Lista 5 GA

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5a LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - QUÍMICA LICENCIATURA
Professora: Cássia de Souza Santos
1. Determine a equação vetorial da reta r definida pelos pontos A(2,−3, 4) e B(1,−1, 2). Verifique se os
pontos C
(
5
2 ,−4, 5
)
e D(−1, 3, 4) pertencem a reta r.
2. Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A(1, 2, 3) e é paralela a reta r : (x, y, z) =
(1, 4, 3) + t(0, 0, 1).
3. Dada a reta r :

x = 2 + t
y = 3− t
z = −4 + 2t
determine um ponto de r tal que:
(a) a ordenada seja 6;
(b) a abscissa seja igual à ordenada;
(c) a cota (coordenada z) seja igual o quádruplo da abscissa.
4. Com base na figura abaixo escreva equações paramétricas da reta que passa por:
(a) A e B;
(b) B e C;
(c) A e D;
(d) B e D;
5. Seja o triângulo de vértices A(−1, 4,−2), B(3,−3, 6) e C(2,−1, 4). Escrever as equações paramétricas
da reta que passa pelo ponto médio do lado AB e pelo vértice oposto a este lado.
6. Obtenha um ponto de abscissa 1 da reta r : 2x+13 =
3y−2
2 = z + 4.
7. Escreva as equações reduzidas na variável z da reta que passa por A(−1, 6, 3) e B(2, 2, 1).
8. Escreva as equações paramétricas da retas que passam pelo ponto A(4,−5, 3) e são respectivamente
paralelas aos eixos Ox, Oy e Oz.
9. Sabendo que as retas r1 e r2 são ortogonais, determine o valor de m.
r1 :

x = 2mt− 3
y = 1 + 3t
z = −4t
e r2 :
{
x = 2y − 1
z = −y + 4
1
10. Escreva as equações da reta que passa por A(1, 2, 3) e B(−2, 3, 0) nas formas vetorial, paramétrica e
simétrica.
11. Determinar as equações paramétricas da reta que passa por:
(a) A(3,−2, 4) e é paralela ao eixo x;
(b) A(2, 2, 4) e é perpendicular ao plano xOz;
12. Determine o ângulo entre as retas:
(a) r :

x = −2− t
y = t
z = 3− 2t
e s :
x
2
=
y + 6
1
=
z − 1
1
(b) r :
{
y = −2x+ 3
z = x− 2 e s :
y =
z + 1
−1
x = 4
13. Determinar o valor de n para que seja de 30◦ o ângulo entre as retas r :
x− 2
4
=
y
5
=
z
3
e s :{
y = nx+ 5
z = 2x− 2
14. Encontre as equações da reta que passa por A(0, 0, 0) e é simultaneamente ortogonal as retas r :
x
2
=
y
1
=
z − 3
2
e s :

x = 3t
y = 1− t
z = 2
15. Verifique se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontre a intersecção:
(a) r :
{
y = 2x− 3
z = −x+ 5 e s :
{
y = −3x+ 7
z = x+ 1
(b) r :
x− 3
2
=
y + 1
−3 =
z − 2
4
e s :

x = −1 + t
y = 4− t
z = −8 + 3t
(c) r :
{
y = 2x− 3
z = −x− 10 e s : x =
y − 4
3
=
z + 1
−2
16. Seja o plano pi : 3x+ y − z − 4 = 0. Calcule:
(a) o ponto de pi que tem abscissa 1 e ordenada 3;
(b) o ponto de pi que tem abscissa zero e cota 2;
(c) o valor de k para que o ponto P (k, 2, k − 1) pertença ao plano pi;
(d) o ponto de abscissa cuja ordenada é o dobro da cota.
17. Dada a equação geral do plano pi : 3x− 2y− z− 6 = 0 determine um sistema de equações paramétricas
de pi.
18. Sendo

x = 1 + h− 2t
y = 1− t
z = 4 + 2h− 2t
equações paramétricas de um plano pi, obter uma equação geral de pi.
19. Obtenha a equação geral do plano pi nos seguintes casos:
2
(a) pi contém o ponto A(1, 1, 0) e B(1,−1− 1) e é paralelo a −→u = (2, 1, 0);
(b) pi contém o ponto A(1, 0, 1), B(2, 1− 1) e C(1,−1, 0);
(c) pi contém o ponto P (1, 0,−1) e a reta r : x−12 = y3 = 2− z;
(d) pi contém os pontos A(2, 1, 2) e B(1,−1, 4) e é perpendicular ao plano xOy;
(e) pi contém as retas r1 :
{
y = 2x− 3
z = −x+ 2 e r2 :
{
x−1
3 =
z−1
−1
y = −1 ;
(f) pi é paralelo ao eixo z e contém os pontos A(0, 3, 4) e B(2, 0,−2);
(g) pi é paralelo ao eixo y e contém os pontos A(2, 3, 0) e B(0, 4, 1);
(h) pi é paralelo ao plano xOy e contém o ponto A(5,−2, 3);
20. Represente graficamente os planos de equações:
(a) 3x+ 4y + 2z − 12 = 0
(b) 2z − 5 = 0
21. Determine o valor de n para que o ângulo entre os planos pi1 : x+ny+2z− 7 = 0 e pi2 : 4x+5y+3z =
2 = 0 seja de 30◦.
22. Dado a reta r :

x = −3 + t
y = −1 + 2t
z = 4t
e o plano pi : mx− y − 2z − 3 = 0 determine m para que se tenha:
(a) r ‖ pi
(b) r ⊥ pi
23. Determine os valores de m e n para que a reta r :
{
y = 2x− 1
z = −x+m esteja contida no plano pi :
5x− ny + z + 2 = 0.
24. Determine as equações paramétricas da reta, que é a interseção dos planos pi1 : 3x+ y − 3z − 5 = 0 e
pi2 : x− y − z − 3 = 0.
25. Determine o ponto de interseção da reta r :

x = 4 + k
y = 3 + 2k
z = −2− 3k
e o plano pi :

x = 2 + h+ 2t
y = −3− h− t
z = 1 + 3h− 3t
.
26. Seja a reta r :
{
y = 2x− 3
z = −x+ 2 e o plano pi : 2x+ 4y − z − 4 = 0. Determine:
(a) o ponto de interseção da reta r com o plano xOz;
(b) o ponto de interseção da reta r com o plano pi;
(c) a equação da reta, que é a interseção do plano pi com o plano xOy;
27. Determinar o ponto de interseção da reta r :

x = −1 + 2t
y = 5 + 3t
z = 3− t
com o plano pi = 2x− y + 3z − 4 = 0.
Bons estudos!!! Não deixem para a última hora!!!
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