Trabalho de Matriz

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Sistemas Lineares:
Sistemas Lineares sao sistemas de equações com “M” equações e “N” incógnitas formados por equações lineares,normalmente escrito como:
A11X1 + A12X2 + ..........A1nXn=b1
A21X1 + A22X2 +...........A2nXn=b2
Am1X1 + Am2X2 +…..…AmnXn=bm
Usando notação matricial,o sistema linear pode ser representado por AX=B onde
	
	A11
	A12
	A1n
	A=
	A21
	A22
	A2n
	
	Am1
	Am2
	Amn
É a matriz dos coeficientes
	
	X1
	
	B1
	X=
	X2
	e B=
	B2
	
	:
	
	:
	
	Xn
	
	Bn
X e B são os vetores de incognita e constantes respectivamente.
Classificação quanto ao numero de soluções
	
	única solução:determinado
	Sistema possível
	
	
	mais de uma:indeterminado solução
Sistema Impossivel:não admite qualquer solução
Ex: 4x + 2y=100
 8x - 4y=200 Infinita solução
 X+3y=4
 X+3y=5 Não tem solução
X+2y=-1
2x-y=8 única solução	
Matriz.
As Matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas utilizados na organização de dados e informações.Na economia certamente vamos encontrar matrizes quando for resolver sistemas de equação lineares representando equações de Demanda entre outros.Os economistas utilizam este recurso para analisar matéria-prima/produção como o exemplo abaixo.
Ex1:Sistema Linear de Coordenadas P(2,4), Q(3,9)
 P 2x+4y=0
Q 3x+9y=0
Onde este sistema linear podemos transformar em uma matriz de ordem MxN
Ex1.1 
	
	2
	4
	 A=
	
	
	
	3
	9
Introdução as Matrizes:
Verificando que as matrizes são uma organização de valores (dados) em forma de tabela com linha e colunas,elas podem ser construídas com “M”linhas e “N”colunas.Onde os valores ordenados na horizontal é representado pela letra “N” e os valores ordenados na vertical é representado pela letra “M”como no exemplo 1.1 .
Notação de Matrizes.
Nota se que as matrizes possui uma forma geral onde a forma geral de uma matriz é de:
Imagem 1.0
Fonte:Dinwidd, Caroline 1972 pag 206
Na imagem 1.0 verificamos a forma geral da matriz de “M”linhas e “N” colunas e pode ser descrito como uma matriz de ordem “M” por “N” ou ainda por “M x N”.O conjunto desta matriz pode ser descrito de modo ainda mais simples como:
A=[ aij ]
ou seja a matriz pode ser,de um modo geral descrito como:
Matriz A= M x N =[aij]
Operação com Matrizes.
As matrizes possuem operações como Adição,Subtração e Multiplicação.Onde a Adição propriamente dita consiste em adicionar os elementos correspondentes de cada matriz e a subtração corresponde em diminuir tal elemento da matriz especifica.Para que possa ser somada ou subtraída tais matrizes elas devem obedecer tal restrição onde se e somente se tiverem a mesma dimensão exemplo ordem m x n,quando respeitada tal condição dizemos que as matrizes são conformes para a Adição/Subtração.Neste caso temos A=[aij] e B=[bij] é definido como a adição/subtração de cada elemento correspondente.
Ex2.0= 
	
	4
	9
	
	
	2
	0
	
	4+2
	9+0
	
	6
	9
	A=
	 
	 
	
	B=
	 
	 
	=
	 
	 
	=
	 
	 
	
	2
	1
	
	
	0
	7
	
	2+0
	1+7
	
	2
	8
Fonte:Chiang Alpha C.2006 pag 52
Em geral podemos enunciar a regra da seguinte maneira [aij]+[bij]=[cij] nota-se que [cij] tem as mesmas dimensões das matrizes componentes [aij] e [bij]
De maneira semelhante aplicamos para a Subtração onde A-B obteremos uma terceira matriz como o exemplo abaixo.
Ex2.1 =
	
	5
	0
	
	
	3
	1
	
	2
	-1
	A=
	 
	 
	
	- B=
	 
	 
	=
	 
	 
	
	-2
	1
	
	
	8
	11
	
	-10
	-10
Fonte : Dinwidd, Caroline 1972 pag 211
Lei Comutativa,Associativa e Distributiva.
Para dar continuidade nas operações precisamos entender tais leis que regem como proceder com os elementos de cada operação.
As leis Comutativas e associativas podem ser enunciadas como segue:
Ex1.0= Lei Comutativa da adição = A+B=B+A
Demonstração= A+B=[aij] + [bij]=[aij+bij]=[bij+aij]=B+A
Ex1.1=Lei Associativa da Adição = (A+B)+C = A(B+C)
Demonstração = (A+B)+C =[aij+bij]+[cij]=A+(B+C)
Neste contexto,a operação de subtração A-B pode ser considerado simplesmente como a operação de adição A+(-B) e assim,não precisa ser discutida separadamente.
Ex1.2=Lei Comutativa da Multiplicação
Demonstração = Ab=Ba
Ex1.3=Lei Associativa da Multiplicação
Demonstração= A.(B+C) = A.B+A.C
Multiplicação de Matrizes.
Como visto no exemplo 1.2 a multiplicação de matrizes não é comutativa isto é.
AB≠BA
De acordo com Chiang Alpha C,mesmo quando AB é definido,BA pode não ser,mas mesmos que ambos os produtos sejam definidos a regra geral continua AB≠BA.
Verificando-se que para chegar a um resultado da multiplicação de matrizes basta multiplicarmos a linha pela coluna e somar os resultados como mostra o exemplo abaixo
Ex1.0= A x B
	
	1
	2
	
	5
	6
	
	1.5 + 2.7
	1.6 + 2.8
	
	19
	22
	A=
	 
	 
	B=
	 
	 
	C=
	 
	 
	
	 
	 
	
	3
	4
	
	7
	8
	
	3.5 + 4.6
	3.6 + 4.8
	
	39
	50
No exemplo 1.1 temos as mesmas matrizes que no exemplo 1.0 onde A x B,alterando somente a condição em que é B x A que nos prova que não podemos aplicar a lei comutativa na multiplicação de matrizes
Ex1.1= B x A
	
	5
	6
	
	1
	2
	
	5.1 + 6.3
	5.2 + 6.4
	
	23
	34
	A=
	 
	 
	B=
	 
	 
	C=
	 
	 
	
	 
	 
	
	7
	8
	
	3
	4
	
	7.1 + 8.3
	7.2 + 8.4
	
	31
	36