Aula 3 Metodo de Newton

Prévia do material em texto

MÉTODO DE NEWTON
Engenharia de Produção/3º período
Fabiana Rhodes - 2016
Método de Newton
O método de Newton (também chamado de método de Newton-Raphson) é
um esquema usado para se obter a solução numérica de uma equação na forma
f(x) = 0, onde f(x) é contínua e diferenciável e sua equação possui uma solução
próxima a um ponto dado.
Método de Newton
 O processo de solução começa com a escolha do ponto x1 como a primeira
estimativa da solução.
 A segunda estimativa, x2, é obtida a partir do cruzamento com o eixo x da reta
tangente a f(x) no ponto (x1, f(x1)).
 A estimativa seguinte, x3, é a interseção com o eixo x da reta tangente a f(x) no ponto
(x2, f(x2)), e assim por diante.
𝑥2 = 𝑥1 −
𝑓(𝑥1)
𝑓(𝑥1)
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓(𝑥𝑖)
Método de Newton
 As iterações são interrompidas quando o erro relativo estimado é menor que um
valor especificado ε:
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
𝑥𝑖+1
≤ 𝜀
 O método de Newton, quando bem-sucedido, converge rapidamente.
 A não convergência usualmente ocorre porque o ponto de partida não está
suficientemente próximo da solução.
Exemplo
Utilizando o método de Newton Raphson, determine a raiz da equação 
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐 𝑿 ∈ (𝟑, 𝟒) Com 𝜺 = 𝟏𝟎−𝟐
Exercício
1) Utilizando o método de Newton Raphson, resolva a equação 
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 Com 𝜺 = 𝟏𝟎−𝟓
2) Usando o método de Newton, resolva a equação 𝒍𝒏 𝒙 + 𝒙 + 𝟒 = 𝟎, 
com 𝜺 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏, tendo como solução inicial 1,5.
3) Obtenha a solução da equação 8 – 4,5(x – sen x) = 0 usando o método de 
Newton x = 2 como tentativa inicial da solução.