Lista de Exercicios 2 - Álgebra Linerar II (Rodrigo Peres)

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Lista II - Álgebra Linear II 
1) Verifique se as transformações abaixo são lineares: 
a) T: ℝ2 → ℝ, T(x,y) = xy 
b) T: ℝ2 → 𝑃2(ℝ), T(x,y) = ax
2
 + bx + c 
 
2) Mostre que as transformações abaixo são lineares e determine o 
núcleo e a imagem destas transformações: 
a) T: ℝ3 → ℝ2, T(x, y, z) = (-2x + 3y + z, 6x + y + 2z) 
b) T: ℝ3 → ℝ3, T(x, y, z) = (x + 2y – z, 2x – 3y, –2y + 4z) 
 
 
3) Seja F: ℝ3 → ℝ2 uma transformação linear definida por 
F(x,y,z) = (z, x + y). Determine a matriz de F em relação às bases 
B = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} de ℝ3 e C correspondente a base 
canônica do ℝ2. 
 
 
4) Sendo u = (x1, x2) e v = (y1, y2) vetores genéricos do ℝ
2
. Definamos 
<u,v> = 
2
22
2
11
b
yx
a
yx

, com a, b escalares reais fixos e não nulos. 
Mostre que <u,v> define um produto interno sobre o ℝ2. 
 
5) Sejam u = (x1, x2), v = (y1, y2) vetores genéricos do ℝ
2. Verifique se 
<u, v> = x1y1 + x1 + x2 + 1 + x2y2 define um produto interno sobre ℝ
2.