MAT 141 - Cálculo Diferencial e Integral I (UFV) - 1a Lista de Integrais

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Universidade Federal de Vic¸osa
Departamento de Matema´tica
MAT 141 (Turma 1) – Ca´lculo Diferencial e Integral I – 2017/II
1a Lista de Integrais (07/11/2017)
1) Fac¸a a antidiferenciac¸a˜o. Verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta.
(a)
∫
y3(2y2 − 3) dy
(b)
∫ √
x(x+ 1) dx
(c)
∫
x2 + 4x− 4√
x
dx
(d)
∫
3
√
x+
1
3
√
x
dx
(e)
∫
e−x dx
(f)
∫
x2 ln(100) dx
2) Determine a func¸a˜o y = y(x), y ∈ R tal que
(a)
dy
dx
= x3 − x+ 1 , y(1) = 1 (b) d
2y
dx2
= e−x , y(0) = 0 e y′(0) = −1
3) Determine a func¸a˜o y = f(x), definida num intervalo aberto I, com 1 ∈ I e tal que:
(a) f(1) = −1 e dy
dx
= 2y2, ∀x ∈ I. (b) f(1) = 1 e dy
dx
= xy, ∀x ∈ I.
4) Determine a func¸a˜o f cont´ınua tal que:
(a) f(pi) = 2 e
∫
f ′(x)tgx dx = sen 3x− cosx+ c, c ∈ R
(b) f(0) = 5 e
∫
arctg
(
f ′(x)
x
)
dx = x3 + c, c ∈ R
(c) f(0) = 1 e
∫
(1 + x2)f ′(x) dx = x+ c, c ∈ R
5) Obtenha a equac¸a˜o de uma curva y = f(x), sabendo que o coeficiente angular da reta tangente em um de
seus pontos e´ igual ao sime´trico do dobro de sua abscissa e que o ponto (1, 1) pertence a curva.
6) Em todos os pontos de uma curva y = f(x) tem-se que y” = x2 − 1. Obtenha a equac¸a˜o desta curva que
passa pelo ponto (1, 1) e a reta tangente neste ponto e´ paralela a` reta x+ 12y − 13 = 0.
7) A velocidade de uma part´ıcula, no instante t, em movimento numa linha reta e´ dada por v(t) =
3
√
t2.
Determine a func¸a˜o hora´ria do movimento s(t) sabendo que s(0) = 3.
8) Uma part´ıcula move-se ao longo de um eixo x. Determine a func¸a˜o posic¸a˜o da part´ıcula, sabendo-se que:
(a) v(t) = t3 − 2t2 + 1 e x(0) = 1 (b) a(t) = 4 cos(2t), v(0) = −1 e x(0) = −3.
9) Estima-se que daqui a t meses a populac¸a˜o de uma certa cidade estara´ variando segundo uma taxa de 2+6
√
t
pessoas por meˆs. A populac¸a˜o atual e´ de 5000 pessoas. Qual a populac¸a˜o daqui a 9 meses?
10) Um tanque de armazenamento de petro´leo sofre uma ruptura no instante t = 0 e o petro´leo vaza do tanque
a uma taxa de 100 e−0,01 t litros/min. Determine a quantidade de litros de petro´leo que vazou do tanque nos
primeiros sessenta minutos.
11) Mostre que:
(a) Se F e´ uma primitiva de f , enta˜o
∫
f(ax+ b) dx =
1
a
F (ax+ b) + c, c ∈ R
(b) Para n 6= −1,
∫
(ax+ b)n dx =
1
a
(ax+ b)n+1
n+ 1
+ c, c ∈ R
12) Dado a > 0, mostre que:
(a)
∫
1√
a2 − x2 dx = arcsen
(x
a
)
+ c
(b)
∫
1
a2 + x2
dx =
1
a
arctg
(x
a
)
+ c
(c)
∫
1√
x2 ± a dx = ln
∣∣∣x+√x2 ± a∣∣∣+ c
(d)
∫
1
x2 − a2 dx =
1
2a
ln
∣∣∣∣x− ax+ a
∣∣∣∣+ c
13) Resolva (usando o me´todo de substituic¸a˜o)
(a)
∫
1
3x− 2 dx
(b)
∫
1
(3x− 2)2 dx
(c)
∫
xsen (x2) dx
(d)
∫
x2ex
3
dx
(e)
∫
x3 cos(x4) dx
(f)
∫
sen 5(x) cos(x) dx
(g)
∫
3x
5 + 6x2
dx
(h)
∫
x
(1 + 4x2)2
dx
(i)
∫
x
√
1 + 3x2 dx
(j)
∫
sen (x)
cos2(x)
dx
(k)
∫
1− 2x√
3x+ 2
dx
(l)
∫
1√
9− x2 dx
(m)
∫
x2
9 + x2
dx
(n)
∫
x
1 + x4
dx
14) Complete o quadrado e use as integrais do exerc´ıcio (12) para calcular as integrais:
(a)
∫
1√
2− x− x2 dx
(b)
∫
3− 4x√
3x− x2 − 2 dx
(c)
∫
3x− 1
x2 + 8x+ 25
dx
(d)
∫
1
2x2 + 3x+ 1
dx
(e)
∫
x− 1√
1− x− x2 dx
15) Calcule (usando o me´todo de integrac¸a˜o por partes)
(a)
∫
x2ex dx
(b)
∫
x2 ln(x) dx
(c)
∫
xsec 2(x) dx
(d)
∫
x(ln(x))2 dx
(e)
∫
(ln(x))2 dx
(f)
∫
xe2x dx
(g)
∫
e−2xsen (x) dx
(h)
∫
x3ex
2
dx
(i)
∫
x3 cos(x2) dx
(j)
∫
e−x cos(2x) dx
(k)
∫ √
16− x2 dx
(l)
∫
x2√
16− x2 dx
(m)
∫
x2
√
16− x2 dx
(n)
∫
arcsen (x/4) dx
(o)
∫
x arcsenx dx
16) Resolva as integrais
(a)
∫
sen 2x cos3 x dx
(b)
∫
cos3 x sen 3x dx
(c)
∫
sen 2x
√
1 + cos2 x dx
(d)
∫
sen 2x
√
5 + sen 2x dx
(e)
∫
cos5 x dx
(f)
∫
tg 3x sec 2x dx
(g)
∫
tgx sec 3x dx
(h)
∫
tg 3x sec 4x dx
(i)
∫
senx
√
3 + cosx dx
(j)
∫
senx sec 2x dx
17) Calcule
(i)
∫
2x3
√
x+ e2x+3 dx
(ii)
∫
e
√
y dx
(iii)
∫
8x2
√
6x3 + 5 dx
(iv)
∫
sen θ
(7− cos θ)3 dθ
(v)
∫
sec 2(5x+ 3) dx
(vi)
∫
x3 + x+ 1
1 + x2
dx
(vii)
∫
a3 − 1
a− 1 da
(viii)
∫
3x
(4− 3x2) 8 dx
(ix)
∫
sen x
cos5x
dx
(x)
∫
sen(2x) senx dx
(xi)
∫
tg x dx
(xii)
∫
x3 + 1
x− 2 dx
(xiii)
∫
1√
16− (x− 1)2 dx
(xiv)
∫
x+ sec 2(5x) dx
(xv)
∫
tg x sec 2x dx
(xvi)
∫
1
(x+ 3)2 + 4
dx
(xvii)
∫
1
x2 + 6x+ 13
dx
(xviii)
∫
x2
x2 + 1
dx
(xix)
∫
cos θ
3
√
sen θ dx
(xx)
∫
cosx
3− senx dx
(xxi)
∫
x 2x
2
dx
(xxii)
∫
x
√
x+ 1 dx
(xxiii)
∫
sen 3x dx
(xxiv)
∫
sen 2x dx
(xxv)
∫
secx dx
(xxvi)
∫
tg 4x dx
(xxvii)
∫
x3√
4 + x2
dx
(xxviii)
∫
1√
8x− x2 dx
(xxix)
∫
x√
1− x4 dx
(xxx)
∫
cos3x
sen 4x
dx
18) Calcule as integrais
(i)
∫ √
1− cos(4x) dx
(ii)
∫
3x2 − 7x
3x+ 2
dx
(iii)
∫
3x+ 2√
1− x2 dx
(iv)
∫
1√
x(
√
x+ 1)
dx
(v)
∫
6x+ 7
x2 + 4x+ 4
dx
(vi)
∫
x− 1
x2
dx
(vii)
∫
sen (
√
x) dx
(viii)
∫ √
a2 − x2 dx
(ix)
∫ √
t ln t dx
(x)
∫
cos(ln t) dx
(xi)
∫
sec 3x dx
(xii)
∫
tg 5x sec 7x dx
(xiii)
∫
xarctgx dx
(xiv)
∫
ln(1 + x2) dx
(xv)
∫
x3 + x
x− 1 dx
(xvi)
∫
x+ 9
x2 + 2x+ 3
dx
(xvii)
∫
x cos2 x dx
(xviii)
∫ √
9− x2
x2
dx
(xxi)
∫
x2
3
√
x2 − 4 dx
(xxiii)
∫
2x4 + 4x4 + 2x3 + 2x− 1
2x3
dx
(xxiv)
∫
x3 + x+ 1
1 + x2
dx
Gabarito
1) (a) 13y
6 − 34y4 + c
(b) 23x
5
2 + 23x
3
2 + c
(c) 25x
5
2
8
3x
1
2 + c
(d) 34x
4
3 + 32x
2
3 + c
(e) −e−x
(f) x
3
3 ln(100)
2) (a) y = x
4
4 − x
2
2 + x+
1
4 (b) y = e
−x − 1
3) (a) A func¸a˜o f(x) = −12x−1 , x >
1
2 satisfaz as condic¸o˜es dadas (A condic¸a˜o x >
1
2 e´ para garantir que 1
pertenc¸a ao domı´nio de f .)
(b) A func¸a˜o y = 1√
e
e
x2
2 , x ∈ R satisfaz as condic¸o˜es dadas.
4) (a) f(x) = − cos3 x+ senx+ 1
(b) f(x) = −1/6 ln | cos(3x2)|+ 5
(c) f(x) = arctgx+ 1
5) y = 2− x2
6) 12y = x4 − 6x2 + 7x+ 10
7) 35
3
√
t5 + 3
8) (a) x(t) = t4/4− 2t3/3 + t+ 1
(b) − cos(2t)− t− 2
9) 5126 pessoas
10) 10.000(1− e−0,6)
13) (a) 13 ln |3x− 2|+ c
(b) − 13(3x−2) + c
(c) −12 cos(x2) + c
(d) 13e
x3 + c
(e) 14sen (x
4) + c
(f) 16sen
6(x) + c
(g) 14 ln(5 + 6x
2) + c
(h) − 1
8(1+4x2)
+ c
(i) 19
√
(1 + 3x2)3 + c
(j) 1cos(x) + c
(k) −2
√
3x+2·(6x−17)
27
(l) arcsen
(
x
3
)
+ c
(m) x− 3 arctg (x3)+ c
(n) 12arctg (x
2) + c
14) (a) arcsen
(
2x+1
3
)
+ c
(b) 4
√
3x− x2 − 2− 3 arcsen (2x− 3) + c
(c) 32 ln |x2 + 8x+ 25| − 133 arctg
(
x+4
3
)
+ c
(d) ln
∣∣∣∣2x+ 12x+ 2
∣∣∣∣+ c
(e) −32arcsen
(
2x+1√
5
)
−√−x2 − x+ 1 + c
15) (a) ex(x2 − 2x+ 2) + c
(b) 13x
3(ln(x)− 13) + c
(c) xtg (x) + ln | cos(x))|+ c
(d) x
2
2
[
(lnx)2 − lnx+ 12
]
+ c
(e) x(lnx)2 − 2x(lnx− 1) + c
(f) 12e
2x
(
x− 12
)
+ c
(g) −15e−2x(cosx+ 2senx) + c
(h) 12(x
2 − 1)ex2 + c
(i) 12(x
2senx2 + cosx2) + c
(j) e
−x
5 (2sen 2x− cos 2x) + c
(k) 8 asin
(
x
4
)
+ x
√
16−x2
2 + c
(l) 8 arcsen
(x
4
)
− x
√
16− x2
2
+ c
(m) 14 [8 arcsen (x/4)−x
√
(16− x2)2 + 2x√16− x2] + c
(n) x4 [arcsen (x/4) +
√
16− x2] + c
(o) 12 [x
2arcsen (x) + arcsen (x)2 +
x
√
1−x2
2 ] + c
16) (a) sen
3x
3 − sen
5x
5 + c
(b) sen
4x
4 − sen
6x
6 + c
(c) −23
√
(1 + cos2 x)3 + c
(d)23
√
(5 + sen 2x)3 + c
(e) senx− 23sen 3x+ 15 cos5 x+ c
(f) 14tg
4x+ c
(g) 13sec
3(x) + c
(h) 16sec
6(x)− 14sec4(x) + c
(i) −23
√
(3 + cos(x))3 + c
(j) sec(x) + c
17) (i) 49x
9/2 + 12e
2x+3 + C
(ii) x e
√
y + C
(iii) 827
√
(6x3 + 5)3 + C
(iv) − 1
2(7−cos θ)2 + C
(v) 15tg (5x+ 3) + C
(vi) x2/2 + arctgx+ C
(vii) a3/3 + a2/2 + a+ C
(viii) 1
14(4−3x2)7 + C
(ix) 1
4 cos4x
+ C
(x) senx2 − sen 3x6 + C
(xi) ln(sec x) + C
(xii) 9 ln(x− 2) + (x3 + 3x2 + 12x)/3 + C
(xiii) (x−1)
√−x2+2x+15
2 − 8 arcsen
(
1−x
4
)
+ C
(xiv) x
2
2 +
1
5tg (5x) + C
(xv) 12tg
2x+ C
(xvi) 12arctg ((x+ 3)/2) + C
(xvii) 12arctg ((x+ 3)/2) + C
(xviii) x− arctgx+ C
(xix) 34
3
√
sen 4x+ C
(xx) − ln (3− senx) + C
(xxi) 2(x
2− 1)/ ln 2 + C
(xxii) 25(x+ 1)
5/2 − 23(x+ 1)3/2 + C
(xxiii) 13 cos(x
3)− cosx+ C
(xxiv) x/2− sen (2x)/4 + C
(xxv) ln |tgx+ secx|+ C
(xxvi) 13tg
3x–tgx+ x+ C
(xxvii) x
2
3
√
x2 + 4− 83
√
x2 + 4 + C
(xxviii) −arcsen (1− x/4) + C
(xxix) −12arctg (
√
x−2 − x2 + C
(xxx) 1senx − 13sen3x + C
Algumas dicas.
(a) Use divisa˜o de polinoˆmios em, por exemplo, (17vi) e (17vii).
(b) Complete quadrado em, por exemplo, (17xvii) e (17xxviii).
(c) Multiplique/divida por secx+ tgx em (17xxv).
(d) Mostre que sen 2x = 1−cos(2x)2 e cos
2 x = 1+cos(2x)2 . Use uma dessas relac¸o˜es em, por exemplo, (17xxiv).
(e) Use uma relac¸a˜o trigonome´trica apropriada em, por exemplo, (17x), (17xi), (17xxiii), (17xxvi) e (17xxx).
18) (i) 12
√
2sen (2x) + C
(ii) 12x
2 − 3x+ 2 ln(3x+ 2) + C
(iii) −3√1− x2 + 2arcsenx+ C
(iv) 2 ln(
√
x+ 1) + C
(v) 5x+2 + 6 ln(x+ 2) + C
(vi) lnx+ 1x + C
(vii) 2sen
√
x− 2√x cos√x+ C
(viii) 12a
2arcsen (x/a) + x
√
a2 − x2 + C
(ix) 23x
3/2 lnx− 4/9x3/2 + C
(x) 12x[cos(lnx) + sen (lnx)] + C
(xi) senx
2 cos2 x
+ 12 ln(secx) + tgx+ C
(xii) 111sec
11x− 29sec 9x+ 17sec 7x+ C
(xiii) 12 [x
2arctgx− x+ arctgx] + C
(xiv) x ln(x2 + 1)− 2x+ 2arctgx+ C
(xv) 13x
3 + 12x
2 + x+ 4 ln(x− 1) + C
(xvi) 12 ln(x
2 + 2x+ 3) + 4
√
2arctg ((x+ 1)/
√
2) + C
(xvii) xsen (2x)/4 + cos(2x) + 2x2 + C
(xviii) −arcsen (x/3)−
√
9−x2
x + C
(xxi) 16x
√
x2 − 4 + 23 ln(x+
√
x2 − 4) + C
(xxiii) x
3
3 + x
2 + x− 1x + 14x2 + C
(xxiv) x
2
2 + arctgx+ C