Microsoft PowerPoint - Aula 9 - Sistemas Lineares-convertido

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Sistemas Lineares
Definição 1: Dados
1,...,n ,   , damos o
nome	de	Equação	Linear	Real	nas incógnitas x1,..., xn à equação dada por:
1
1x1  2 x2	 ...  n xn	 
Definição 2: Uma solução da equação (1) é uma seqüência de n números reais (uma n-
upla)	indicada	por
sentença	seja	verdadeira,	isto	é,	a	n-upla satisfaz a equação (1).
	tal	que	a
 b1, b2, ..., bn
Sistemas Lineares
Definição 3: Um Sistema de m Equações Lineares com n Incógnitas é um conjunto com m equações lineares, cada uma delas com n variáveis (ou incógnitas) consideradas simultaneamente.
 


2
..............
21	1	22	2	2n	n
 11x1  12 x2
 ...  1n xn	 1
x	 	x	 ...  	x	 
S : 
m1x1  m2 x2
 ...  mn xn	 m
Sistemas Lineares
 


2
..............
21	1	22	2	2n	n
 11b1  12b2
 ...  1n bn	 1
b	 	b	 ...  	b	 
S : 
m1b1  m2b2
 ...  mn bn	 m
Definição 4: Uma solução para o sistema é uma n-upla real b1,b2,...,bn  que satisfaz todas as equações simultaneamente, isto é,
S é verdadeiro.
Sistemas Lineares
Exemplo:

 x  y  10
S 
3x  4y  2
Solução:	S  6, 4
									


		










Sistemas Lineares
Exercício	01:	Determine	a	solução	do sistema linear a seguir:

2x  y  z  1
S  
x  2y  6
Obs: Se os termos independentes são nulos então o sistema é chamado homogêneo.
 2x  y  z  0
S  
x  2y  3z  0
Classificação quanto à Solução:
	1.	Sistema	Incompatível:
possui solução alguma.	quando	não
	2.	Sistema	Compatível:
possui solução.	aquele	que
Determinado: solução única
Indeterminado: infinitas soluções
Representação Matricial de um Sistema Linear
21	22
....
....
	....	
....
	....	
1n	  x1 	 1	
 11	12
 
  x		 	
S : 
2n .
2	
2   
 ....
....  .... 
 .... 

  x		 	
	m1	m 2
mn  	n 		m 
Matriz dos Coeficientes
Matriz das Variáveis
Matriz dos Termos Independentes
Sistemas Equivalentes
Definição 5: São aqueles que possuem o mesmo conjunto de soluções.
Proposição: As operações elementares aplicadas às equações de um sistema linear não altera seu conjunto de soluções.
Corolário: Dado um sistema linear sempre existe um outro sistema linear equivalente escalonado.
Notação:
S1	 S2
Matriz Ampliada
Definição: Chamamos de Matriz Ampliada do sistema linear S, a matriz A dada abaixo:
21	22
2n
mn
1n
 11	12
1 
 
	
A  
 ...
...
	...		2 
...	...	...	... 
	...		


	m1	m2
m 
Matriz dos Coeficientes
Coluna dos Termos Independentes
Resolver e Discutir
Resolver	um Sistema	Linear	é	encontrar	as soluções, sempre que isso for possível.
Discutir	um	Sistema	Linear	é	classificá-lo quanto ao número de soluções.
Após o escalonamento da matriz ampliada de um	sistema	linear,	temos	a	matriz	ampliada
de	um simples.
sistema	linear	equivalente	mais Assim		podemos	classificá-lo
rapidamente, conforme a discussão a seguir.
Discussão de um
Sistema Linear Escalonado
Seja S um sistema linear com m equações e n variáveis. Após o escalonamento, e retira- das as equações todas nulas, suponha que restaram p equações. Então:
1.	Se a última equação do sistema é do tipo:
0   p , com  p	 0 , temos um Sistema Linear Incompatível (SI).
Discussão de um Sistema Linear Escalonado
2.	Caso	não	existe	equações	como	no	caso anterior, então temos duas possibilidades:
ele é um sistema compatível
determinado (SCD).
a)	Se	p  n
p		n
b)	Se	ele é um sistema compatível
indeterminado (SCI).
Sistema de Cramer
O Sistema Linear é de Cramer se possui o mesmo número de equações e incógnitas (sistema quadrado), e se a matriz dos coeficientes é uma matriz inversível.
Sua solução é única (SCD) e dada por:
AX	 B   A1 A X	 A1B  X	 A1B
Exemplo:
O determinante dessa matriz é 3, logo esse é um sistema de Cramer. Sua solução é dada por:

 1	1	0 
	1	
0
S :  y
⇒	A   0
1 
 x
 1
2 
 x		y		1
	z		1
	2z		0
		
 x 
1   1 	 0 
	
1 
 			
 y   3  1
 z 
1   0 	 0 
 2	2
2	1. 1    1 	 V  0,1, 0
 1	1
		
 			
Matriz
Ampliada
Exercícios
Exercício 1: Discuta e resolva os sistemas:

 x		y		z		4
	5 y		2z		3
	6 y		z		7
a)	S : 2x
3x
S : 
 x		2 y		3z		0
2x		5 y		6z		0
b)
c)

S : 2x
 x		y		1
	3y		4
x		4 y		3

Exercícios
Exercício 2: Determine valores para m, tal que o sistema S abaixo seja :
Compatível determinado
Incompatível
Compatível Indeterminado

S : 2x
 x		y		2
my		3
3x		(1 m)		5

Exercícios
Exercício 3: Considere o Sistema Linear abaixo:
 x  m1 y  b1
S : 
x  m2 y  b2
,	m1 , m2 , b1 , b2  R
mostre	que	o	sistema	só	será
a)	Mostre	que		o	sistema	tem	uma	única	solução se m1  m2	.
b)	Se m1  m2 ,
compatível, se	b1  b2	.