201925 131346 Calculo+III

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Cálculo III 
 
Ementa: Integrais múltiplas. Integrais de Linha. Teorema de Green. Integrais de superfície, teoremas 
de Gauss e Stokes. Sequências numéricas. Séries numéricas. Critérios de convergência e 
divergência para séries de termos positivos. Séries absolutamente convergentes. 
Sequências de funções. Séries de funções. Séries de potências. Introdução às séries de 
Fourier. 
 
Bibliografia básica: 
• Anton, Howard, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo: um novo horizonte - Vol. I e II, 8ª. Ed, Porto Alegre: 
Bookman, 2007 
• Stewart, James. Cálculo - Vol. I e II. 6ª Ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. 
• Thomas, George B., Cálculo, Vol. I e II. 10ª edição, São Paulo: Addison Wesley, 2002. 
 
Bibliografia complementar: 
• Boulos, Paulo. Cálculo diferencial e Integral. Vol. I e II. São Paulo: Pearson Education, 2004. 
• Leithold, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. I e II . 3ª Ed. São Paulo: Editora Harbra, 1994. 
• Piscounov, N. Cálculo diferencial e Integral, Moscou: Mir, 1978. 
• Simmons, George F. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. I e II. 2ª Ed. São Paulo: Makron Books, 1995. 
• Swokowski, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica – Vol. I e II Editora MAKRON BOOKS, 1995. 
 
A atividade avaliativa será contemplada na resolução dos exercícios abaixo com valor de 
10 pontos. 
PRAZO DE ENTREGA: 05/03/2019 via portal acadêmico. 
Todos os alunos deverão estar postando a resolução no portal individualmente. 
Não será aceito trabalhos fora do prazo ou por email. 
 
Questão 1 - O volume de uma peça no formato de uma esfera de raio 𝑎 com centro na origem de um sistema de 
coordenadas pode ser encontrado utilizando vários métodos. Você deverá mostrar que o volume da mesma é dado 
por 
4
3
𝜋𝑎3, utilizando uma integral dupla ou tripla a seu critério. 
 
 
Questão 2 
(a) Encontre a fórmula para o termo geral da sequência 
2
1
,
4
3
,
8
5
,
16
7
, … 
(b) Liste os quatro primeiros termos da sequência 𝑎1 = 6, 𝑎𝑛+1 =
𝑎𝑛
𝑛
 
(c) Desloque o índice de somatório da série ∑ (𝑛 − 1)3𝑛𝑥𝑛∞𝑛=2 , de forma que o expoente de 𝑥 em cada um 
deles seja 
 𝑛 + 1 
(d) Mostre por indução matemática a validade da seguinte fórmula 
1
1.3
+
1
3.5
+
1
5.7
+ ⋯ +
1
(2𝑛−1).(2𝑛+1)
=
𝑛
2𝑛+1
 
 
Questão 3 
Você está participando de um processo seletivo de várias etapas, e entre elas consta a resolução de alguns 
problemas estudados na disciplina de Cálculo III. Em um primeiro momento, você deverá fazer o esboço de 
algumas superfícies quádricas, bem como o sólido limitado por elas . A seguir, modelar o volume do sólido 
encontrado utilizando uma integral tripla em coordenadas cartesianas na ordem 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥. É bom recordar que 
nos livros de Cálculo encontramos que 
 𝑉 = ∭ 𝑑𝑉
𝑉
, onde 𝑑𝑉 = 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥, 𝑑𝑉 = 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃 ou 𝑑𝑉 = 𝜌2 sin 𝜑 𝑑𝜌 𝑑𝜑 𝑑𝜃 
 
 
(a) Faça o estudo analítico e esboce o paraboloide 𝑦 = 𝑥2 + 𝑧2 
 
(b) Esboce o paraboloide 𝑦 = 8 − 𝑥2 − 𝑧2 
 
(c) Esboce o sólido limitado pelos paraboloides em (a) e (b) 
 
(d) Escreva uma integral tripla para determinar o volume do sólido em (c) . (não calcule a integral) 
 
 
Questão 4 
Mostre utilizando uma integral em coordenadas esféricas que o volume do sólido representado é 
𝜋
6
. 
 
 
Questão 5- Teorema da divergência 
Seja 𝐺 um sólido cuja superfície 𝜎 é orientada para fora. Se 
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒊 + 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒋 + ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒌 onde 𝑓, 𝑔 e ℎ têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em 
algum conjunto aberto contendo G, e se 𝒏 for o vetor unitário para fora de 𝜎, então 
∬ 𝑭. 𝒏 𝑑𝑆 = ∭ 𝑑𝑖𝑣 𝑭 𝑑𝑉
𝐺𝜎
 
O fluxo de uma campo vetorial através de uma superfície com orientação para fora costuma ser denominado fluxo 
de saída através da superfície, isto é, o fluxo da saída de um campo vetorial através de uma superfície fechada é 
igual à integral tripla da divergência na região envolvida pela superfície. 
Use o teorema da divergência para calcular o fluxo de saída do campo vetorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥3𝒊 + 𝑦3𝒋 + 𝑧3𝒌 através 
da superfície da região compreendida pelo hemisfério 𝑧 = √𝑎2 − 𝑥2 − 𝑦2 e o plano 𝑧 = 0. 
Sugestão utilize coordenadas esféricas: 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝜌2; ∭ 𝑓 (𝜌, 𝜃, 𝜙)𝑑𝑉
𝑉
, onde 𝑑𝑉 = 𝜌2 sin 𝜑 𝑑𝜌 𝑑𝜑 𝑑𝜃 
 
 
 
Questão 6 
 
Quando lidamos com séries, um assunto de extrema relevância é a convergência. Uma representação por série de uma função 
tem pouca utilidade se a série não converge para a função. Dada a série de potências ∑
𝑥2𝑛
(2𝑛) !
∞
𝑛=0 . Determine: 
(a) O centro da série. 
(b) O raio de convergência utilizando o teste da razão 
(c) Mostre que a função representada pela série de potências é solução da equação diferencial 𝑦′′ − 𝑦 = 0 
 
 
Questão 7 
 
Teorema de Green 
 
Seja 𝑅 uma região plana simplesmente conexa, cuja fronteira é uma curva C lisa por partes, fechada, simples e 
orientada no sentido anti-horário. Se 𝑓(𝑥, 𝑦) e 𝑔(𝑥, 𝑦) forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem 
contínuas em algum conjunto aberto contendo 𝑅, então 
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = ∬ (
𝜕𝑔
𝜕𝑥
−
𝜕𝑓
𝜕𝑦
) 𝑑𝐴
𝑅
𝐶
 
Calcule a integral de linha usando o teorema de Green e verifique a sua resposta calculando-a diretamente. 
∮ 𝑦2𝑑𝑥
𝐶
+ 𝑥2𝑑𝑦, onde 𝐶 é o quadrado de vértices (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1) no sentido anti-horário.