Espaços Veoriais

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ESPAÇOS VETORIAIS 
Espaços Vetoriais 
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Espaços Vetoriais 
• Exemplos: 
1. Dado o conjunto v ϵ R2, {v=(x,y) e x, y ϵ R}, verifique se v 
é um espaço vetorial com as operações de adição e 
multiplicação por um escalar assim definido: 
• (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2,y1+y2) 
• α(x,y) = (αx,αy) 
 
2. Dado o conjunto v ϵ R2, {v=(a,b), a,b ϵ R}, verifique se v 
é um espaço vetorial com as operações de adição e 
multiplicação por um escalar assim definido: 
• (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) 
• K(a,b) = (Ka, b) 
 
 
 
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Espaços Vetoriais 
3. Dado o conjunto v ϵ R2, {v=(x,y) e x, y ϵ R}, verifique se 
v é um espaço vetorial com as operações de adição e 
multiplicação por um escalar assim definido: 
• (x1, y1) + (x2, y2)=(x1+x2,y1) 
• α(x1,y1)=(αx1,0) 
 
4. Dado o conjunto com as operações de adição e 
multiplicação por um escalar nele definidas. verificar se é 
um espaço vetorial, se por acaso não for, citar os 
axiomas que não se verificam. 
• {(x, 2x, 3x); x ϵ R} 
 
 
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Subespaços Vetoriais 
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Espaços Vetoriais 
 Exemplos: 
 Dados os subconjuntos S, verificar se são subespaço 
vetorial de V relativo as operações de adição e 
multiplicação por um escalar usuais: 
 Exemplo 1 : V = R2 S = {(x,y) ϵ R / y = 2x} 
 
u= (x1, 2x1) v = (x2, 2x2) 
 
 
 Exemplo 2 : V = R2 S = {(x,y) ϵ R / y = 4 - 2x} 
 
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Espaços Vetoriais 
• Exemplo 3 : V = R2 S = {(x, x2), x ϵ R} 
 
• u= (x1, x
2
1) v = (x2, x
2
2) 
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• Exemplo 6: V = R2, onde W = {(x,x2); x ∈ R}. 
• Se escolhermos u = (1,1) e v = (2,4), temos: 
• u + v = (3,5) ∉ W. 
• Assim, W não é subespaço vetorial de V. 
 
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Exemplo 4 : V = R2 S = {(x,y), x = 0} 
 
u = (0, y1) e v = (0, y2) 
 
 
Exemplo 5 : V = R3 S = {(x,y,z), x = 4y e z = 0} 
 
u = (4 y1, y1, 0 ) 
 
 
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Espaços Vetoriais 
Exemplo 6: V = R4 S = {(x, y, z, 0), x, y e z ϵ R} 
 
u = (x1, y1, z1, 0) v = (x2, y2, z2, 0) 
 
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Espaços Vetoriais 
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 u = (0, x2, x3, x4, x5) v = (0, y2, y3, y4, y5) 
Espaços Vetoriais 
 Exemplo 6 : V = M2x2 = { , a, b, c, d ϵ R} 
 
S = { , a, b ϵ R} 
 
 v = 
 
 
 
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Espaços Vetoriais 
Exemplo 7 : V = M2x2 = { , a, b, c, d ϵ R} 
 
S = { , a, b ϵ R} 
 
u = 
 
 
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Espaços Vetoriais 
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u = v = 
 
 
 
 
Espaços Vetoriais 
Exemplo 8: V = R4 S = {(x, y, z,) ϵ R / ax + by + cz = 0} 
 
u = (x1, y1, z1) v = (x2, y2, z2) 
 
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Espaços Vetoriais 
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Espaços Vetoriais 
• Exemplo: V = R3. 
• W1 ∪ W2 não é subespaço de V. 
 
 
 
 
 
 
• Entretanto, podemos construir um conjunto W, que 
contém W1 e W2 e é subespaço de V. 
• W = W1 + W2 será chamado “soma de W1 e W2”. 
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Espaços Vetoriais 
• Exemplo: 
 
• Onde a, b, c e d ∈ R. Então: 
 
 
 
• Quando W1 ∩ W2 = {0}, então W1 + W2 é chamado 
soma direta de W1 com W2, denotado: 
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Combinação Linear 
• Definição: Sejam V um espaço vetorial real (ou 
complexo), v1, v2, ..., vn ∈ V e a1, ..., an números reais (ou 
complexos). Então, o vetor: 
v = a1 v1 + a2 v2+ ...+ an vn 
• É um elemento de V ao que chamamos combinação 
linear de v1, v2, ..., vn. 
• Além disso, o conjunto W de todos os vetores de V que 
são combinação linear destes, é um subespaço vetorial. 
• W é chamado subespaço gerado por v1, v2, ..., vn e 
usamos a notação: 
W = [v1, v2, ..., vn] 
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Combinação Linear 
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Exemplo 2: O vetor v = (-4,-18,7) ϵ R3 pode ser descrito como uma combinação 
linear dos vetores de S = {(1,-3,2), (2,4,-1)}. Resp: v = 2v1 -3v2 
 
 
Exemplo 3: O vetor v = (4,3,-6) ϵ R3 não é uma combinação linear dos vetores de S 
= {(1,-3,2), (2,4,-1)}. 
 
Exemplo 4: O vetor u = (-1,k,-7) ϵ R3 qual deve ser o valor de k de modo que u 
pode ser descrito como uma combinação linear dos vetores de S = {(1,-3,2), 
(2,4,-1)}. Resp: k=13 
 
Exemplo 5: O vetor v = (5,2) ϵ R2 pode ser descrito como uma combinação linear 
dos vetores de S = {(1,0), (0,1), (3,1)}. Resp: v = (5-3c) v1 + (2-c) v2 + c v3