AL_CAP_03

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INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
 
CAPÍTULO 3 
 
DEPENDÊNCIA LINEAR 
1 Combinação Linear 
Definição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um vetor Vu ∈ é dito uma 
combinação linear dos vetores Vv,,v,v n ∈L21 , se existem escalares na,,a,a L21 em K tais 
que nnvavavau +++= L2211 . 
De forma abreviada, pode-se escrever: 
∑
=
=
n
i
iivau
1
. 
Exemplos: 
1) Verificar se o vetor ( )520 ,,u −= pode ser escrito como combinação linear dos vetores 
( )1111 −= ,,v , ( )0112 ,,v = e ( )1023 ,,v −= . 
Para que se possa escrever u como combinação linear dos vetores { }321 v,v,v , é preciso 
encontrar, se existirem, números reais a, b e c tais que 321 cvbvavu ++= . 
Para isso, escreve-se a sentença: 
( ) ( ) ( ) ( )102011111520 ,,c,,b,,a,, −++−=− , 
de onde segue-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ca,ba,cbac,,c,b,ba,a,a,, +−+−+=−++−=− 2020520 . 
Da igualdade de vetores, vem: 





=+−
−=+
=−+
5
2
02
ca
ba
cba
 . 
Resolvendo-se, por qualquer método, este sistema linear, obtém-se: 
6−=a , 4=b e 1−=c . 
Dessa forma, pode-se escrever: 
321 46 vvvu −+−= , 
ou seja, o vetor u pode ser escrito como combinação linear dos vetores 1v , 2v e 3v . 
2) Conforme se viu no Capítulo 2, os elementos de um espaço vetorial V sobre um corpo K, 
independentemente de sua natureza, são chamados vetores. Também se viu que o conjunto 
de todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a n (incluindo o 
polinômio nulo), com as operações usuais de adição de polinômio e multiplicação por escalar, é 
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um espaço vetorial real. Esse espaço é denotado por ( )( )⋅+ℜ ,,Pn . Considerando-se 2=n , tem-
se o espaço ( )( )⋅+ℜ ,,P2 , dos polinômios de grau menor ou igual a 2, com coeficientes reais. 
Assim, mesmo que os elementos deste espaço sejam polinômios, eles são chamados de 
vetores. 
Considerando-se os vetores ( ) ttp +−= 11 , ( ) 22 tttp −= e ( ) 23 23 ttp += deste espaço, 
verificar se o vetor ( ) 2522 tttq +−= é combinação linear desses vetores. 
Para que o vetor q possa ser escrito como combinação linear dos vetores 1p , 2p e 3p é 
preciso encontrar números reais a, b e c tais que: 
( ) ( ) ( ) ( )tcptbptaptq 321 ++= . 
Assim, vem: 
( ) ( ) ( )222 231522 tcttbtatt ++−++−=+− , 
ou seja, 
( ) ( ) ( )222 23522 ctcbtbtatatt ++−++−=+− , 
ou, ainda, 
( ) ( ) ( ) 22 23522 tcbtbacatt +−++++−=+− . 
Da igualdade de polinômios, vem: 





=+−
−=+
=+−
52
2
23
cb
ba
ca
; 
Resolvendo-se o sistema linear, obtém-se: 1=a , 3−=b e 1=c e se pode escrever que: 
( ) ( ) ( ) ( )tptptptq 321 3 +−= , 
isto é, q é uma combinação linear de 1p , 2p e 3p . 
3) Verificar se o vetor ( )112 ,,u = pode ser escrito como combinação linear dos vetores 
( )2111 −−= ,,v , ( )1232 −= ,,v e ( )3143 −= ,,v . 
Para que o vetor u possa ser escrito como combinação linear dos vetores { }321 v,v,v , é 
preciso encontrar escalares a, b e c tais que 321 cvbvavu ++= . Escreve-se, então: 
( ) ( ) ( ) ( )314123211112 −+−+−−= ,,c,,b,,a,, , 
ou seja, 
( ) ( ) ( ) ( )c,c,cb,b,ba,a,a,, 34232112 −+−+−−= , 
isto é, 
( ) ( )cba,cba,cba,, 32243112 −−−++−++= . 
Da igualdade de vetores, conclui-se que: 





=−−−
=++−
=++
132
12
243
cba
cba
cba
; 
é preciso, agora, resolver o sistema linear obtido. A partir da 1ª equação, tem-se: 
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243 +−−= cba ; 
substituindo na 2ª e 3ª equações, vem: 



=+
=+
555
355
cb
cb
 , 
que demonstra uma inconsistência, pois não é possível que se tenha, ao mesmo tempo, 
355 =+ cb e 555 =+ cb (se isso fosse possível, concluir-se-ia que 53 = , o que é falso). 
Sendo o sistema impossível (ou incompatível), conclui-se que não é possível encontrar os 
escalares a, b e c tais que seja possível escrever 321 cvbvavu ++= . Logo, o vetor u não é 
uma combinação linear dos vetores 1v , 2v e 3v . 
2 Subespaço Gerado 
Definição: Seja S um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V sobre um corpo K. O 
subespaço gerado por S é o conjunto de todos os vetores de V que se escrevem como 
combinação linear dos vetores de S. 
Notação: [ ]S 
Exemplos: 
1) Seja ( ) ( ){ }121201 ,,,,,S −= um subconjunto do espaço vetorial real 3ℜ . Determinar o 
subespaço gerado por S. 
É preciso determinar todos os vetores do 3ℜ que podem ser escritos como combinação linear 
dos vetores de S. Toma-se, assim, um vetor genérico ( )z,y,xv = do 3ℜ e escreve-se v como 
combinação linear dos vetores de S: 
( ) ( ) ( )121201 ,,b,,az,y,xv −+== , 
de onde se segue que: 
( ) ( ) ( ) ( )ba,b,bab,b,ba,,az,y,x +−=−+= 22220 ; 
da igualdade de vetores, vem: 





+=
=
−=
baz
by
bax
2
2 
A partir da segunda equação, pode-se escrever: 
yb
2
1
= ; 
Substituindo esse valor de b na primeira equação, vem: 
yxa
2
1
+= 
Substituindo os valores de a e b na terceira equação, obtém-se: 
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yyxz
2
1
2
1
2 +





+= , 
ou, equivalentemente: 
0234 =−+ zyx . 
Essa é a equação de um plano que contém a origem, isto é, o ponto ( )000 ,, pertence ao plano. 
Conclui-se, assim, que o subespaço gerado por S é: 
[ ] ( ){ }02343 =−+ℜ∈= zyx/z,y,xS . 
Com o objetivo de exemplificar o que se obteve, considere-se um ponto qualquer do plano, por 
exemplo, ( )521 ,, . Observe que este ponto satisfaz a equação do plano: 
0522314 =⋅−⋅+⋅ . 
Lembra-se aqui que, a todo ponto do nℜ e, portanto, em particular, do 3ℜ , associa-se um 
vetor, chamado vetor-posição, com origem no ponto ( )000 ,, e extremidade no ponto 
considerado, cujas coordenadas são as mesmas do próprio ponto. Assim, ao ponto ( )521 ,, 
associa-se um vetor com estas coordenadas. Mostrar-se-á que esse vetor pode ser escrito 
combinação linear dos vetores ( )201 ,, e ( )121 ,,− , ou seja: 
( ) ( ) ( )121201521 ,,b,,a,, −+= . 
Para encontrar os escalares a e b, usam-se as equações que permitiram encontrar a equação 
do plano, isto é: 
yxa
2
1
+= e yb
2
1
= ; 
para 1=x e 2=y , obtém-se 2=a e 1=b . Assim, pode-se escrever: 
( ) ( ) ( )12112012521 ,,,,,, −⋅+⋅= , 
o que mostra que o vetor de coordenadas ( )521 ,, é uma combinação linear dos vetores de S. 
 
FIGURA 4 
Se for considerado um outro ponto do plano obtido, por exemplo, 





2
5
1
2
1
,, , seu vetor-posição 
também será uma combinação linear dos vetores de S, diferente da anterior, isto é, serão 
outros valores dos escalares a e b: 
1
2
1
2
1
=+=a e 
2
1
=b . 
Assim, tem-se: 
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( ) ( )121
2
1
2011
2
5
1
2
1
,,,,,, −⋅+⋅=





. 
A representação gráfica deste subespaço é feita na Figura 4. Nela, os vetores de S estão 
designados por u e v, isto é: ( )201 ,,u = e ( )121 ,,v −= . 
2) Seja 














−





−





 −
=
11
00
03
01
00
12
,,S um subconjunto do espaço vetorial real das matrizes 
quadradas de ordem 2, isto é, do espaço ( )ℜ2M . Determine o subespaço gerado por S. 
É preciso determinar todas as matrizes quadradas de ordem 2 que podem ser escritas como 
combinação linear das matrizes de S. Para isso, considere-sea matriz genérica 





dc
ba
 do 
espaço ( )ℜ2M ; escreve-se essa matriz como combinação linear das matrizes de S: 






−
−−
=
=





−
+




−
+




 −
=





−
+




−
+




 −
=





ppn
mnm
ppn
nmm
pnm
dc
ba
3
2
00
03
0
00
2
11
00
03
01
00
12
. 
Da igualdade de matrizes, vem: 







=
−=
−=
−=
pd
pnc
mb
nma
3
2
 
Quer-se determinar, aqui, de que tipo são as matrizes de ordem 2 que são combinações 
lineares das matrizes de S, ou seja, como são os elementos dessas matrizes. Na resolução do 
sistema linear acima, pode-se, por exemplo, obter-se o elemento a escrito em função dos 
demais elementos b, c e d: 
3
6 dcb
a
++
−= . 
Assim, as matrizes de ordem 2 que são combinações lineares das matrizes de S têm a forma: 







 ++
−
dc
b
dcb
3
6
, 
isto é, o subespaço gerado por S é: 
[ ]








ℜ∈∀







 ++
−= d,c,b;
dc
b
dcb
S 3
6
. 
Por exemplo, se 1−=b , 2=c e 0=d , tem-se 
3
4
=a ; assim, a matriz 








−=
02
1
3
4
M 
é uma matriz do subespaço gerado por S. Logo, pode ser escrita como combinação linear das 
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matrizes de S. De fato, usando-se as equações do sistema linear resolvido acima, obtém-se: 
1=m , 0=p e 
3
2
=n 
e, portanto, pode-se escrever: 






−
⋅+




−
⋅+




 −
⋅=








−
11
00
0
03
01
3
2
00
12
1
02
1
3
4
. 
Observação: os exemplos anteriores mostram como determinar o subespaço gerado [ ]S a 
partir de um sistema de geradores { }nv,,v,vS L21= . É possível determinar o sistema de 
geradores { }nv,,v,vS L21= , a partir de um subespaço gerado [ ]S , como mostram os 
exemplos a seguir. 
Exemplos: 
1) Seja ( ){ }tzx/t,z,y,xW 24 +=ℜ∈= . Determinar um sistema de geradores para W. 
Observe que W é um subconjunto do espaço vetorial real 4ℜ . Assim, o sistema de geradores 
para W será composto de vetores deste espaço vetorial. O que se pretende é determinar um 
subconjunto S do 4ℜ tal que o conjunto W seja gerado por S, ou seja, [ ]SW = . Isso significa 
que os elementos de W serão combinações lineares dos elementos do conjunto S que se 
procura. 
O conjunto W pode ser escrito na forma: ( ){ }42 ℜ∈+= t,z,y,tzW , ou seja, todo vetor de W é 
da forma ( )t,z,y,tz 2+ . Isso significa que há três “variáveis livres”, isto é, variáveis para as 
quais se pode atribuir valores. A primeira variável, x, não é livre, pois depende das outras três. 
Por exemplo, se 1=== tzy , tem-se 32 =+ tz e, portanto, o vetor ( )1113 ,,, é um elemento 
de W. 
Observando que: 
( ) ( ) ( ) ( )t,,,t,z,,z,,y,t,z,y,tz 002000002 ++=+ , 
ou, equivalentemente, 
( ) ( ) ( ) ( )1002010100102 ,,,t,,,z,,,yt,z,y,tz ++=+ , 
vê-se que cada elemento de W é uma combinação linear dos vetores ( )0010 ,,, , ( )0101 ,,, e 
( )1002 ,,, . Diz-se que cada uma das variáveis livres “gerou” um vetor. Como há três variáveis 
livres, foram gerados três vetores, os quais formam um sistema de geradores de W. Assim, o 
conjunto procurado é: 
( ) ( ) ( ){ }100201010010 ,,,,,,,,,,,S = 
e pode-se afirmar que [ ]SW = . 
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2) Seja ( )










===−=−+ℜ∈










= bef;bc;fba/M
fe
dc
ba
W x 02023 . Determinar um sistema 
de geradores para W. 
Quer-se determinar um subconjunto S do espaço vetorial real ( )ℜ23xM tal que W seja o 
subespaço gerado por S, isto é, [ ]SW = e, portanto, todo elemento de W é uma combinação 
linear dos elementos de S. 
Das condições impostas para os elementos das matrizes de W, conclui-se que 0=a e bc 2= . 
Portanto, pode-se reescrever o conjunto W: 










ℜ∈∀










= d,b,
bb
db
b
W 2
0
, 
o que indica que há duas variáveis livres: b e d. Portanto, cada uma delas deverá gerar uma 
matriz. Tem-se: 










+










=










+










=










00
10
00
11
02
10
00
0
00
02
0
2
0
dbd
bb
b
b
bb
db
b
. 
Logo, a matriz 










bb
db
b
2
0
 é uma combinação linear das matrizes 










11
02
10
 e 










00
10
00
, as quais 
formam, portanto, um sistema de geradores de W. Logo, o conjunto procurado é: 






























=
00
10
00
11
02
10
,S 
e se pode afirmar que [ ]SW = . 
3 Vetores Linearmente Dependentes e Linearmente Independentes 
Definição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Diz-se que os vetores 
Vv,,v,v n ∈L21 são linearmente dependentes sobre K se existirem escalares 
K,,, n ∈ααα L21 , não todos nulos, tais que 02211 =+++ nnvvv ααα L . 
Em caso contrário, diz-se que os vetores são linearmente independentes sobre K. 
Observações: 
1) Se os vetores são linearmente dependentes, diz-se, de forma abreviada, que eles são LD. 
De modo análogo, se são linearmente independentes, diz-se que são LI. 
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2) Observe-se que a relação 02211 =+++ nnvvv ααα L é sempre válida se os escalares 
( )nii ≤≤1α são todos nulos. Se essa relação é válida somente neste caso, isto é, se 
02211 =+++ nnvvv ααα L somente se 021 ==== nααα L , então os vetores são 
linearmente independentes. Por outro lado, se a relação também é válida quando pelo menos 
um dos ( )nii ≤≤1α é diferente de zero, então os vetores são linearmente dependentes. 
3) A diferença entre um conjunto de vetores ser LI ou LD está na relação que existe entre 
eles: se os vetores são LD é porque existe uma "dependência" entre eles; como se verá 
adiante, esta dependência será uma combinação linear, o que justifica o nome da relação 
entre os vetores. Se os vetores são LI, não existe nenhuma "dependência" entre eles. 
4) Se um dos vetores nv,,v,v L21 é nulo, por exemplo, se 01 =v , então os vetores 
nv,,v,v L21 são LD, pois: 
00001001 21 =+++⋅=⋅++⋅+⋅ LL nvvv ; 
uma vez que o coeficiente de 1v não é nulo, conclui-se que os vetores são LD. 
5) Qualquer vetor não nulo v é, por si só, LI, pois: 
0=vα , com 0≠v , implica, necessariamente, que 0=α . 
6) O vetor nulo 0 é LD, pois: 
00 =α é verdadeira, para qualquer valor de α . 
Exemplos: 
1) Verificar se os vetores ( )12,u = e ( )31,v = são LD ou LI. 
Têm-se, aqui, elementos do espaço vetorial real 2ℜ . Para verificar a dependência linear entre 
os vetores, escreve-se a equação: 
021 =+ vu αα , 
onde 1α e 2α são escalares e o “zero” do 2º membro é o vetor nulo: ( )000 ,= . Tem-se: 
( ) ( ) ( )003112 21 ,,, =+ αα . 
Deve-se, agora, determinar os valores dos escalares 1α e 2α que tornam a sentença 
verdadeira. Tem-se: 
( ) ( ) ( )0032 2211 ,,, =+ αααα , 
isto é, 
( ) ( )0032 2121 ,, =++ αααα. 
Da igualdade de vetores, segue-se que: 



=+
=+
03
02
21
21
αα
αα
; 
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a resolução desse sistema leva à solução trivial 021 == αα , que é única. Assim, 
021 =+ vu αα 
implica, necessariamente, em que 021 == αα e, portanto, os vetores u e v são LI. 
Observe-se que não há possibilidade de que os vetores sejam LD. Para que isso acontecesse, 
deveria acontecer uma das três situações abaixo: 
(1) 01 ≠α e 02 =α ; 
(2) 01 =α e 02 ≠α ; 
(3) 01 ≠α e 02 ≠α . 
A situação (1) não pode ocorrer, pois, se 02 =α , a equação 021 =+ vu αα ficaria: 01 =uα ; 
como o vetor u não é nulo, concluir-se-ia que 01 =α . 
De modo análogo, se 01 =α , ter-se-ia 02 =vα e, como v não é nulo, concluir-se-ia que 
02 =α , ou seja, a situação (2) também não ocorre. 
 
FIGURA 5 
Supondo-se, então, que 01 ≠α e 02 ≠α , da equação 021 =+ vu αα se poderia escrever: 
vu
1
2
α
α
−= , 
ou, chamando k=−
1
2
α
α
, kvu = . 
Isso significaria que os vetores u e v têm a mesma direção, isto é, são paralelos, o que não é 
verdade. A Figura 5 mostra uma representação gráfica desses vetores. 
2) Considerem-se, agora, os vetores ( )12,u = e ( )24,v = do 2ℜ . Mostrar-se-á que esses 
vetores são LD. 
De fato, escrevendo-se a equação 
021 =+ vu αα , 
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vem: 
( ) ( ) ( )002412 21 ,,, =+ αα , 
ou seja, 
( ) ( ) ( )00242 2211 ,,, =+ αααα , 
isto é, 
( ) ( )00242 2121 ,, =++ αααα , 
de onde se segue que: 



=+
=+
02
042
21
21
αα
αα
. 
Observe-se que as duas equações do sistema se reduzem a uma só: 02 21 =+ αα , de onde se 
conclui que 21 2αα −= , ou seja, o sistema tem infinitas soluções, já que se pode atribuir a 2α 
qualquer valor real e, a partir dele, obter-se o valor de 1α . Por exemplo, são soluções do 
sistema: 
01 =α e 02 =α ; 21 −=α e 12 =α ; 11 −=α e 2
1
2 =α , 
entre outras infinitas soluções. 
Assim, existem escalares 1α e 2α , não ambos nulos, tais que a equação 021 =+ vu αα é 
verdadeira e, portanto, os vetores u e v são LD. 
Uma vez que, da resolução do sistema, concluiu-se que 21 2αα −= , pode-se escrever: 
02 22 =+− vu αα , 
ou seja, 
vu
2
1
= , 
ou, equivalentemente, 
uv 2= . 
Isso significa que os vetores u e v têm a mesma direção, isto é, são paralelos. A Figura 6 
ilustra esse fato. 
 
FIGURA 6 
3) Verificar se os vetores ( )4326 ,,,u = , ( )1350 ,,,v −= e ( )2700 −= ,,,w são LD ou LI. 
Para verificar a dependência linear entre os vetores, escreve-se a equação: 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
0321 =++ wvu ααα , 
ou seja: 
( ) ( ) ( ) ( )0000270013504326 321 ,,,,,,,,,,,, =−+−+ ααα . 
Deve-se, agora, determinar os valores dos escalares 321 ααα ,, que tornam a sentença 
verdadeira. Tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( )000027003504326 332221111 ,,,,,,,,,,,, =−+−+ ααααααααα , 
isto é, 
( ) ( )000024733526 321321211 ,,,,,, =−++−+ ααααααααα . 
Da igualdade de vetores, segue-se que: 







=−+
=+−
=+
=
024
0733
052
06
321
321
21
1
ααα
ααα
αα
α
; 
a primeira equação conduz a 01 =α ; a segunda, com 01 =α , conduz a 02 =α ; a terceira, 
com 01 =α e 02 =α , leva a 03 =α . Assim, 
021 =++ wvu nααα 
implica em que 01 =α , 02 =α e 03 =α . Portanto, os vetores u, v e w são LI. 
4) Verificar a dependência linear entre os vetores abaixo: 
(a) { }22 35221 tt,tt,t +−+−− 
(b) 














−−





−






25
1010
95
43
10
21
,, 
(a) Aqui, os vetores são polinômios de grau menor ou igual a 2, ou seja, são elementos do 
espaço vetorial real ( )( )⋅+ℜ ,,P2 , os quais serão chamados de ( )tf , ( )tg e ( )th , respectivamente. 
Para estudar a dependência linear entre eles, escreve-se a equação homogênea: 
( ) ( ) ( ) 0=⋅+⋅+⋅ thctgbtfa . 
O 2º membro desta equação, isto é, 0 , representa, aqui, o polinômio nulo 20000 tt ++= . 
Tem-se, assim: 
( ) ( ) ( ) 222 00035221 ttttcttbta ++=++−+−+− , 
ou seja, 
( ) ( ) ( ) 222 0003522 ttctctbtbtbata ++=++−+−+− , 
ou, ainda, 
( ) ( ) ( ) 22 0003522 tttcbtcbaba ++=+−+++−+− . 
Da igualdade de polinômios, vem: 





=+−
=++−
=−
03
052
02
cb
cba
ba
 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
A resolução desse sistema, por qualquer método que se utilize, leva à solução trivial, ou seja, 
0=== cba . Assim, a equação 
( ) ( ) ( ) 0=⋅+⋅+⋅ thctgbtfa 
implica em que 0=== cba e, portanto, os vetores ( )tf , ( )tg e ( )th são LI. 
(b) Neste caso, os vetores são matrizes quadradas de ordem 2, ou seja, são elementos do 
espaço vetorial real ( )ℜ2M . Chamando: 






=
10
21
A , 




−
=
95
43
B e 





−−
=
25
1010
C 
e considerando-se escalares α , β e γ , escreve-se a equação homogênea: 
0=++ CBA γβα . 
Aqui, o 0 que figura no 2º membro da equação representa a matriz nula de ordem 2, ou seja, 






=
00
00
0 . Então, vem: 






=





−−
+




−
+





00
00
25
1010
95
43
10
21
γβα , 
ou seja, 






=





−−
+




−
+





00
00
25
1010
95
43
0
2
γγ
γγ
ββ
ββ
α
αα
 
ou, ainda, 






=





−+−
+++−
00
00
2955
1042103
γβαγβ
γβαγβα
. 
Da igualdade de matrizes, vem: 







=−+
=−
=++
=+−
029
055
01042
0103
γβα
γβ
γβα
γβα
 
Da 3ª equação, tem-se que γβ = ; substituindo na 1ª equação, obtém-se que γα 7−= . 
Substituindo-se na 2ª equação, obtém-se: 00 =⋅ γ , que é verdadeira para qualquer número 
real γ . De modo análogo, se substituir-se γβ = e γα 7−= na 4ª equação, obtém-se 00 =⋅ γ . 
Conclui-se, então, que o sistema tem infinitas soluções, já que γ pode assumir qualquer valor 
e α e β dependem de γ . A solução (na verdade, as infinitas soluções) do sistema pode ser 
colocada na forma: 
{ }ℜ∈∀=−= γγβγα ,e7 . 
Por exemplo, se 2=γ , tem-se 14−=α e 2=β , ou seja, ( )2214 ,,− é uma solução do sistema. 
Para essa solução, tem-se: 






=





−−
+




−
+





−
−−
=





−−
+




−
+





−
00
00
410
2020
1810
86
140
2814
25
1010
2
95
43
2
10
21
14 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
Assim, existem escalares não nulos que tornam verdadeira a equação 0=++ CBA γβα , ou 
seja, as matrizes A, B e C são LD. 
Teorema: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um conjunto de vetores 
Vv,,v,v n ∈L21 é LD se, e somente se, um deles é combinação linear dos demais vetores. 
Observação: este é um teorema de condição necessária e suficiente; o termo "se, e somente 
se" significa que o teorema tem duas implicações: 
(i) "se um conjunto de vetores é LD, então um deles é combinação linear dos demais vetores" 
e 
(ii) "se, em um conjunto de vetores, um deles é combinação linear dos demais, então esses 
vetores são LD".Assim, a demonstração do teorema contém duas partes: uma para demonstrar a condição 
necessária (i) e a outra para demonstrar a condição suficiente (ii). 
Demonstração: 
(i) Condição necessária 
Hipótese: os vetores Vv,,v,v n ∈L21 são LD 
Tese: um deles é combinação linear dos demais vetores 
Se, por hipótese, os vetores nv,,v,v L21 são LD, então, existem escalares n,,, ααα L21 , não 
todos nulos, tais que: 
02211 =+++ nnvvv ααα L . 
Supondo, por exemplo, que 01 ≠α , pode-se escrever: 
n
n vvvv 





−++





−+





−=
1
3
1
3
2
1
2
1 α
α
α
α
α
α
L ; 
chamando: 
1
2
2 α
α
β −= ; 
1
3
3 α
α
β −= ;...; 
1α
α
β nn −= , vem: 
nnvvvv βββ +++= L33221 , 
e, portanto, o vetor 1v é combinação linear dos demais vetores. 
Observe-se que, assim como se supôs que 01 ≠α e se mostrou que 1v é combinação linear 
dos demais vetores, pode-se supor que qualquer um dos escalares ( )nii ≤≤1α é diferente de 
zero e concluir-se que iv é combinação linear dos demais vetores. 
(ii) Condição suficiente 
Hipótese: um dos vetores é combinação linear dos demais vetores 
Tese: os vetores Vv,,v,v n ∈L21 são LD 
Por hipótese, um dos vetores é combinação linear dos demais; pode-se supor, por exemplo, 
que esse seja o vetor 1v . Isso significa que existem escalares n,,, βββ L32 tais que: 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
nnvvvv βββ +++= L33221 ; 
pode-se escrever, equivalentemente: 
( ) 01 33221 =++++− nnvvvv βββ L . 
Sendo o escalar que multiplica o vetor 1v não nulo, já que é igual a -1, conclui-se que os 
vetores nv,,v,v L21 são LD. 
É claro que, fazendo-se a suposição de que qualquer vetor ( )niv i ≤≤1 seja combinação linear 
dos outros vetores, concluir-se-á, de maneira análoga, que os vetores nv,,v,v L21 são LD. 
Exemplo: Mostrou-se, em exemplo anterior, que o conjunto de matrizes 














−−
=




−
=





=
25
1010
95
43
10
21
C,B,A 
é LD. Portanto, pelo teorema anterior, uma delas é combinação linear das outras duas. 
Escrever-se-á uma das matrizes como combinação linear das demais. 
Uma das maneiras de se fazer isso, é escrever a equação: 
0=++ CBA γβα , 
lembrando que o “zero” que figura no segundo membro da equação representa a matriz nula 
de ordem 2. Então: 






=





−−
+




−
+





00
00
25
1010
95
43
10
21
γβα , 
de onde vem que: 






=





−+−
+++−
00
00
2955
1042103
γβαγβ
γβαγβα
. 
Da igualdade de matrizes, segue-se que: 







=−+
=−
=++
=+−
029
055
01042
0103
γβα
γβ
γβα
γβα
; 
Da terceira equação, conclui-se que γβ = ; substituindo-se essa informação em qualquer outra 
das três equações restantes, obtém-se a relação 07 =+ γα , isto é, γα 7−= . Atribuindo-se um 
valor numérico a γ , por exemplo, 1−=γ , obtém-se 1−=β e 7=α , Assim, pode-se escrever: 
07 =−− CBA . 
Essa equação mostra que as matrizes A, B e C são LD. A partir dela, pode-se escrever, por 
exemplo: BAC −= 7 . 
Esta última equação mostra a matriz C escrita como uma combinação linear das matrizes A e 
B. 
Outra forma de encontrar uma combinação linear entre as matrizes, é escolher uma delas para 
ser escrita como uma combinação linear das outras. Por exemplo, escrevendo a matriz C como 
combinação linear das matrizes A e B, tem-se: 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
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BAC βα += ; 
então, vem: 





−
+





=





−− 95
43
10
21
25
1010
βα , 
isto é, 






+
+−
=




−
+





=





−− βαβ
βαβα
ββ
ββ
α
αα
95
423
95
43
0
2
25
1010
. 
Da igualdade de matrizes, segue-se que: 







−=+
−=
=+
=−
29
55
1042
103
βα
β
βα
βα
. 
Da 3ª equação, segue-se que 1−=β ; substituindo-se esse valor em qualquer uma das outras 
três equações, obtém-se 7=α . Assim, pode-se escrever: 
BAC −= 7 . 
Teorema: Se nv,,v,v L21 são vetores LD, então, os vetores kv,,v,v L21 são LD, para todo 
nk ≥ . 
Demonstração: 
Hipótese: os vetores Vv,,v,v n ∈L21 são LD 
Tese: os vetores kv,,v,v L21 são LD, para todo nk ≥ 
Por hipótese, os vetores nv,,v,v L21 são LD; então, existem escalares n,,, ααα L21 , não 
todos nulos, tais que: 
02211 =+++ nnvvv ααα L . 
A esse conjunto de n vetores, acrescentem-se mais ( )nknk ≥− vetores, isto é, considere-se, 
agora, o conjunto: 
{ }knnn v,,v,v,v,,v,v LL 2121 ++ . 
Escrevendo-se a equação: 
022112211 =+++++++ ++++ kknnnnnn vvvvvv αααααα LL , 
conclui-se, a partir dela, que os vetores knnn v,,v,v,v,,v,v LL 2121 ++ são LD, pois, mesmo 
que os escalares knn ,,, ααα L21 ++ sejam todos nulos, entre os escalares n,,, ααα L21 há 
pelo menos um deles que não é nulo, já que os vetores nv,,v,v L21 são LD. Logo, o conjunto 
de vetores { }knnn v,,v,v,v,,v,v LL 2121 ++ é LD. 
Observações: 
1) Por esse teorema, conclui-se que, se um conjunto de vetores é LD, aumentando-se o 
número de vetores deste conjunto, o novo conjunto será LD. 
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2) Observe-se que o teorema é apenas de condição necessária, ou seja, a recíproca não é 
verdadeira. Isso significa que, se um conjunto de n vetores nv,,v,v L21 é LD, isso não 
implica que o conjunto de vetores mv,,v,v L21 é LD, para nm ≤ . Assim, quando se sabe que 
um conjunto de vetores é LD, se forem retirados desse conjunto um ou mais vetores, não se 
pode afirmar que o novo conjunto seja LD. 
Exemplo: Considere o conjunto ( ) ( ) ( ) ( ){ }21111001 4321 ,v,,v,,v,,vA ===== de vetores do 
2ℜ . 
Tem-se: 
( ) ( ) ( ) 321 111001 v,,,vv ==+=+ ; 
Assim, pode-se escrever: 
4213 011 vvvv ⋅+⋅+⋅= , 
ou seja, 3v é combinação linear dos demais, de onde se conclui que o conjunto A é LD. Pode-
se ver, ainda, que 4v é combinação linear dos demais vetores, pois: 
( ) ( ) ( ) 421 21102012 v,,,vv ==⋅+=⋅+ , 
isto é, 
3214 021 vvvv ⋅+⋅+⋅= . 
Acrescentando-se ao conjunto A um vetor qualquer ( )y,xu = do 2ℜ , vê-se que as 
combinações lineares já existentes continuarão a existir, pois: 
uvvvvvvv ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅= 0011011 4214213 
e 
uvvvvvvv ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅= 0021021 3213214 . 
Assim, o conjunto A continuará sendo um conjunto de vetores LD. 
Por outro lado, retirando-se vetores do conjunto A, não se pode garantir que o conjunto 
continue sendo LD ou passe a ser LI. 
De fato, retirando-se de A o vetor 4v , obtém-se um novo conjunto: 
( ) ( ) ( ){ }111001 321 ,v,,v,,vB ==== , 
o qual também é LD, já que, como se mostrou anteriormente, o vetor 3v é combinação linear 
de 1v e 2v . 
Entretanto, retirando-se de A os vetores 3v e 4v , obtém-se um novo conjunto 
( ) ( ){ }1001 21 ,v,,vC === , 
que é LI, pois, escrevendo-se a equação: 
02211 =+ vv αα , 
vem: 
( ) ( ) ( )001001 21 ,,, =+ αα , 
isto é, 
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( ) ( ) ( )0000 21 ,,, =+ αα , 
de onde se segue que 01 =α e 02 =α e, portanto 1v e 2v são LI. 
Teorema: Se nv,,v,v L21 são vetores LI, então, os vetores kv,,v,v L21 são LI, para todo 
nk ≤ . 
Demonstração: 
Hipótese:os vetores Vv,,v,v n ∈L21 são LI 
Tese: os vetores kv,,v,v L21 são LI, para todo nk ≤ 
Por hipótese, os vetores nv,,v,v L21 são LI; então, a equação 
02211 =+++ nnvvv ααα L 
é verdadeira somente se 021 ==== nααα L . 
Tomando-se um índice nk ≤ , considere-se o conjunto 
{ } { }nk v,,v,vv,,v,v LL 2121 ⊂ . 
Da equação: 
02211 =+++ kkvvv ααα L , 
segue-se que 021 ==== kααα L , pois os vetores nv,,v,v L21 são LI e os vetores 
kv,,v,v L21 estão entre eles. Portanto, conclui-se que os vetores kv,,v,v L21 são LI, o que 
demonstra o teorema. 
Observação: 
1) Por esse teorema, conclui-se que, se um conjunto de vetores é LI, diminuindo-se o número 
de vetores deste conjunto, o novo conjunto também será LI. 
2) O teorema é apenas de condição necessária, isto é, a recíproca não é verdadeira. Isso 
significa que, se um conjunto de n vetores nv,,v,v L21 é LI, isso não implica que o conjunto 
de vetores mv,,v,v L21 é LI, para nm ≥ . Assim, quando se sabe que um conjunto de 
vetores é LI, se forem acrescentados a esse conjunto um ou mais vetores, não se pode afirmar 
que o novo conjunto é LI. 
Exemplo: Considere-se o conjunto ( ) ( ){ }010001 21 ,,v,,,vA === do 3ℜ , o qual é LI, pois, se 
02211 =+ vv αα , 
vem: 
( ) ( ) ( )000010001 21 ,,,,,, =+ αα , 
isto é, 
( ) ( ) ( )0000000 21 ,,,,,, =+ αα , 
de onde se segue que 01 =α e 02 =α e, portanto 1v e 2v são LI. 
Retirando-se de A o vetor 2v , obtém-se o conjunto 
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( ){ }0011 ,,vB == , 
que é também LI. 
Entretanto, acrescentando-se um ou mais vetores ao conjunto A, não se pode afirmar que o 
novo conjunto seja LI. De fato, acrescentando-se a A o vetor ( )100 ,,w = , obtém-se o conjunto 
( ) ( ) ( ){ }100010001 21 ,,w,,,v,,,vC ==== , 
o qual é ainda LI, pois, se 
032211 =++ wvv ααα , 
tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( )000100010001 321 ,,,,,,,, =++ ααα , 
isto é, 
( ) ( ) ( ) ( )000000000 321 ,,,,,,,, =++ ααα , 
de onde se segue que 0321 === ααα e, portanto 1v , 2v e w são LI. 
Acrescentando-se, agora, a C o vetor ( )121 −= ,,u , obtém-se o conjunto 
( ) ( ) ( ) ( ){ }121100010001 21 −===== ,,u,,,w,,,v,,,vD . 
Verificar-se-á que este novo conjunto é LD. De fato, escrevendo-se a equação 
0432211 =+++ uwvv αααα , 
vem: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )000121100010001 4321 ,,,,,,,,,, =−+++ αααα , 
isto é, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0002000000 444321 ,,,,,,,,,, =−+++ αααααα , 
ou seja, 
( ) ( )0002 434241 ,,,, =−++ αααααα , 
de onde se segue que 





=−
=+
=+
0
02
0
43
42
41
αα
αα
αα
. 
Resolvendo-se esse sistema linear, obtém-se: 





=
−=
−=
43
42
41
2
αα
αα
αα
; 
atribuindo-se um valor a 4α , por exemplo, -1, vem: 





−=
=
=
1
2
1
3
2
1
α
α
α
 
e pode-se escrever: 
01121 21 =⋅−⋅−⋅+⋅ uwvv , 
ou seja, os vetores são LD. 
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Exercícios Propostos 
1) Verificar se os vetores são LI ou LD. Se forem LD, escrever um deles como combinação 
linear dos outros. 
a) ( ) ( ) ( ){ }135122 ,c,,b,,a −==−= R: LD; cba
4
3
4
1
−−= 
b) 














−






−
−






− 310
032
121
130
311
102
,, R: LI 
2) Determinar os valores de m para que os vetores ( )312 ,,m + , ( )12 ,m,− e ( )122 −,, sejam LD.
 R: 8mou2m −=−= 
3) Determinar o subespaço gerado pelo conjunto { }22332 t,tS −−= . 
R: [ ] ( ){ }0946 21022210 =++ℜ∈++= aaa/PtataaS 
4) Seja ( ){ }0253 322103332210 =+=−+ℜ∈+++= aaaaa/PtatataaW . Determinar um 
sistema de geradores para W. R: 






−++−= 32
2
1
53 tt,tS 
5) Sabendo que o conjunto { }w,v,u é LI, mostrar que { }wu,wv,vu +++ também é LI.