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11ª Lista de Exercícios - INTEGRAIS DUPLAS VOLUMES E INTEGRAIS DUPLAS INTEGRAIS ITERADAS Se f for contínua no retângulo R = { (x,y) | a < x < b, c < y < d }, então calculamos a integral dupla de f em R através de integrais iteradas, como mostrado abaixo: Este resultado, conhecido como Teorema de Fubini, vale sempre que f for limitada em R, podendo ser descontínua em um número finito de pontos de R. Exemplo 1: Calcule o valor da integral , onde R = [0,3] x [1,2] 2 R 1 y 0 3 x Solução:==== == ou ==== == O valor obtido é o volume do sólido acima de R e abaixo do gráfico da função f(x,y) = x2y (Veja figura acima) Exemplo 2: Calcule , onde R = [1,2] x [0,]. Solução: Exemplo 3: Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. Solução: Observemos, primeiro, que S é o sólido que está abaixo da superfície z = 16 – x2 – 2y2 e acima do retângulo R = [0,2] x [0,2], como mostra a figura. Vamos calcular o volume deste sólido usando integral dupla: INTEGRAIS DUPLAS EM REGIÕES GENÉRICAS Para integrais simples, a região sobre a qual integramos é sempre um intervalo. Mas, para integrais duplas, queremos ser capazes de integrar a função f, não somente sobre retângulos, mas também sobre um região D de forma mais geral, como mostra a figura abaixo. Vamos supor que D seja uma região limitada, o que significa que D pode ser cercada por uma região retangular R. Definimos, então, uma nova função F com domínio R por y y R x D D 0 x 0 Se a integral dupla de F sobre R existe, então definimos a integral dupla de f sobre D por Cálculo da Integral Dupla sobre Regiões Planas Genéricas Regiões planas inscritas em faixas verticais: Consideremos uma região D inscrita na faixa vertical a < x < b e entre o gráfico de duas funções contínuas de x, ou seja: D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) } onde g1 e g2 são contínuas em [a,b]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo: y = g2(x) y = g2(x) y = g2(x) D x y 0 D x y 0 D x y 0 b a a b y = g1(x) y = g1(x) y = g1(x) a b A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas: sempre que f for contínua em D. Regiões planas inscritas em faixas horizontais: Consideremos uma região D inscrita na faixa horizontal c < y < d e entre o gráfico de duas funções contínuas de y, ou seja: D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) } onde h1 e h2 são contínuas em [c,d]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo: x = h2(y) x = h2(y) 0 y x D 0 y x D y 0 x d x = h2(y) d d D x = h1(y) c c x = h1(y) c x = h1(y) A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas: sempre que f for contínua em D. Exemplo 4: Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2. Solução: x y –1 1 y = 2x2 y = 1 + x2 A região D está inscrita na faixa vertical –1 < x < 1, pois essas são as abscissas dos pontos de intersecção das duas parábolas e podemos escrever: D = { (x,y) | –1 < x < 1, 2x2 < y < 1 + x2 } Assim, calculamos a integral dupla através das seguintes integrais iteradas: Exemplo 5: Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2. Solução: D é uma região inscrita na faixa vertical 0 < x < 2, portanto: D = { (x,y) | 0 < x < 2, x2 < y < 2x } Assim, o volume é: y = 2x y = x2 Mas também podemos inscrever a região D na faixa horizontal 0 < y < 4, com: D = { (x,y) | 0 < y < 4, } Portanto, o volume pode ser calculado como: Exemplo 6: Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6. y2 = 2x + 6 Solução: y = x – 1 A intersecção das duas curvas é calculada da seguinte maneira: [y2 = 2x + 6] [y = x – 1] e x = y + 1 y2 – 2y – 8 = 0 y = –2 ( x = –1 ) ou y = 4 (x = 5 ) Portanto os pontos de intersecção das curvas são (-1,-2) e (5,4). Novamente, a região D pode ser considerada inscrita tanto em uma faixa vertical como em uma faixa horizontal. Mas a descrição de D considerada inscrita na faixa vertical -3 < x < 5 é mais complicada, pois sua fronteira inferior é constituída por mais de uma curva. Assim, preferimos expressar D como: D = { (x,y) | -2 < y < 4, < x < y + 1 } Logo: Exemplo 7: Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. Solução: Em uma questão como esta, é prudente desenhar dois diagramas: um do sólido tridimensional e outro da região plana D sobre a qual o sólido está. Igualando as equações dos planos, duas a duas, obtemos as retas que contém as arestas do tetraedro: y z y x x = 2y x + 2y + z = 2 (0, 0, 2) (0, 1, 0) (1, ½, 0) T x + 2y = 2 1 D ½ 1 x x = 2y A figura acima, à esquerda, mostra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados x = 0, z = 0, o plano vertical x = 2y e o plano x + 2y + z = 2. Como x + 2y + z = 2 intercepta o plano xy (de equação z = 0) na reta x + 2y = 2, vemos que T está sobre a região triangular D, do plano xy, limitada pelas retas x = 2y, x + 2y = 2 e x = 0. O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 – x – 2y e a região D como: D = { (x,y) | 0 < x < 1, x/2 < y < 1 – x/2 }. Portanto o volume de T é: Propriedades das Integrais Duplas: 1) 2), onde c é uma constantese D = D1 D2, onde D1 e D2 não se sobrepõem exceto, possivelmente, nas fronteiras. 3), Exemplo 8: Expresse, de duas maneiras, as integrais iteradas que resolvem , onde D é a região do plano xy limitada pelos gráficos de , y = 1, y = 3, 3y + x = 10 e x = y2. Solução: No gráfico abaixo, aparecem as curvas que formam a fronteira de D. y =3 x =/6 3 3y + x = 10 D x = y2 y =1 /6 A região que tem como fronteira todas as curvas citadas é a parte sombreada do plano. Portanto essa é a região D. Assim, podemos descrevê-la de duas formas: 1) Inscrita na faixa vertical /6 x 4 e, nesse caso dividi-la em D1 = { (x,y) | /6 x 1, 1 y 3 } e D2 = { (x,y) | 1 x 4, } 2) Inscrita na faixa horizontal 1 y 3 e, nesse caso, dividi-la em D1 = { (x,y) | 1 y 2, /6 x y2 } e D2 = { (x,y) | 2 y 3, /6 x 10 – 3y } Na forma 1), as integrais iteradas são: Na forma 2), as integrais iteradas são: Exercícios: 1) Calcule as integrais: d) e) f) g) h) i) j) k) Resp: 252 l) Resp: 10 m) , Resp: 0 n) o) p) , q) , r) s) , t) 2) Sendo a região limitada pelas curvas ao lado de cada integral i) coloque os limites ii) calcule o valor da integral a)_ e y = entre y= 3 x² e y = c entre y = -3 x² e y = - d entre y = - e y = e entre y = -4 x² e y = - 4x
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