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ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 1
Sistema de m equações lineares em n incógnitas sobre um corpo
Sistema de equações lineares
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
( )
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
S
a x a x a x b
+ + + = + + + = + + + =
"
"
# # % % #
"
aij são elementos de um corpo Ω coeficientes
bj são elementos de um corpo Ω termos independentes
x1, x2, ..., xn são variáveis tomando valores em Ω variáveis ou incógnitas
ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 2
Representação matricial
Sistema de equações lineares
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
   =    
"
"
# # % %
"
1 1
2 2
n m
x b
x b
X B
x
AX B
b
         = = ⇒      
=
  
# #
A – matriz dos coeficientes do sistema ou matriz do sistema
B – matriz dos termos independentes
X – matriz das incógnitas
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Solução de um sistema de equações
Uma solução s do sistema de equações (S) é constituída por n escalares, s1, 
s2, ..., sn tal que
Sistema de equações lineares
1
2
n
s
s
s As B
s
   = ⇒ =   
#
Conjunto de soluções do sistema – colecção de todas as soluções do 
sistema (S)
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Classificação dos sistemas
Sistema de equações lineares
determinado (solução única)
possível
(tem soluções)
Sistema indeterminado (múltiplas soluções)
impossível
(não tem solução, equações são incompatíveis)
Sistema homogéneo – os termos independentes são todos nulos; é sempre 
possível pois admite pelo menos a solução nula.
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Sistemas de Cramer
Sistema de Cramer
- o número de equações é igual ao número de incógnitas;
- a matriz dos coeficientes, A, tem característica idêntica à ordem 
da matriz (r(A) = n; det(A) ≠ 0)
Os sistemas de Cramer podem ser resolvidos por:
- inversão de matrizes 
- Teorema de Cramer
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Sistemas de Cramer
Resolução por inversão de matrizes
Se AX=B é um sistema de Cramer,
A-1AX=A-1B 
InX = A-1B
X = A-1B
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11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
n
n
n n n nn
j
j n
j n
n n nj nn
a a b a
a a b a
a a b a
x
a a a a
a a a a
a a a a
=
" "
" "
# # % % % #
" "
" "
" "
# # % % % #
" "
Sistemas de Cramer
Teorema de Cramer
O valor de cada incógnita xj é 
obtido pelo quociente de dois 
determinantes: 
- o determinante do denominador 
é o determinante |A| da matriz dos 
coeficientes; 
- o determinante do numerador é o 
determinante que resulta de |A| 
substituindo a coluna dos 
coeficientes da incógnita xj pela 
coluna dos termos independentes.
coluna xj
ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 8
Resolução de sistemas
Resolução usando operações elementares
Fundamento do método
Transformação do sistema inicial num sistema equivalente de 
resolução mais simples.
Sistemas equivalentes – admitem o mesmo conjunto de soluções
Seja (S): AX=B um sistema de m equações em n incógnitas e 
C uma matriz invertível de ordem m.
Então o sistema (S’): (CA)X=CB é equivalente ao sistema (S).
ÁLGEBRA Sistemas de equações lineares - 9
Resolução de sistemas
Resolução usando operações elementares
Seja (S): AX=B um sistema de m equações em n incógnitas.
Seja [A’| B’] uma matriz obtida a partir da matriz completa
do sistema, [A | B], através de um número finito de operações 
elementares sobre as linhas. 
Então, o sistema A’X=B’ é equivalente ao sistema AX=B.
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Resolução de sistemas
Resolução usando operações elementares
Procedimento para a resolução do sistema AX=B
1. Construção da matriz completa do sistema [A | B];
2. Aplicação de operações elementares às linhas da matriz completa 
do sistema, transformando-a numa nova matriz [F | K];
esta nova matriz é uma matriz em formato de linhas escalonadas.
O sistema correspondente à matriz [F | K] é equivalente ao original e 
pode ser resolvido de forma (quase) directa.
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Resolução de sistemas
Matriz em formato de linhas escalonadas
(a) qualquer linha contendo um elemento não nulo precede 
as linhas cujos elementos são todos nulos;
(b) o primeiro elemento não nulo em cada linha é 1 e ocorre 
numa coluna à direita do primeiro valor 1 em qualquer linha 
anterior;
(c) o primeiro elemento não nulo em cada linha é o único 
elemento não nulo na respectiva coluna.
O processo usado para transformar a matriz completa do 
sistema numa matriz em formato de linhas escalonadas 
designa-se eliminação Gaussiana.
m
.
 triangular 
superio
r
m
.
 diagonal
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Resolução de sistemas
Eliminação Gaussiana (2 passos)
Passo 1 – a matriz completa do sistema é transformada numa 
matriz triangular superior com o valor 1 no primeiro elemento não 
nulo de cada linha; cada um destes valores ocorre numa coluna à 
direita do primeiro elemento não nulo da linha precedente 
(condições (a) e (b));
Passo 2 – a matriz triangular é transformada numa matriz com as 
linhas escalonadas (condição (c)).
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Sistemas homogéneos
Sistemas homogéneos
Um sistema AX=B de m equações em n incógnitas é homogéneo 
se B= O.
Qualquer sistema homogéneo tem pelo menos uma solução, a 
solução nula
0
0
0
s
   =    
#
Esta solução é designada solução trivial do sistema homogéneo.
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Sistemas homogéneos
Conjunto fundamental de soluções de um sistema homogéneo
O sistema AX=O tem soluções não nulas se e só se r(A) < n, isto é 
se a característica da matriz dos coeficientes for inferior ao número 
de incógnitas.
Um conjunto X1, X2, ..., Xk de soluções linearmente independentes 
do sistema AX=O é um conjunto fundamental de soluções se 
qualquer solução do sistema é uma combinação linear das soluções
X1, X2, ..., Xk.
O número de soluções de qualquer conjunto fundamental é igual ao
grau de indeterminação do sistema homogéneo.
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Sistemas homogéneos
Relação entre as soluções de um sistema e as soluções do sistema
homogéneo associado
A solução geral do sistema AX=B pode ser obtida somando uma 
solução particular deste sistema (s0) com a solução geral do sistema 
homogéneo AX=O associado (s).
Com efeito, se As= O e As0= B , então A(s+s0)= O+B = B.