: f(0) = 5, mı´nimo absoluto: f(2) = −7; (b) ma´ximo absoluto:
f(−1) = 8, mı´nimo absoluto: f(2) = −19; (c) ma´ximo absoluto: f(1
5
) = 5, 2, mı´nimo
absoluto: f(1) = 2; (d) ma´ximo absoluto: f(1) = 1, mı´nimo absoluto: f(0) = 0; (e) ma´ximo
absoluto: f(
√
2) = 2, mı´nimo absoluto: f(−1) = −√3; (f) ma´ximo absoluto e´ f(pi
6
) = 3
2
√
3
e o valor mı´nimo absoluto e´ f(pi
2
) = 0.]
43. Verifique se a func¸a˜o satisfaz as hipo´teses do Teorema do Valor Me´dio(TVM)1 no
intervalo dado. Enta˜o, encontre todos os nu´meros c que satisfac¸am a conclusa˜o do Teorema
do Valor Me´dio(TVM).
1TVM: Se f e´ cont´ınua em [a, b] e deriva´vel em (a, b) enta˜o existe pelos menos um c ∈ (a, b) tal que,
f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).
7
(a) f(x) = 2x2 − 3x+ 1, [0, 2];
(b) f(x) = x3 + x− 1, [0, 2];
(c) f(x) = e−2x, [0, 3];
(d) f(x) =
x
x+ 2
, [1, 4].
[gab.: (a) c = 1; (b) c = 2√
3
; (c) c = −1
2
ln
(
1− e−6
6
)
≈ 0, 897; (d) c = −2 + 3√2 ≈ 2, 24]
44. Use o Teorema do Valor Me´dio(TVM) para demonstrar a desigualdade:
|sen a− sen b| ≤ |a− b|,∀ a, b ∈ R.
45. (i) Encontre os intervalos nos quais f e´ crescente ou decrescente; (ii) Encontre os valores
ma´ximos e mı´nimos locais de f ; (iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de
inflexa˜o.
(a) f(x) = 2x3 + 3x2 − 36x;
(b) f(x) = x4 − 2x2 + 3;
(c) f(x) =
x2
x2 + 3
;
(d) f(x) = x2 − x− lnx;
(e) f(x) =
√
xe−x;
(f) f(x) = sen x+ cos x, 0 ≤ x ≤ 2pi.
[gab.: (a) (i) crescente: (−∞,−3) e (2,+∞), decrescente: (−3, 2), (ii) valores ma´ximos lo-
cais: f(−3) = 81, valores mı´nimos locais: f(2) = −44, (iii) coˆncava para cima: (−1
2
,+∞),
coˆncava para baixo:
(−∞,−1
2
)
, pontos de inflexa˜o:
(−1
2
, f(−1
2
)
)
=
(−1
2
, 37
2
)
; (b) (i) cres-
cente: (−1, 0) e (1,+∞), decrescente: (−∞,−1) e (0, 1), (ii) valores ma´ximos locais: f(0) =
3, valores mı´nimos locais: f(±1) = 2, (iii) coˆncava para cima:
(
−∞,−
√
3
3
)
e
(√
3
3
,+∞
)
,
coˆncava para baixo:
(−√3/3,√3/3), pontos de inflexa˜o: (±√3/3, 22
9
)
; (c) (i) crescente:
(0,+∞), decrescente: (−∞, 0), (ii) valores mı´nimos locais: f(0) = 0, (iii) coˆncava para
cima: (−1, 1), coˆncava para baixo: (−∞,−1) e (1,+∞), pontos de inflexa˜o: (±1, 1
4
)
; (d) (i)
crescente: (1,+∞), decrescente: (0, 1), (ii) valores mı´nimos locais: f(1) = 0, (iii) coˆncava
para cima: (0,+∞), na˜o ha´ pontos de inflexa˜o; (e) (i) crescente: (0, 1
2
), decrescente: (1
2
,+∞),
(ii) valores ma´ximos locais: f
(
1
2
)
= 1√
2e
, (iii) coˆncava para cima:
(
1
2
+ 1
2
√
2,+∞), coˆncava
para baixo:
(
0, 1
2
+ 1
2
√
2
)
, pontos de inflexa˜o:
(
1
2
+ 1
2
√
2, f
(
1
2
+ 1
2
√
2
)) ≈ (1.21, 0.33); (f) (i)
crescente:
(
0, pi
4
)
e
(
5pi
4
, 2pi
)
, decrescente:
(
pi
4
, 5pi
4
)
, (ii) valores ma´ximos locais: f
(
pi
4
)
=
√
2,
valores mı´nimos locais: f
(
5pi
4
)
= −√2, (iii) coˆncava para cima: (3pi
4
, 7pi
4
)
, coˆncava para baixo:(
0, 3pi
4
)
e
(
7pi
4
, 2pi
)
, pontos de inflexa˜o:
(
3pi
4
, 0
)
e
(
7pi
4
, 0
)
;]
46. (a) Encontre os nu´meros cr´ıticos de f(x) = x4(x − 1)3; (b) O que o Teste da Segunda
Derivada mostra para voceˆ sobre o comportamento de f nesses nu´meros cr´ıticos? (c) O que
mostra o Teste da Primeira Derivada?
[gab.: (a) 0, 1 e 4
7
; (b) O Teste da Segunda Derivada na˜o informa sobre o comportamento de
f nos nu´meros cr´ıticos 0 e 1, apenas no nu´mero cr´ıtico 4
7
e´ que temos essa informac¸a˜o; (c)
O Teste da Primeira Derivada informa sobre o comportamento de f em todos os nu´meros
cr´ıticos]
47. Calcule os seguintes limites usando a regra de L’Hospital.
8
(a) lim
x→1
x3 − 2x2 + 1
x3 − 1 ;
(b) lim
t→0
e2t − 1
sen t
;
(c) lim
θ→pi/2
1− sen θ
1 + cos 2θ
;
(d) lim
x→+∞
lnx√
x
;
(e) lim
x→0
ex − 1− x
x2
;
(f) lim
x→+∞
(lnx)2
x
;
(g) lim
x→0
x 3x
3x − 1;
(h) lim
x→+∞
ex/10
x3
.
[gab.: (a) −1
3
; (b) 2; (c) 1
4
; (d) 0; (e) 1
2
; (f) 0; (g) 1
ln 3
; (h) +∞]
48. Esboce o gra´fico2 das seguintes func¸o˜es. Justifique suas respostas.
(a) f(x) = x3 + x;
(b) f(x) = x3 + 6x2 + 9x;
(c) f(x) = 8x2 − x4;
(d) f(x) = x(x− 4)3;
(e) f(x) = x5 − 5x;
(f) f(x) = (4− x2)5;
(g) f(x) =
x
x− 1;
(h) f(x) =
x− x2
2− 3x+ x2 ;
(i) f(x) = (1− x)ex;
(j) f(x) = x− 3x1/3;
(k) f(x) = ln(x2 − 3x+ 2);
(l) f(x) = x
√
2− x2.
gab.:
Figura 1: Esboc¸o
do Gra´fico de f
(item (a))
Figura 2: Esboc¸o
do Gra´fico de f
(item (b))
Figura 3: Esboc¸o
do Gra´fico de f
(item (c))
Figura 4: Esboc¸o
do Gra´fico de f
(item (d))
Figura 5: Esboc¸o
do Gra´fico de f
(item (e))
Figura 6: Esboc¸o
do Gra´fico de f
(item (f))
Figura 7: Esboc¸o
do Gra´fico de f
(item (g))
Figura 8: Esboc¸o
do Gra´fico de f
(item (h))
2Roteiro para esboc¸ar o gra´fico de y = f(x) manualmente : (A) Domı´nio de f ; (B) Intersec¸o˜es
com os eixos; (C) Simetria (f e´ par, ı´mpar ou perio´dica?); (D) Ass´ıntotas; (E) Intervalos de crescimento ou
decrescimento; (F) Valores ma´ximos e mı´nimos locais; (G) Concavidade e pontos de inflexa˜o; (H) Esboc¸o da
curva.
9
Figura 9: Esboc¸o
do Gra´fico de f
(item (i))
Figura 10: Esboc¸o
do Gra´fico de f
(item (j))
Figura 11: Esboc¸o
do Gra´fico de f
(item (k))
Figura 12: Esboc¸o
do Gra´fico de f
(item (l))
49 Encontre dois nu´meros positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mı´nima.
[gab.: 10 e 10]
50. Qual e´ adistaˆncia vertical ma´xima entre a reta y = x + 2 e a para´bola y = x2 para
−1 ≤ x ≤ 2? [gab.: 9
4
]
51. Um fazendeiro quer cercar uma a´rea de 15000m2 em um campo retangular e enta˜o
dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retaˆngulo. Como fazer isso de
forma que minimize o custo da cerca?
[gab.: O campo devera´ ser de 100m por 150m e a cerca que dividira´ o campo ao meio devera´
ficar paralela ao menor lado do campo]
52. Encontre as dimenso˜es do retaˆngulo com a maior a´rea que pode ser inscrito em um
c´ırculo de raio r. [gab.:
√
2r e
√
2r]
10
53. Encontre o ponto sobre a reta y = 2x+ 3 que esta´ mais pro´ximo da origem.
[gab.:
(−6
5
, 3
5
)
]
54. Um conteˆiner para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ter um volume
de 10m3. O comprimento de sua base e´ o dobro da largura. O material para a base custa
$ 10 por metro quadrado. O material para os lados custa $ 6 por metro quadrado. Encontre
o custo dos materiais para o mais barato desses conteˆineres.
[gab.: 20
(
3
√
9
2
)2
+
180
3
√
9/2
≈ $ 163.54]
55. Um cilindro circular reto e´ inscrito em uma esfera de raio r. Encontre o maior volume
poss´ıvel para este cilindro. [gab.:
4pir3
3
√
3
]
56. Uma refinaria de petro´leo esta´ localizada na margem norte de um rio reto que tem 2 km
de largura. Um oleoduto deve ser constru´ıdo da refinaria ate´ um tanque de armazenamento
localizado na margem sul do rio, 6 km a leste da refinaria. O custo de construc¸a˜o do oleoduto
e´ $ 400.000/km sobre a terra, ate´ um ponto P na margem norte e $ 800.000/km sob o rio
ate´ o tanque. Onde P deveria estar localizado para minimizar o custo do oleoduto?
[gab.: 6− 2/√3 ≈ 4, 85 km a leste da refinaria]
11
57. Uma janela normanda tem a forma de um retaˆngulo tendo em cima um semic´ırculo (o
diaˆmetro do semic´ırculo e´ igual a` largura do retaˆngulo). Se o per´ımetro da janela for 10m,
encontre as dimenso˜es da janela que deixam passar a maior quantidade poss´ıvel de luz.
[gab.: x =
20
4 + pi
m e y =
10
4 + pi
m]
Bons Estudos!
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