Aula_3

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Nesta aula abordaremos as funções e equações exponenciais e logarítmicas para 
percebermos que este tópico da Matemática possui aplicações em diversas outras 
ciências e no nosso cotidiano. 
 
Lei de resfriamento dos corpos 
 
Seus estudos foram impulsionados por Napier1, no início do século XVII, embora já 
houvesse indícios de estudos por parte de outros cientistas e estudiosos da época. 
 
Uma das aplicações interessantíssimas acerca do nosso assunto é a lei de resfriamento 
dos corpos. 
 
Estudos matemáticos diversos comprovaram que o decréscimo da temperatura 
corporal de um indivíduo morto segue um padrão exponencial. 
 
Tal ferramenta é muito utilizada por peritos e legistas para estimar o tempo decorrido 
entre a morte do indivíduo e o momento do encontro do corpo. 
 
A função exponencial que trata desse fenômeno é da forma f(t) = CeAt. 
 
Na prática, como ela é usada? 
 
Um médico legista, solicitado para analisar um assassinato, constatou que a 
temperatura do corpo, encontrado às 21h, era de 32ºC. 
 
Às 22h, ele verificou novamente a temperatura e percebeu que tinha decrescido em 
2ºC. 
 
 
1
 JOHN NAPIER. Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/John_Napier. Acesso em: 13 set. 2013. 
 
 
 
 2 
O legista precisa, então, verificar qual é o possível horário da morte deste indivíduo, 
sabendo que a temperatura normal do corpo humano é de 37ºC. 
 
Vamos ver como ele consegue fazer essa estimativa: 
 
Estamos diante de um problema de função exponencial decrescente, onde o valor de 
f(21) = 32 e f(22) = 30, já que houve um decréscimo de 2ºC. 
 
Como a função é da forma f(t) = CeAt, para t = 21 e t = 22, temos: 
 
f(21) = 32 = Ce21A e f(22) = 30 = Ce22A 
 
Dividindo o valor de f(21) pelo valor de f(22), temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para encontrar o valor de C, basta substituir os valores encontrados em uma das 
equações: 
 ( ) 
 
Assim, temos: 
 ( ) 
 
Logo, para f(37), temos o seguinte: 
 
 ( ) ( ) 
 
Assim, o horário estimado para a morte desta pessoa é 18 horas e 45 minutos. 
 
 
 
 
 
 
 3 
O crescimento populacional 
 
Outra aplicação, mais clássica, foi introduzida por Thomas Malthus2 e aborda o 
crescimento populacional. 
 
Malthus considerou que o número de indivíduos da população segue um 
comportamento exponencial onde se considera uma constante, conforme a reação da 
espécie ao ambiente em que se encontra e ao tempo decorrido. 
 
Veja: 
 
 ( ) 
 
 
Onde k0 é a população inicial em dado momento. 
 
População humana 
 
Em seus estudos para a população humana, Malthus verificou que o ambiente pouco 
influencia ou não influencia no comportamento dos homens. Este modelo, portanto, 
serve mais como um indicador de sobrevivência e de crescimento populacional. 
 
Comportamento de espécies 
 
Biólogos também utilizam este tipo de modelo para estudos sobre o comportamento 
de espécies. 
 
Veja um exemplo: 
Considere uma colônia de bactérias que, dado um tempo inicial de estudo, possuía 
400 bactérias e, depois de 12 horas, o número já era de 1200. 
 
 
2
 THOMAS MALTHUS. Disponível em http://www.brasilescola.com/geografia/thomas-malthus.htm. 
Acesso em: 13 set. 2013. 
 
 
 
 4 
Precisa-se saber qual será o número de bactérias após 36 horas do tempo inicial. 
 
Não esqueça que devemos ter em mente a lei de formação, que é uma função da 
forma ( ) 
 . 
 
Como a população inicial é de 400 bactérias, temos que k0 = 400 e, as analisando após 
12 horas, conseguimos montar a seguinte equação: 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
Como se precisa saber o número de bactérias após 36 horas, temos: 
 
 ( ) ( ) 
 
Assim, a população estimada de bactérias é de 10800 bactérias, decorridas as 36 
horas. 
 
Desintegração radioativa 
 
Outra aplicação interessante é o cálculo de desintegração radioativa de determinados 
elementos químicos. 
 
Algumas substâncias são muito instáveis, sofrendo transições para um átomo de outro 
elemento químico e, assim, liberando radiações. 
 
Rutherford3 foi quem iniciou os estudos acerca de radioatividade de elementos 
químicos. Seu principal trabalho nessa área foi formular um modelo que descrevesse o 
modo como essa radioatividade decresce. 
 
3
 Ernest Rutherford. Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Ernest_Rutherford. Acesso em: 13 
set. 2013. 
 
 
 
 5 
Veja: 
 
 ( ) 
 
 
Onde N0 representa o número de átomos da substância radioativa no instante t = 0 e k 
é uma constante positiva denominada constante de decaimento. 
 
Meia-vida 
 
Na prática, é utilizada outra constante, denominada meia-vida do elemento químico. 
 
Trata-se do tempo necessário para que a quantidade de átomos de uma substância se 
reduza à metade. 
 
Veja como fica: 
 
Se N = N0 e t = T, que é a constante meia-vida, essa constante T é calculada da 
seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como exemplo, citamos o Carbono 14 que é utilizado para datar achados 
arqueológicos e estimar qual seria a idade de determinada amostra. 
 
A constante meia-vida do Carbono 14 é 5568 anos e, para encontrarmos a constante 
de decaimento, devemos proceder da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SAIBA MAIS (AULA 3) 
 
Acesse o site da Wikipédia sobre Logaritmos: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo 
 
No site “Só Matemática” também há uma parte interessante: 
http://www.somatematica.com.br/superior/logexp/logexp5.php 
 
Veja também o assunto sobre funções exponenciais em: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_exponencial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA AULA 3 
 
Questão 1: 
 
O crescimento de uma cultura de bactérias, desenvolvida para o combate em 
guerras biológicas, segue a lei ( ) , onde C é o número de bactérias 
no instante t, em horas. 
 
Sabendo que a produção se inicia em t = 0 e que, ao transcorrer 12 horas, há um 
total de 1800 bactérias, qual é o valor de k e qual o número de bactérias após 24 
horas do início da produção, respectivamente? 
 
a) 1/12 e 5400 
b) -1/12 e 64 
c) -1/12 e -100 
d) 1/12 e 3600 
e) 12 e 5400 
 
Gabarito comentado: 
 
Como o problema nos fala que, ao transcorrer 12 horas, o total de bactérias é 
1800, veremos qual o valor de k, aplicando a lei de formação: 
 
 ( ) 
 
 
 
 
Já com o valor de k, e fazendo o tempo t = 24, temos: 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
Assim, o valor de k e o número de bactérias após 24 horas são, respectivamente, 
½ e 5400. 
 
Logo, a alternativa correta é a letra (a). 
 
 
Questão 2: 
 
Um paciente em estado grave precisa receber uma solução com um forte 
antibiótico por via intravenosa. 
 
O aparelho hospitalar foi ajustado para que x gotas a cada 30 segundos. 
 
Sabendo que x é a solução para a equação log4 x = log2 3, e que cada gota desta 
solução possui 0,3 mL de volume, qual seria o volume de solução que este 
paciente recebe em 2 horas?8 
 
a) 1,6 L 
b) 1,5 L 
c) 1448 mL 
d) 1,0 L 
e) 648 mL 
 
Gabarito comentado: 
 
Primeiramente, devemos resolver a equação logarítmica. Para isso, vamos 
igualá-las a k: 
 
Log4 x = log2 3 = K. Assim, temos: 
 ( )2 = x 
 
 
Assim, temos que 9 gotas de 0,3 mL cada entram na corrente sanguínea a cada 
30 segundos. Ou seja, em 30 segundos, temos 2,7 mL na corrente sanguínea. 
 
Como em 1 minuto teremos 5,4 mL na corrente sanguínea e o problema nos pede 
o valor para 2 horas, devemos fazer a seguinte regra de três: 
 
5,4 mL ------- 1 minuto 
Y mL ------- 120 minutos 
 
Y = 120.5,4 = 648 mL 
 
Logo, a alternativa correta é a letra (e). 
 
Questão 3: 
 
Laboratórios de medicamentos costumam realizar experiências com materiais 
voláteis, para que possam adicionar aos seus produtos. 
 
A velocidade de volatilização de um desses materiais é medida pela sua massa, 
em gramas, que decresce ao decorrer do tempo t, em horas, conforme a lei: 
 . 
 
Desta forma, qual é o tempo máximo que os laboratórios possuem para 
experimentar este material antes que ele se volatize totalmente? 
 
a) Inferior a 15 minutos 
b) Superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos 
c) Superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos 
d) Superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos 
e) Superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos 
 
 
 
 
 9 
 
Gabarito comentado: 
 
Para que o material se volatize totalmente, ele não poderá ter massa. Assim, 
vamos ver quanto tempo o material leva para que se volatize totalmente: 
 
 
 
Precisamos resolver esta equação exponencial. Para isso, vamos usar o artifício 
de chamar 3t = k: 
 
 
 
 ( ) √( ) ( )( )
 ( )
 
 √ 
 
 {
 ( )
 
 
 
Como 3t = k, então: 
 
 
Logo, o tempo total de volatilização é de 2 horas. Assim, o tempo máximo deve 
ser inferior a 120 minutos. 
 
Assim, a alternativa correta é a letra (e). 
 
Questão 4: 
 
A guerra biológica é uma realidade que assusta o mundo. 
 
Os Estados Unidos da América sofreram com o ANTHRAX, uma bactéria que até 
então era desconhecida da comunidade médica mundial. 
 
Sua contaminação se dá pelo ar, água, solo e pelos alimentos. Afeta pele e 
pulmões, ocasionando pneumonias e hemorragias, podendo levar uma pessoa ao 
óbito em 5 dias. 
 
Há relatos de fabricação desta bactéria por países diversos, cujo crescimento é 
dado pela fórmula ( ) 
 
 
 (
 
 
) , onde t representa o tempo em horas. Para 
se obter uma população de 3125 bactérias, qual seria o intervalo mais apropriado 
para expressar o tempo necessário, em horas? 
 
a) ]0,2] 
b) ]2,4] 
c) ]4,6] 
d) ]6,8] 
e) ]8,10] 
 
Gabarito comentado: 
 
 
 
 1
0 
 
Como o problema nos solicita o tempo para que a população seja de 3125 
bactérias, então ficamos com a seguinte equação obtida da fórmula dada: 
 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 (
 
 
) 
 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
 
Assim, o tempo necessário é de 7 horas e o intervalo apropriado é de ]6,8]. 
 
Logo, a alternativa correta é a letra (d). 
 
 
Questão 5: 
 
Curvas logísticas são usuais para a definição de modelos de crescimento 
populacional quando há a presença de fatores ambientais que impõem restrições 
ao tamanho possível da população e na propagação de epidemias. 
 
Assim, estima-se que, a partir da constatação de uma forma de gripe, o número 
N de pessoas contaminadas, em milhares, é 
 
 
 , onde t é o tempo 
decorrido, em semanas. 
 
O número estimado de pessoas contaminadas entre a 4ª semana e a 6ª semana é 
de, aproximadamente: 
 
a) 2621 pessoas 
b) 2721 pessoas 
c) 2821 pessoas 
d) 2921 pessoas 
e) 3021 pessoas 
 
 
 
 
Gabarito comentado: 
 
Para encontrarmos o número estimado de contaminações entre a 4ª e a 6ª 
semana, devemos calcular quantas pessoas foram contaminadas até a 4ª semana 
e diminuir da quantidade de pessoas contaminadas até a 6ª semana. 
 
 
 
 
 1
1 
O número de pessoas contaminadas até a 4ª semana é: ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O número de pessoas contaminadas até a 6ª semana é: ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, a estimativa de pessoas contaminadas entre as duas semanas é: 
N(6) – N(4) = 19627 – 16806 = 2821 pessoas. 
 
Portanto, a alternativa correta é a letra (c).