Ladrilhamentos do Plano Euclidiano: um estudo teórico para uma abordagem prática em sala de aula

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Universidade de São Paulo
Instituto de Matemática e Estatística
Licenciatura em Matemática
Ladrilhamentos do Plano Euclidiano: um estudo
teórico para uma abordagem prática em sala de
aula
Ana Luiza Patriarcha Clinio da Silva
São Paulo - SP
2018
Ana Luiza Patriarcha Clinio da Silva
Ladrilhamentos do Plano Euclidiano: um estudo teórico
para uma abordagem prática em sala de aula
Trabalho de Conclusão de Curso apre-
sentado ao Instituto de Matemática e Esta-
tística da Universidade de São Paulo como
um dos requisitos para a obtenção do grau de
Licenciatura em Matemática.
Universidade de São Paulo - USP
Orientador: Profa Dra Élvia Mureb Sallum
Coorientador: Profo Dro Eduardo Colli
São Paulo - SP
2018
Ana Luiza Patriarcha Clinio da Silva
Ladrilhamentos do Plano Euclidiano: um estudo teórico
para uma abordagem prática em sala de aula
Trabalho de Conclusão de Curso apre-
sentado ao Instituto de Matemática e Esta-
tística da Universidade de São Paulo como
um dos requisitos para a obtenção do grau de
Licenciatura em Matemática.
Nota:
São Paulo - SP, 28 de Novembro de 2018.
Profa Dra Élvia Mureb Sallum
Professora colaboradora
Orientadora
Profo Dro Eduardo Colli
Professor associado
Coorientador
Profa Dra Cláudia Cueva Candido
Professora colaboradora
Professora convidada
São Paulo - SP
2018
À Maria Rosa Clinio Patriarcha (In memoriam)
Agradecimentos
Aos meus pais, Sueli e Alaor, pela manutenção do nosso lar enquanto estudei e
trabalhei.
Ao meu namorado, Gabriel, por dedicar domingos e dias de folga para me ajudar
com esta monografia. Agradeço também pela parceria de anos, por me tranquilizar em
momentos de frustrações e por me aplaudir em momentos de conquistas.
Ao meu amigo Leonel e minhas amigas Bruna e Isabela por lerem e revisarem toda
esta monografia com rigor e carinho. Sou muito grata pela cumplicidade e amizade.
Ao meu amigo Eduardo pela parceria, amizade e cuidados diários com a minha
saúde mental e espiritual.
Aos meus amigos de faculdade André, Francisco Lucas, Heloísa, Jefferson, Leonardo,
Martin, Milena, Moisés, Nice e Sabrina por me ajudarem a cursar esta graduação em
quatro anos.
Aos meus amigos Bastos, Beatriz, Caíque, Cardoso, Danilo, Eniba, Erik, Estevão,
Guilherme, Guit, Jailton, Kaique, Lucas, Marcela, Mateus, Matheusinho, Milene, Pedro,
Renato, e William por me proporcionarem descontração e alegria nos momentos mais
desanimadores da graduação.
Aos meus professores da educação básica Eudes, Edson e Anthony por me apresen-
tarem a Matemática e por acreditarem no meu sonho.
As minhas professoras da graduação Ana Paula Jahn e Claudia Cueva por me aco-
lherem como filha no momento que mais precisei de apoio emocional durante a graduação.
À orientadora Élvia Mureb Sallum por todas as conversas que tivemos e pelos
conselhos que levarei por toda minha vida. Admiro muito sua carreira docente.
Ao meu coorientador Eduardo Colli, por me atender sempre que precisei. Sou
imensamente grata por ter me acolhido. Sua participação foi fundamental para a finalização
desta monografia.
E por último deixo o agradecimento mais importante. Agradeço a Deus, por me
permitir viver esta graduação intensamente ao lado de todas estas pessoas.
“Quando passares pelas águas estarei contigo, e quando pelos rios, eles não submergirão;
quando passares pelo fogo não te queimarás, nem arderá em ti. Porque eu sou o Senhor
teu Deus.” - Isaías 43:2-3.
Resumo
Esta monografia tem o objetivo de desenvolver um estudo dos ladrilhados do Plano
Euclidiano de maneira teórica e prática. A abordagem teórica irá expor os principais
teoremas e proposições, envolvendo ladrilhados com polígonos regulares. Irá também exaurir
todos os casos e expor todos os tipos de triângulos, quadrados, pentágonos e hexágonos que
ladrilham o Plano Euclidiano de forma monoédrica. Para finalizar a abordagem teórica,
será apresentado o teorema que explicita quais os tipos de polígonos convexos que não tem
a característica de ladrilhar o Plano Euclidiano, além de expor uma breve discussão das
classificações dos ladrilhados em periódicos e não-periódicos com ênfase nos ladrilhados
de Roger Penrose . Já a abordagem prática consistirá na elaboração e aplicação de uma
oficina, que trabalhe com os conceitos e aplicações de polígonos convexos e ladrilhados
para alunos do 7o ano do Ensino Fundamental, como sugerido pela Base Nacional Comum
Curricular, homologada no ano de 2017.
Importante salientar que a abordagem teórica utiliza, em sua maior parte, conceitos
trabalhados no Ensino Básico, como transformações geométricas simples e análise algébricas
simples, por exemplo.
Palavras-chaves: Ladrilhamento. Polígonos. Educação.
Abstract
This monograph aims to develop a study of the tiled in the Euclidean Plan in a theoretical
and practical way. The theoretical approach will expose the main theorems and propositions,
involving tiligns with regular polygons. It will also exhaust all cases and expose all kinds of
triangles, squares, pentagons and hexagons that tile the Euclidean Plane in a monohedral
way. In order to finish the theoretical approach, the theorem will be presented, which
explains the types of convex polygons that do not have the characteristic to tile the
Euclidean Plan, besides exposing a brief discussion of the classifications of the tiled ones
in periodicals and non-periodical ones with emphasis in the Roger Penrose tilings. The
practical approach consists in the elaboration and application of a workshop that works
with the concepts and applications of polygons convex and tiled for students of the 7th year
of elementary school, as suggested by the National Curricular Common Base, homologated
in 2017.
Keywords: Tilling. Polygons. Education.
Lista de ilustrações
Figura 1 – Exemplos de linhas poligonais. (1) representa uma linha poligonal aberta
e (2) representa uma linha poligonal fechada. . . . . . . . . . . . . . . 5
Figura 2 – Exemplos de linhas poligonais fechadas. (1) representa uma linha poli-
gonal fechada não simples e (2) representa uma linha poligonal fechada
simples, ou polígono simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Figura 3 – Exemplos de regiões poligonais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Figura 4 – Exemplos de linhas poligonais fechadas com suas respectivas regiões
poligonais. Nesta monografia, as figuras (1) e (3) são denotadas por
polígono simples, ou somente polígono enquanto (2) é denotado por
polígono não-simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Figura 5 – Exemplos de polígono convexo (1) e polígono côncavo (2). . . . . . . . 7
Figura 6 – Representação de ângulo como objeto geométrico. . . . . . . . . . . . . 7
Figura 7 – Ângulo interno de um polígono P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Figura 8 – Representação de ângulo externo de um polígono convexo. . . . . . . . 8
Figura 9 – Um ladrilhado composto exclusivamente por quadrados. . . . . . . . . 9
Figura 10 – . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Figura 11 – Representação de ângulos internos de três polígonos regulares em torno
de um dado vértice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Figura 12 – Molde 3.8.24 (esq.) e molde 3.10.15(dir.). . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Figura 13 – Um triângulo equilátero justaposto a três outros polígonos regulares. . 15
Figura 14 – Cinco polígonos regulares justapostos ao pentágono regular. . . . . . . 17
Figura 15 – As configurações 5.4.20 e 4.5.20 representam o mesmo molde. . . . . . 18
Figura 16 – Da esquerda para a direita: configurações 3.3.6.6; 3.6.3.6; 3.4.4.6 e 3.4.6.4. 22
Figura 17 – O molde 3.3.6.6 ladrilha o plano sem obedecer a condição c enunciada
no início da seção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
Figura 18 – O molde 3.4.4.6 ladrilha o plano sem obedecer a condição c enunciada
no início da seção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Figura 19 – Um hexágono pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros. . . . 28
Figura 20 – Reflexão do ponto B por M gerou o ponto B′. . . . . . . . . . . . . . . 29
Figura 21 – Reflexão do ponto C por M gerou o ponto C ′. A reflexão do ponto A
por M é o próprio ponto D e vice-versa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Figura 22 – Após a reflexão dos quatro pontos A, B, C, D por M , tem-se um novo
quadrilátero: A′B′C ′D′. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Figura 23 – Dois ângulos internos do quadrilátero ABCD evidenciados em torno
do vértice D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Figura 24 – Três ângulos internos do quadrilátero ABCD em torno do vértice D. . 31
Figura 25 – Quatro ângulos internos do quadrilátero ABCD em torno do vértice D. 32
Figura 26 – Ladrilhado monoédrico com quadriláteros. . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Figura 27 – Ladrilhado monoédrico com quadrilátero não convexo. . . . . . . . . . 32
Figura 28 – Triângulo ABC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Figura 29 – Reflexão do triângulo ABC pelo ponto médio do segmento BC gerou
um triângulo congruente a ABC denominado A′BC. . . . . . . . . . . 33
Figura 30 – Ladrilhado com o triângulo ABC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Figura 31 – Representação do hexágono do tipo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Figura 32 – EA e DB divide cada um dos ângulos A, B, D, E em dois outros ângulos. 35
Figura 33 – Hexágono ABCDEF e uma cópia, A′B′C ′D′E ′F ′, transladada. . . . . 35
Figura 34 – Domínio fundamental do hexágono tipo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 35 – Ladrilhado com hexágonos do tipo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 36 – Representação do hexágono tipo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 37 – Hexágonos ABCDEF e A′B′C ′D′E ′F ′. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Figura 38 – Encaixe perfeito de três hexágonos do tipo 2. . . . . . . . . . . . . . . 37
Figura 39 – Domínio fundamental do tipo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Figura 40 – Ladrilhado monoédrico com hexágonos do tipo 2. . . . . . . . . . . . . 38
Figura 41 – Hexágono do tipo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Figura 42 – Hexágono ABCDEF e hexágono A′B′C ′D′E ′F ′. . . . . . . . . . . . . 38
Figura 43 – Domínio fundamental do hexágono do tipo 3. . . . . . . . . . . . . . . 39
Figura 44 – Encaixe perfeito entre quatro hexágonos do tipo 3. . . . . . . . . . . . 39
Figura 45 – Ladrilhamento formado, exclusivamente, por hexágonos do tipo 3. . . . 40
Figura 46 – Pentágonos regulares não ladrilham o plano monoedricamente. . . . . . 41
Figura 47 – Como pentágonos regulares não ladrilham monoedricamente o plano,
uma alternativa é preencher as lacunas formadas com losangos. . . . . 42
Figura 48 – Os ladrilhados com pentágonos congruentes entre si conhecidos há mais
tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Figura 49 – Hexágonos não regulares seccionados em pentágonos congruentes. . . . 43
Figura 50 – Decomposição de um hexágono regular em 3 pentágonos congruentes. . 43
Figura 51 – Um ladrilhado monoédrico com pentágonos pode ser obtido através de
secções no ladrilhado com hexágonos regulares. . . . . . . . . . . . . . 44
Figura 52 – A palavra “cobrir” será utilizada no sentido de cobrir uma região finita
para além de suas bordas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Figura 53 – Um polígono de perímetro ` pode ser deformado de modo a ter uma
área de, no máximo, `
2
4pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Figura 54 – Polígono de perímetro menor que β dentro de uma circunferência de
raio β2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Figura 55 – Uma rede poligonal com polígonos que obedecem as quatro condições
do teorema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Figura 56 – Quadrado S(r) e a rede de polígonos N1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Figura 57 – É impossível que um polígono de perímetro menor que β, pertencente à
rede N1 ultrapasse a quadrado S(r+β). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Figura 58 – Quadrado menor representa S(r) e a sua respectiva rede de polígonos
N1. O quadrado maior representa S(r + β) e sua respectiva rede de
polígonos N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Figura 59 – Parte de um ladrilhado com polígonos não convexos de sete lados. . . . 62
Figura 60 – Bird Fish por M.C.Escher (1938). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Figura 61 – Parte de um ladrilhado monoédrico com retângulos transformado em
um ladrilhado não periódico ao seccionar os retângulos. . . . . . . . . . 64
Figura 62 – Ladrilhado não periódico por triângulos isósceles de maneira radial. . . 64
Figura 63 – Um eneágono obtido a partir da deformação de um triângulo (esq.) e
um par de eneágonos justapostos formando um octógono (dir.). . . . . 65
Figura 64 – Ladrilhado em espiral de Heinz Voderberg. . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Figura 65 – Três gerações de esfinges em um ladrilhado não periódico. . . . . . . . 66
Figura 66 – Construção das peças de Penrose: pipa (3) e flecha (4). . . . . . . . . . 67
Figura 67 – Ladrilhado original (esq.) e ladrilhado após um primeiro processo de
inflação (dir.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Figura 68 – Construção de um ladrilhado de Penrose. . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Figura 69 – Ladrilhado de Penrose - Sol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Figura 70 – Ladrilhado de Penrose - Estrela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Figura 71 – No primeiro momento da aula, os alunos tentavam cobrir a mesa com
as peças de modo que ficassem justapostas. . . . . . . . . . . . . . . . 75
Figura 72 – A oficina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Figura 73 – Apesar da oficina ter um momento de cunho teórico e expositivo, os
alunos mantiveram o interesse pela oficina. . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Figura 74 – Neste caso, percebe-se dificuldade com o conceito de ângulo. . . . . . . 77
Figura 75 – Neste caso, o aluno ou a aluna não tem a propriedade de dizer que um
polígono de seis lados recebe o nome de hexágono. . . . . . . . . . . . . 78
Figura 76 – O gráfico mostra a porcentagem de alunos que dizem já ter tido contato
com o tema da oficina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Figura 77 – O gráfico mostra em porcentagem e em valor absoluto o quanto a turma
diz ter gostado da oficina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Figura 78 – O gráfico de barras mostra o percentual de participação dos alunos,
julgado por eles próprios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Figura 79 – O gráfico de barras mostra o percentual e o valor absoluto a classificação
da didática da autora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Figura 80 – Respostas de cada aluno sobre o momento que mais gostaram da oficina.
Foi descartada uma resposta em branco. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Figura 81 – Respostas de cada aluno sobre o momento que menos gostaram da oficina. 82
Figura 82 – Respostas objetivas sobre algum conceito matemático que os alunos
adquiriram na oficina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Lista de tabelas
Tabela 1 – Relação dos possíveis valores de número de ladrilhos por vértice e número
de lados de cada ladrilho com seus respectivos moldes e ladrilhados
regulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Tabela 2 – Moldes,sua representação geométrica e seus respectivos ladrilhados para
o caso em que há três tipos de ladrilhos regulares não todos congruentes
em torno de cada vértice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Tabela 3 – Moldes, sua representação geométrica e os respectivos ladrilhados qua-
serregulares para o caso em que há quatro tipos de ladrilhos regulares
em cada vértice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Tabela 4 – Moldes, sua representação geométrica e seus respectivos ladrilhados
para o caso em que há cinco tipos de ladrilhos regulares não congruentes
em cada vértice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Tabela 5 – Tipos de 1 a 5 de pentágonos que ladrilham o plano monoedricamente,
descobertos por Karl Reinhardt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Tabela 6 – Tipos 6, 7 e 8 de pentágonos que ladrilham o plano monoedricamente,
descobertos por R.B. Kershner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Tabela 7 – Tipos 9, 10, 11, 12 e 13 de pentágonos que ladrilham o plano monoedri-
camente. O tipo 9 foi descoberto por Richard James III e os tipos 10,
11, 12 e 13 foram descobertos por Majorie Rice. . . . . . . . . . . . . . 48
Tabela 8 – Tipos de pentágonos que ladrilham o plano monoedricamente com seus
respecitvos domínio fundamental e ladrilhado. . . . . . . . . . . . . . . 53
Lista de abreviaturas e siglas
Matemateca O Centro de Difusão e Ensino Matemateca do Instituto de Matemática
e Estatística (IME) da Universidade de São Paulo (USP)
BNCC Base Nacional Comum Curricular
Lista de símbolos
pi Letra grega Pi
α Letra grega Alpha
β Letra grega Beta
φ Letra grega Phi
∅ Conjunto vazio
∩ Interseção
∀ Para todo
N Conjunto dos números Naturais
E Plano Euclidiano
∈ Pertence
≥ Maior que
≤ Menor que
6= Diferente
Sumário
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I ABORDAGEM TEÓRICA 3
1 PRÉ-REQUISITOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Ângulos internos e ângulos externos de um polígono . . . . . . . . . 7
1.3 Soma de ângulos internos e soma de ângulos externos . . . . . . . . 9
1.4 Ladrilhamentos do Plano Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 LADRILHADOS COM POLÍGONOS REGULARES . . . . . . . . . 11
2.1 Ladrilhados regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Ladrilhados quaserregulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 LADRILHADOS MONOÉDRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Ladrilhados monoédricos com quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Ladrilhados monoédricos com triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Ladrilhados monoédricos com hexágonos . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 LADRILHADOS MONOÉDRICOS COM PENTÁGONOS . . . . . . 41
4.1 Ladrilhados formados exclusivamente com pentágonos. . . . . . . . . 50
5 POLÍGONOS CONVEXOS QUE NÃO LADRILHAM O PLANO . . 55
6 A NÃO PERIODICIDADE DE UM LADRILHADO. . . . . . . . . . 63
6.1 Ladrilhados podem ser periódicos e não periódicos. . . . . . . . . . . 64
6.2 Os ladrilhados de Penrose. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3 Como criar um ladrilhado de Penrose? . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
II ABORDAGEM PRÁTICA EM SALA DE AULA 71
7 LADRILHAMENTOS: UMA ABORDAGEM PRÁTICA NA SALA
DE AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.1 A elaboração da atividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2 A escola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.3 Aplicação: análise e resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.4 Avaliação e resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.5 Avaliação e resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
APÊNDICES 87
APÊNDICE A – PLANO DE AULA. . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
APÊNDICE B – ATIVIDADE DE APLICAÇÃO DA OFICINA . . . 93
1
Introdução
Nos dias atuais, a estética precisa estar presente nas atividades de diversos profissio-
nais, como arquitetos, artistas, decoradores, pedreiros, estilistas e artesãos, por exemplo. É
de senso comum que o homem modifica objetos e construções há muito tempo, não só para
contar histórias e outros propósitos, mas também pela arte. Uma maneira interessante
de preencher paredes, chão, pisos, tapeçarias, confecções de roupas ou obras de arte é
utilizando polígonos.
Informalmente, se for possível encaixar polígonos, sem falhas ou sobreposições,
dizemos que o Plano Euclidiano está ladrilhado.
O intuito deste trabalho é discutir como e quais polígonos conseguem ladrilhar o
Plano Euclidiano e apresentar uma oficina sobre o tema, ministrada para alunos do 7o ano
do Ensino Fundamental. Para isto, esta monografia está estruturada em oito capítulos.
O Capítulo 1 trata de uma lista de definições sobre polígonos, seus componentes
e outras definições básicas, envolvendo ladrilhados para um melhor aproveitamento da
leitura deste trabalho. Esta definições podem ser consultadas caso o professor precise, em
algum momento, trabalha-las em sala de aula.
O Capítulo 2 será dedicado ao estudo de ladrilhados com polígonos regulares,
que obedecem algumas condições. Este capítulo é dividido em duas seções: estudo dos
ladrilhados regulares e dos ladrilhados quaserregulares. Deste estudo detalhado, ficará
demonstrado o Teorema de Kepler, que caracteriza completamente os onze tipos de
ladrilhados regulares e quaserregulares.
O Capítulo 3 definirá o que vem a ser o termo ladrilhados monoédricos. Nele será
demonstrado que qualquer triângulo e qualquer quadrilátero ladrilha monoedricamente o
Plano Euclidiano. Serão apresentados, também, os três tipos de hexágonos, que conseguem
ladrilhar o Plano Euclidiano deste mesmo modo.
Importante salientar que os capítulos 2 e 3 possuem análise algébricas e transfor-
mações geométricas que são comumente vistas no Ensino Fundamental e Ensino Médio,
podendo, portanto, serem trabalhadas em sala de aula.
O caso dos ladrilhados monoédricos com pentágonos exige uma atenção especial,
pois, apesar dos matemáticos estarem próximos de uma solução, o problema ainda está em
aberto. No capítulo 4 serão expostas a história e as tentativas para resolver tal questão,
apresentando, claro, os 15 tipos conhecidos de pentágonos convexos que conseguem ladrilhar
monoedricamente o Plano Euclidiano.
O Capítulo 5 será dedicado a demonstrar um teorema muito importante no estudo
2 Introdução
dos ladrilhamentos, que diz nenhum polígono convexo com sete ou mais lados, de área e
perímetros arbitrários, consegue ladrilhar o plano. Através do resultado deste teorema,
será possível concluir dois corolários. O primeiro, afirmará que é necessário infinitas peças
convexas de seis ou menos lados para ladrilhar o plano. Já o segundo corolário afirmará
que cada uma destas peças, ou polígonos, está cercada com, no máximo, seis outras peças.
O Capítulo 6 será o último capítulo que trata da abordagem teórica dos ladrilha-
mentos. Nele, será feita um breve e introdutório estudo da classificação dos ladrilhados
em periódicos e não periódicos, com ênfase aos ladrilhados mais fascinantes estudados
nesta monografia: os ladrilhados de Roger Penrose. Este matemático e físico descobriu
dois polígonos, denominados como “flecha” e “pipa”, que são capazes de se arranjarem
de tal maneira que é possível fazer ladrilhados somente com estas duas peças em uma
quantidade infinita não-enumerável. Por ser um tema muito extenso e profundo, será
apenas introduzido nesta dissertação.
O último capítulo, o Capítulo 7, será dedicado ao relato da aplicaçãode uma
oficina sobre o tema, conforme às novas exigências da Base Nacional Comum Curricular,
homologada em 2017. Neste capítulo, será descrito o processo de elaboração da atividade,
uma breve descrição das condições para aplicação, a própria aplicação e uma avaliação
final sobre a oficina, sob a perspectiva não só da autora, mas também dos alunos. Desta
forma, este capítulo reunirá alguns dos conceitos estudados na abordagem teórica e os
simplificará de modo a torna-se aplicável a uma turma de Ensino Fundamental II.
Por fim, vale ressaltar que as figuras autorais foram feitas pelo software gratuito
Geogebra.
Parte I
Abordagem teórica
5
1 Pré-requisitos
Para um melhor aproveitamento da leitura desta monografia, serão necessários
alguns conceitos do ensino básico e alguns conceitos envolvendo ladrilhamentos, que serão
enunciadas a seguir com base nas referências [6] e [10].
É importante dizer que este trabalho está estruturado no contexto do Plano
Euclidiano, valendo ressaltar que para facilitar a leitura e a escrita desta monografia, será
utilizado o termo plano para se referir ao Plano Euclidiano.
1.1 Polígonos
Definição 1.1 (Linha poligonal) Dada A1, A2,..., An, n ∈ N, n ≥ 3 uma sequência
finita de pontos distintos. Denota-se linha poligonal o nome dado à reunião de segmentos
A1A2, A2A3, ..., An−1An, tal que três pontos consecutivos, Ak−1, Ak, Ak+1, são não coline-
ares. Se An coincidir com A1, diz-se que a linha poligonal é fechada. Caso contrário, se
An não coincidir com A1, diz-se que a linha poligonal é aberta.
Ainda, cada um dos pontos Ai serão denominados vértices e cada segmento Ai−1Ai
será denominado lado ou aresta.
(1) (2)
Figura 1 – Exemplos de linhas poligonais. (1) representa uma linha poligonal aberta e (2)
representa uma linha poligonal fechada.
Definição 1.2 (Linha poligonal fechada simples) Uma linha poligonal fechada A1A2,
A2A3, ..., An−1An é simples se não há intersecção entre dois segmentos não consecutivos.
Caso contrário, a linha poligonal fechada é dita não simples.
Este tipo de linha poligonal é dado o nome de polígono simples.
6 Capítulo 1. Pré-requisitos
(1) (2)
Figura 2 – Exemplos de linhas poligonais fechadas. (1) representa uma linha poligonal
fechada não simples e (2) representa uma linha poligonal fechada simples, ou
polígono simples.
Definição 1.3 (Região poligonal) Entende-se por região poligonal a união dos pontos
interiores a uma linha poligonal fechada.
Figura 3 – Exemplos de regiões poligonais.
Observação 1.1.1 (Polígono) A fim de facilitar a leitura deste trabalho, a partir de
agora, o termo polígono será utilizado para designar o termo polígono simples com a sua
respectiva região poligonal.
(1) (2) (3)
Figura 4 – Exemplos de linhas poligonais fechadas com suas respectivas regiões poligonais.
Nesta monografia, as figuras (1) e (3) são denotadas por polígono simples, ou
somente polígono enquanto (2) é denotado por polígono não-simples.
Definição 1.4 (Polígono convexo) Um polígono simples é dito convexo se, e somente
se, a reta determinada por dois vértices consecutivos quaisquer deixa todos os demais
1.2. Ângulos internos e ângulos externos de um polígono 7
(n− 2) ∀n ∈ N, n ≥3 vértices em um mesmo semiplano, dos dois que ela determina. Um
polígono simples não convexo é denominado côncavo.
(1) (2)
Figura 5 – Exemplos de polígono convexo (1) e polígono côncavo (2).
Definição 1.5 (Polígono regular) Um polígono convexo é dito regular se todos seus
lados e todos seus ângulos internos são congruentes.
A definição de ângulo interno de um polígono é dada a seguir.
1.2 Ângulos internos e ângulos externos de um polígono
Definição 1.6 (Ângulo) Ângulo é uma das duas regiões do plano delimitada por duas
semirretas que partem de um mesmo ponto. Seja R essa região e V o ponto de encontro das
semirretas. A medida desse ângulo, ou a medida angular, em radianos, é o comprimento
da interseção da circunferência unitária centrada em V com a região R.
Observação 1.2.1 (Escala) A medida angular varia de 0 a 2pi radianos, mas também
será usada a escala em graus, que varia de 0 a 360◦.
Figura 6 – Representação de ângulo como objeto geométrico.
8 Capítulo 1. Pré-requisitos
Observação 1.2.2 Nesta monografia, será denotada por ângulo a sua respectiva medida
angular.
Definição 1.7 (Ângulo interno) Seja V um vértice de um polígono P e ` e `′ as duas
arestas que incidem em V . O ângulo interno de P no vértice V é a medida do ângulo
delimitado pelas semirretas que partem de V , contendo ` e `′ que contém P .
Observação 1.2.3 Como ` ∩ `′ = {V }, todo ângulo interno é estritamente maior que
zero e estritamente menor que 2pi ou 360◦.
Figura 7 – Ângulo interno de um polígono P .
Definição 1.8 (Ângulo externo de um polígono convexo) Seja V vértice de um po-
lígono P convexo. O ângulo externo de P em V é o valor de pi subtraído do ângulo interno
de P em V .
Proposição 1.2.1 Se P é convexo, então todos os ângulos internos são menores do que pi
e os ângulos externos são positivos. Neste caso, os ângulos externos são os suplementares
dos ângulos internos.
Figura 8 – Representação de ângulo externo de um polígono convexo.
1.3. Soma de ângulos internos e soma de ângulos externos 9
1.3 Soma de ângulos internos e soma de ângulos externos
Os próximos teoremas serão importantes para a leitura desta monografia e suas
demonstrações encontram-se na referência [10] e [11] deste trabalho.
Teorema 1.1 A soma dos ângulos internos de qualquer polígono simples de n lados é
dado por (n− 2)· 180◦,∀n ∈ N, n ≥ 3.
Teorema 1.2 A soma dos ângulos externos de qualquer polígono simples é igual a 2 ·180◦.
Proposição 1.3.1 O ângulo interno de um polígono regular é dado por 180 ·
(
1− 2
n
)
.
Demonstração: Seja P um polígono regular qualquer de n lados. Sabe-se que
Sn = (n− 2) · 180◦, onde Sn é a soma dos ângulos internos de P , pelo Teorema 1.1.
Ora, se P tem n lados, então, tem n ângulos congruentes. Logo, cada ângulo interno
é dado por:
Sn
n
= (n− 2) · 180
n
= 180 ·
(
1− 2
n
)
.
1.4 Ladrilhamentos do Plano Euclidiano
Definição 1.9 Seja P = { P1, P2, P3, ... } um conjunto de polígonos. Ladrilhamento é
o processo de preencher o Plano Euclidiano, E, com P tal que a interseção das regiões
poligonais (internas) entre Pa e Pb é vazia e
⋃
n≥1 Pn = E, ∀a 6= b.
Definição 1.10 Ladrilhado é o resultado final do ladrilhamento.
Figura 9 – Um ladrilhado composto exclusivamente por quadrados.
Definição 1.11 Chama-se ladrilho qualquer polígono utilizado em um ladrilhamento.
Por exemplo, na figura 9, cada ladrilho é um quadrado.
11
2 Ladrilhados com polígonos regulares
Neste capítulo será demonstrado, com base nas referências [12] e [13], que existem
apenas onze possíveis modos distintos de ladrilhar o plano, satisfazendo as seguintes
condições:
a) Os ladrilhos são polígonos regulares;
b) A interseção de dois polígonos é um lado, um vértice ou é vazia;
c) A distribuição de polígonos ao redor de cada vértice é sempre a mesma. Esta
distribuição será chamada de molde.
O estudo dos ladrilhados com polígonos regulares, que seguem estas três condições,
é dividido em dois casos: ladrilhados regulares e ladrilhados quaserregulares.
2.1 Ladrilhados regulares
Definição 2.1 Um ladrilhado que obedece os itens a, b e c, formado por polígonos regulares
congruentes entre si é denominado ladrilhado regular.
Teorema 2.1 Existem apenas três tipos de ladrilhados regulares.
Demonstração: considere m polígonos regulares em torno de um vértice, todos
congruentes entre si, de n lados, em que m,n ∈ N e n ≥ 3. Para que qualquer ladrilhado
exista, é necessário (mas não suficiente) que a soma dos ângulos ao redor de cada vértice
seja igual a 360o, ou seja, como cada ângulo interno de um polígono regular de n lados
mede 180
(
1− 2
n
)
, tem-seque:
m.180
(
1− 2
n
)
= 360 ⇐⇒ m
(
1− 2
n
)
= 360180 ⇐⇒ 1−
2
n
= 2
m
⇐⇒
1
2 −
1
n
= 1
m
⇐⇒ n− 22n =
1
m
⇐⇒ m = 2n
n− 2 ⇐⇒
m− 2 = 4
n− 2 .
Observe que se m− 2 ∈ N, então n− 2 deve ser divisor de 4. Logo, n− 2 só pode
ser igual a 1, 2 ou 4.
Assim, as únicas possibilidades com m ladrilhos regulares congruentes com n lados,
por vértice, são:
12 Capítulo 2. Ladrilhados com polígonos regulares
. n− 2 = 1 =⇒ n = 3 e m− 2 = 41 =⇒ m = 6;
. n− 2 = 2 =⇒ n = 4 e m− 2 = 42 =⇒ m = 4;
. n− 2 = 4 =⇒ n = 6 e m− 2 = 44 =⇒ m = 3.
Os três valores de m obtidos como “necessários” são, de fato, realizados, conforme
mostra a tabela a seguir.
no de ladrilhos
por vértice (m)
no de lados do
ladrilho (n)
Ladrilho
regular Molde
Ladrilhado
6 3 Triângulo
4 4 Quadrado
3 6 Hexágono
Tabela 1 – Relação dos possíveis valores de número de ladrilhos por vértice e número de
lados de cada ladrilho com seus respectivos moldes e ladrilhados regulares.
2.2 Ladrilhados quaserregulares
Nesta seção, serão mostradas as outras oito possibilidades de ladrilhar o plano com
polígonos regulares não todos congruentes, que seguem os itens a, b e c.
Definição 2.2 Um ladrilhado que obedece os itens a, b e c, formado por ladrilhos regulares,
em que ladrilhos de mesmo tipo são congruentes, é denominado ladrilhado quaserregular.
Teorema 2.2 Existem apenas oito tipos de ladrilhados quaserregulares.
2.2. Ladrilhados quaserregulares 13
Daqui em diante nesta seção, todas as proposições e considerações resultarão na
prova do teorema 2.2.
Proposição 2.2.1 Não existe ladrilhado quaserregular com sete ou mais polígonos regu-
lares em torno de cada vértice.
Demonstração: considere m ladrilhos regulares, incidindo em um vértice V , em que
cada ladrilho tem ângulo interno αi, onde i,m ∈ N, i ≥ 1.
Figura 10
O menor ângulo interno de um polígono regular é 60o, caso do triângulo equilátero.
Logo, a menor soma de ângulos internos em torno de V é dado por m.60o. Além disso,
para que ocorra um ladrilhado é necessário, mas não suficiente, que a soma dos ângulos
incidentes em V seja igual a 360o. Assim, é dito que m.60 ◦ ≤ 360 ◦ ⇐⇒ m ≤ 6. Como
m 6= 1 e m 6= 2 então, 3 ≤ m ≤ 6, como queria-se demonstrar.
Assim, para provar o teorema, basta verificar as situações em que há 3, 4, 5 ou 6
polígonos regulares em torno de cada vértice.
Seja 3 ≤ m ≤ 6 o número de polígonos regulares em cada vértice de um ladrilhado
quaserregular e ni, i = 1, 2, ...,m o respectivo número de lados de cada um dos m polígonos,
incidindo em um vértice.
Para que seja possível fazer um análise algébrica, será estabelecido a seguinte
condição: n1 ≤ n2 ≤ ... ≤ nm. Esta informação é necessária para verificar os ladrilhos que
formam moldes.
Caso m=3: três polígonos regulares em torno de um vértice.
Sejam P1, P2, P3 três polígonos regulares em torno de um vértice e sejam α1, α2, α3
os ângulos internos de P1, P2, P3 respectivamente.
14 Capítulo 2. Ladrilhados com polígonos regulares
Figura 11 – Representação de ângulos internos de três polígonos regulares em torno de
um dado vértice.
Como já discutido, ai = 180− 360
n
, e α1 + α2 + α3 = 360 ◦. Então,
α1 + α2 + α3 = 180− 360
n1
+ 180− 360
n2
+ 180− 360
n3
⇐⇒
α1 + α2 + α3 = 540− 360
( 1
n1
+ 1
n2
+ 1
n3
)
⇐⇒
360 = 540− 360
( 1
n1
+ 1
n2
+ 1
n3
)
⇐⇒
1 = 2
( 1
n1
+ 1
n2
+ 1
n3
)
⇐⇒ 12 =
1
n1
+ 1
n2
+ 1
n3
Observe que n1 ≤ 6, pois 12 =
1
n1
+ 1
n2
+ 1
n3
≤ 3
n1
.
Lembre-se n1 ≥ 3, pois o polígono deve ser, pelo menos, um triângulo equilátero.
Logo, é necessário analisar apenas os casos 3 ≤ n1 ≤ 6.
Caso m=3 e n1=3: três polígonos regulares em torno de um vértice, sendo um
deles triângulo.
1
2 =
1
3 +
1
n2
+ 1
n3
⇐⇒ 12 −
1
3 =
1
n2
+ 1
n3
⇐⇒
1
n3
= 16 −
1
n2
⇐⇒ n3 = 6.n2
n2 − 6 =⇒ n2 ≥ 7.
Veja ainda que n2 ≤ 12, pois 16 =
1
n2
+ 1
n3
≤ 2
n2
, pois foi estabelecido a condição
n1 ≤ n2 ≤ ... ≤ nm. Além disso, n2 6= 11, caso contrário n3 /∈ N.
Assim os possíveis moldes para m = 3 ladrilhos num vértice, sendo um deles
triângulo (n1 = 3) são:
n1 = 3; n2 = 7; n3 = 42;
n1 = 3; n2 = 8; n3 = 24;
n1 = 3; n2 = 9; n3 = 18;
n1 = 3; n2 = 10; n3 = 15;
2.2. Ladrilhados quaserregulares 15
n1 = 3; n2 = 12; n3 = 12.
Na figura abaixo, há duas possibilidades de moldes com 3 ladrilhos regulares em
torno de um vértice, sendo um deles um triângulo. As outras possibilidades serão vistas
na tabela 2 da página 19.
Figura 12 – Molde 3.8.24 (esq.) e molde 3.10.15(dir.).
Desses moldes criados, nem todos ladrilham o plano. A proposição seguinte eliminará
a maior parte dos moldes encontrados.
Proposição 2.2.2 Se um ladrilhado quaserregular tem um molde com três ladrilhos
regulares (m = 3) em torno de um vértice, sendo um deles um triângulo equilátero, então
apenas o molde 3.12.12 tem a possibilidade de ladrilhar o plano.
Demonstração: considere 4ABC um triângulo equilátero e Pa, Pb, Pc polígonos
regulares adjacentes a um triângulo equilátero, com ângulos internos denominados a, b, c
respectivamente.
Figura 13 – Um triângulo equilátero justaposto a três outros polígonos regulares.
Ao observar a figura acima, tem-se o seguinte sistema de equações:
16 Capítulo 2. Ladrilhados com polígonos regulares

a+ b+ 60 = 360
b+ c+ 60 = 360
a+ c+ 60 = 360
Ao igualar as expressões, conclui-se que a = b = c.
Assim, a+ b+ 60 = 360 =⇒ 2a = 300 ⇐⇒ a = 150.
Para descobrir qual polígono regular possui ângulo interno igual a 150◦, basta
usar a fórmula de ângulo interno, enunciada no Capítulo 1, para concluir que a =150o
se e somente se n = 12 (dodecágono regular). Ou seja, dos cinco moldes possíveis com
triângulos equiláteros, apenas aquele com dodecágonos continua com a possibilidade de
ladrilhar o plano. De fato, ao replicar o molde, ocorre um ladrilhado como será visto ainda
neste capítulo na Tabela 2 nas páginas 19 e 20.
Caso m = 3 e n1 = 4: três polígonos regulares em torno de um vértice, sendo um
deles quadrado.
1
2 =
1
4 +
1
n2
+ 1
n3
=⇒ 14 =
1
n2
+ 1
n3
≤ 2
n2
=⇒ n2 ≤ 8.
E como 14−
1
n2
= n2 − 44n2 =
1
n3
> 0, então n2 > 4. Logo n2 ≥ 5. Além disso, n2 6= 7,
caso contrário n3 /∈ N. Assim, as possíveis combinações de m = 3 ladrilhos em torno de
um vértice, sendo um deles quadrado, isto é, com n1 = 4, são:
n1 = 4; n2 = 5; n3 = 20;
n1 = 4; n2 = 6; n3 = 12;
n1 = 4; n2 = 8; n3 = 8.
Desses moldes criados, nem todos são, de fato, possibilidades de ladrilhar o plano.
A proposição seguinte eliminará um molde dentre todos os encontrados.
Proposição 2.2.3 Nenhum molde com três ladrilhos regulares em torno de um vértice,
sendo um deles pentágono, tem a possibilidade de ladrilhar o Plano Euclidiano.
Demonstração: considere ABCDE um pentágono regular e Pa, Pb, Pc, Pd, Pe polí-
gonos regulares adjacentes ao pentágono, tais que seus ângulos internos serão denominados
a, b, c, d, e respectivamente.
2.2. Ladrilhados quaserregulares 17
Figura 14 – Cinco polígonos regulares justapostos ao pentágono regular.
Analisando os ângulos em torno de cada vértice, tem-se o seguinte sistema de
equações: 
c+ b+ 108◦ = 360◦
a+ b+ 108◦ = 360◦
a+ e+ 108◦ = 360◦
d+ e+ 108◦ = 360◦
d+ c+ 108◦ = 360◦
Segue que a = b = c = d = e =126◦. Mas, não existe polígono regular com ângulo
de 126◦. Assim, os moldes com três polígonos regulares, sendo um pentágono, não podem
ladrilhar o plano.
Assim, as únicas possibilidades para ladrilhar o plano com três polígonos regulares,
sendo um deles quadrado, são as configurações, 4.6.12 e 4.8.8. Os respectivos ladrilhados
destes moldes serão mostrados ainda neste capítulo, na Tabela 2 da página 19 e 20.
Caso m = 3 e n1 = 5: três polígonosregulares em torno de um vértice, sendo um
deles pentágono.
1
2 =
1
5 +
1
n2
+ 1
n3
⇐⇒ 310 =
1
n2
+ 1
n3
≤ 2
n2
=⇒ n2 ≤ 6
.
E como 310 −
1
n2
= 3n2 − 1010n2 =
1
n3
> 0, então n2> 4. Segue que 4 ≤ n2 ≤ 6, mas
é preciso que n2 6= 6, caso contrário n3 /∈ N. Assim, as possíveis combinações de m = 3
ladrilhos em torno de um vértice, sendo um deles quadrado, isto é, com n1 = 5, são:
n1 = 5; n2 = 4; n3 = 20;
n1 = 5; n2 = 5; n3 = 10;
18 Capítulo 2. Ladrilhados com polígonos regulares
Observe que se n2 = 4, a configuração seria 5.4.20, que contraria uma das condições
enunciadas: n1 ≤ n2 ≤ ... ≤ nm. Entretanto, importante ressaltar que esta condição é
necessária apenas para a análise algébrica. Geometricamente, a ordenação do número de
lados de cada polígono não determina a formação de moldes distintos. Por exemplo, o
molde dado por 4.5.20, difere do molde 5.4.20 apenas pelo sentido horário/ anti-horário.
Figura 15 – As configurações 5.4.20 e 4.5.20 representam o mesmo molde.
Como são moldes iguais, e 4.5.20 não pode ladrilhar o plano, então, o molde 5.4.20
também não representa molde que ladrilha o plano. Logo, restou apenas o caso em que
n2 = 5, que resulta na configuração 5.5.10, que pela proposição 2.2.3 também não ladrilha
o plano euclidiano.
Caso m = 3 e n1 = 6: três polígonos em torno de um vértice, sendo um deles
hexágono regular.
1
2 =
1
6 +
1
n2
+ 1
n3
⇐⇒ 13 =
1
n2
+ 1
n3
=⇒
1
3 =
1
n2
+ 1
n3
≤ 2
n2
=⇒ n2 ≤ 6.
E como 13 −
1
n2
= n2 − 33n2 =
1
n3
> 0, então n2> 4. Segue que 4 ≤ n2 ≤ 6. Mas, se
n2 = 5, então n3 /∈ N.
Assim, as possíveis combinações de m = 3 ladrilhos em torno de um vértice, sendo
um deles quadrado, isto é, com n1 = 6, são:
n1 = 6; n2 = 4; n3 = 12;
n1 = 6; n2 = 6; n3 = 6.
A primeira configuração, 6.4.12, representa o mesmo molde de 4.6.12 e seu ladrilhado
será dado na tabela 2 da página 19.
A segunda configuração, 6.6.6, já foi estudada anteriormente na seção 2.1, que
aborda os ladrilhados regulares.
2.2. Ladrilhados quaserregulares 19
Abaixo estão as possibilidades de moldes e seus respectivos ladrilhados com três
polígonos regulares nem todos congruentes em torno de cada vértice, sem sobreposição ou
buracos.
Configuração Molde Ladrilhado
3.7.42 Não há.
3.8.24 Não há.
3.9.18 Não há.
3.10.15 Não há.
20 Capítulo 2. Ladrilhados com polígonos regulares
Configuração Molde Ladrilhado
3.12.12
4.5.20 Não há.
4.6.12
4.8.8
5.5.10 Não há.
Tabela 2 – Moldes, sua representação geométrica e seus respectivos ladrilhados para o caso
em que há três tipos de ladrilhos regulares não todos congruentes em torno de
cada vértice.
2.2. Ladrilhados quaserregulares 21
Caso m = 4: quatro polígonos regulares em torno de um vértice.
Considere 4 polígonos regulares, incidindo sobre um vértice. A soma dos ângulos
internos de cada um desses polígonos em torno do vértice é dada pela equação.
4∑
i=1
(
180− 360
ni
)
= 360 ⇐⇒ 4.180− 360
n1
− 360
n2
− 360
n3
− 360
n4
= 360 ⇐⇒
2.360− 360
( 1
n1
+ 1
n2
+ 1
n3
+ 1
n4
)
= 360 ⇐⇒
1
n1
+ 1
n2
+ 1
n3
+ 1
n4
= 1 =⇒
1 = 1
n1
+ 1
n2
+ 1
n3
+ 1
n4
≤ 4
n1
=⇒ 3 ≤ n1 ≤ 4.
Assim, é preciso analisar apenas dois casos: 4 polígonos em torno de um vértice
quando um deles é um triângulo ou um quadrado.
Caso m = 4 e n1 = 3: quatro polígonos regulares incidindo em torno de um vértice,
sendo um deles triângulo.
1
3 +
1
n2
+ 1
n3
+ 1
n4
= 1 ⇐⇒ 1
n2
+ 1
n3
+ 1
n4
= 23 ⇐⇒
2
3 =
1
n2
+ 1
n3
+ 1
n4
≤ 3
n2
=⇒ 23 ≤
3
n2
=⇒ 3 ≤ n2 ≤ 4.
.
Se n2 = 3: 1
3 +
1
n3
+ 1
n4
= 23 ⇐⇒
1
n3
+ 1
n4
= 13 =⇒
1
3 =
1
n3
+ 1
n4
≤ 2
n3
=⇒ 13 ≤
2
n3
=⇒ n3 ≤ 6.
Se n3 = 3, então
1
3 +
1
3 +
1
n4
= 23 . Impossível.
Se n3 = 4, então
1
3 +
1
4 +
1
n4
= 23 ⇐⇒
1
n4
= 13 −
1
4 ⇐⇒
1
n4
= 112 ⇐⇒ n4 = 12.
Se n3 = 5, então n4 não pertence ao N∗.
Se n3 = 6, então
1
3 +
1
6 +
1
n4
= 23 ⇐⇒
1
6 +
1
n4
= 13 ⇐⇒
1
n4
= 16 ⇐⇒ n4 = 6.
22 Capítulo 2. Ladrilhados com polígonos regulares
Se n2 = 4:
1
4 +
1
n3
+ 1
n4
= 23 ⇐⇒
1
n3
+ 1
n4
= 512 =⇒
5
12 =
1
n3
+ 1
n4
≤ 2
n3
=⇒ 512 ≤
2
n3
=⇒
3 ≤ n3 ≤ 4.
Se n3 = 3, então
1
3 +
1
n4
= 512 ⇐⇒
1
n4
= 112 ⇐⇒ n4 = 12.
Se n3 = 4, então
1
4 +
1
n4
= 512 ⇐⇒
1
n4
= 512 −
3
12 ⇐⇒
1
n4
= 16 ⇐⇒ n4 = 6.
Logo, as possibilidades encontradas para a formação de moldes com quatro polígonos
regulares em torno de um vértice, sendo um deles triângulo são:
n1 = 3; n2 = 3; n3 = 4; n4 = 12;
n1 = 3; n2 = 3; n3 = 6; n4 = 6;
n1 = 3; n2 = 4; n3 = 3; n4 = 12;
n1 = 3; n2 = 4; n3 = 4; n4 = 6.
É possível permutar cada uma destas possibilidades e obter outras configurações,
que se diferem completamente. Utilizando este recurso encontra-se duas novas configurações:
3.6.3.6; 3.4.6.4.
Figura 16 – Da esquerda para a direita: configurações 3.3.6.6; 3.6.3.6; 3.4.4.6 e 3.4.6.4.
2.2. Ladrilhados quaserregulares 23
Importante notar que a configuração 3.3.6.6 foi encontrada na análise algébrica,
ladrilha o plano, uma vez que recai no ladrilhado regular com hexágonos, mas não obedece
a condição c enunciada no início desta seção. Já o molde 3.6.3.6, proveniente de permutação,
ladrilha o plano obedecendo às três condições a, b e c.
Com relação aos moldes 3.4.4.6 e 3.4.6.4, tem-se que o molde 3.4.4.6 ladrilha o plano,
mas não obedece a condição c, enquanto que o molde 3.4.6.4, proveniente da permutação,
ladrilha o plano obedecendo às três condições a, b e c.
Figura 17 – O molde 3.3.6.6 ladrilha o plano sem obedecer a condição c enunciada no
início da seção.
Figura 18 – O molde 3.4.4.6 ladrilha o plano sem obedecer a condição c enunciada no
início da seção.
Com relação aos dois moldes, 3.3.4.12 e 3.4.3.12, mesmo que seja eliminada a
condição c não ladrilham o plano.
Abaixo estão as possibilidades de moldes com quatro ladrilhos regulares em torno
de cada vértice e seus respectivos ladrilhados, que obedecem as condições a, b e c.
24 Capítulo 2. Ladrilhados com polígonos regulares
Configuração Molde Ladrilhado
3.3.4.12 Não há.
3.3.6.6. Não há.
3.4.3.12 Não há.
3.4.4.6 Não há.
3.6.3.6
3.4.6.4
Tabela 3 – Moldes, sua representação geométrica e os respectivos ladrilhados quaserre-
gulares para o caso em que há quatro tipos de ladrilhos regulares em cada
vértice.
2.2. Ladrilhados quaserregulares 25
Caso m = 4 e n1 = 4: quatro polígonos regulares incidindo em torno de um vértice,
sendo um deles quadrado.
1
4 +
1
n2
+ 1
n3
+ 1
n4
= 1 ⇐⇒ 1
n2
+ 1
n3
+ 1
n4
= 34 ⇐⇒
3
4 =
1
n2
+ 1
n3
+ 1
n4
≤ 3
n2
=⇒ 34 ≤
3
n2
=⇒ 3 ≤ n2 ≤ 4.
.
Se n2 = 3
1
3 +
1
n3
+ 1
n4
= 34 ⇐⇒
1
n3
+ 1
n4
= 512 =⇒
5
12 =
1
n3
+ 1
n4
≤ 2
n3
=⇒ 2
n3
≤ 512 =⇒
3 ≤ n3 ≤ 4.
Se n3 = 3, consequentemente n4 = 12.
Se n3 = 4, consequentemente n4 = 6.
Se n2 = 4
1
4 +
1
n3
+ 1
n4
= 34 ⇐⇒
1
n3
+ 1
n4
= 12 =⇒
1
2 =
1
n3
+ 1
n4
≤ 2
n3
=⇒ 12 ≤
2
n3
=⇒
3 ≤ n3 ≤ 4.
Se n3 = 3, consequentemente n4 = 6.
Se n3 = 4, consequentemente n4 = 4.
As configurações encontradas, neste caso, foram:
n1 = 4; n2 = 3; n3 = 3; n4 = 12;
n1 = 4; n2 = 3; n3 = 4; n4 = 6;
n1 = 4; n2 = 4; n3 = 3; n4 = 6;
26 Capítulo 2. Ladrilhados com polígonos regulares
n1 = 4; n2 = 4; n3 = 4; n4 = 4.
A configuração 4.4.4.4 já foi estudada na seção 2.1 e todas as outras são permuta-
ções de configurações já encontradas. Elas serão consideradas iguais a suas respectivas
permutações.
Caso m = 5: cinco polígonos regulares em torno de um vértice.Considere 5 polígonos regulares, incidindo em um vértice. A soma dos ângulos
internos de cada um desses polígonos em torno do vértice é dada pela equação:
5∑
i=1
(
180− 360
ni
)
= 360 ⇐⇒ 5.180− 360
n1
− 360
n2
− 360
n3
− 360
n4
− 360
n5
= 360 ⇐⇒
180
(
5− 2
n1
− 2
n2
− 2
n3
− 2
n4
− 2
n5
)
= 360 ⇐⇒
2
n1
+ 2
n2
+ 2
n3
+ 2
n4
+ 2
n5
= 3 ⇐⇒ 1
n1
+ 1
n2
+ 1
n3
+ 1
n4
+ 1
n5
= 32 =⇒
3
2 =
1
n1
+ 1
n2
+ 1
n3
+ 1
n4
+ 1
n5
≤ 5
n1
⇐⇒ 32 ≤
5
n1
⇐⇒ n1 = 3.
Agora, veja os valores que n2 pode assumir:
1
3 +
1
n2
+ 1
n3
+ 1
n4
+ 1
n5
= 32 ⇐⇒
1
n2
+ 1
n3
+ 1
n4
+ 1
n5
= 76 =⇒
7
6 =
1
n2
+ 1
n3
+ 1
n4
+ 1
n5
≤ 4
n2
⇐⇒ 76 ≤
4
n2
⇐⇒ n2 = 3.
Veja os valores que n3 pode assumir:
1
3 +
1
n3
+ 1
n4
+ 1
n5
= 76 ⇐⇒
1
n3
+ 1
n4
+ 1
n5
= 56 =⇒
5
6 =
1
n3
+ 1
n4
+ 1
n5
≤ 3
n3
⇐⇒ 56 ≤
3
n3
⇐⇒ n3 = 3.
De modo análogo, vamos ver quais valores n4 pode assumir:
1
n3
+ 1
n4
+ 1
n5
= 56 ⇐⇒
1
n4
+ 1
n5
= 12 =⇒
2.2. Ladrilhados quaserregulares 27
1
2 =
1
n4
+ 1
n5
≤ 2
n4
⇐⇒ 12 ≤
2
n4
=⇒ n4 ≤ 4.
Se n4 = 3, consequentemente n5 = 6.
Se n4 = 4, consequentemente n5 = 4.
Logo, as únicas possibilidades de formação de molde com cinco polígonos em torno
de um vértice são:
n1 = 3; n2 = 3; n3 = 3; n4 = 3; n5 = 6;
n1 = 3; n2 = 3; n3 = 3; n4 = 4; n5 = 4.
Se a configuração 3.3.3.3.6 for permutada, não haverá novos moldes; ao contrário
da configuração 3.3.3.4.4, que permite um novo molde ao permutar seus ladrilhos: 3.3.4.3.4.
Configuração Molde Ladrilhado
3.3.3.3.6
3.3.3.4.4
3.3.4.3.4
Tabela 4 – Moldes, sua representação geométrica e seus respectivos ladrilhados para o caso
em que há cinco tipos de ladrilhos regulares não congruentes em cada vértice.
28 Capítulo 2. Ladrilhados com polígonos regulares
Uma justificativa para ver que o molde 3.3.3.3.6 ladrilha o plano é mostrar que o
hexágono regular pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros. Dois destes triângulos
se encaixam nos outros polígonos do molde, recaindo no ladrilhado regular formado apenas
por triângulos equiláteros.
Figura 19 – Um hexágono pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros.
Caso m = 6: seis polígonos em torno de um vértice.
Considere 6 polígonos regulares, incidindo sobre um vértice. A soma dos ângulos
internos de cada um desses polígonos em torno de V é dada pela equação:
6∑
i=1
(
180− 360
ni
)
= 360 ⇐⇒ 6.180− 360
n1
− 360
n2
− 360
n3
− 360
n4
− 360
n5
− 360
n6
= 360 ⇐⇒
1
n1
+ 1
n2
+ 1
n3
+ 1
n4
+ 1
n5
+ 1
n6
= 2 =⇒ n1 = 3n. ∀i.
Como ni = 3, então a única possibilidade de ladrilhar o plano com seis polígonos
em torno de um vértice é com seis triângulos equiláteros, caso já estudado em ladrilhados
regulares.
Assim, fica demonstrado o Teorema 2.2. Além disso, obtivemos o seguinte teorema:
Teorema 2.3 (Teorema de Kepler) Existem somente onze tipos distintos de ladrilha-
dos formados por polígonos regulares que obedecem as condições a,b e c.
A demonstração segue direto do teorema 2.2 e 2.1.
Estes ladrilhados são as configurações: 6.6.6; 4.8.8; 4.6.12; 3.12.12; 4.4.4.4; 3.6.3.6;
3.4.6.4, 3.3.4.3.4; 3.3.3.4.4; 3.3.3.3.6; 3.3.3.3.3.3.
29
3 Ladrilhados monoédricos
Há muito mais formas de ladrilhar o plano e não necessariamente é preciso utilizar
somente polígonos regulares. Neste capítulo serão abordados os ladrilhados formados por
cópias de um único ladrilho.
Definição 3.1 Um ladrilhado é dito monoédrico quando ele é composto exclusivamente
por polígonos que sejam todos congruentes entre si.
3.1 Ladrilhados monoédricos com quadriláteros
Teorema 3.1 Qualquer quadrilátero, convexo ou não, ladrilha o plano.
Demonstração: seja ABCD um quadrilátero e M ponto médio do lado AD. A ideia é
colocar todos os ângulos de um quadrilátero em torno de um fixado vértice.
Ao refletir cada um dos vértices A, B, C, D do quadrilátero por M , é gerado um
novo quadrilátero: A′B′C ′D′. Acompanhe a construção deste novo quadrilátero a partir
das figuras abaixo.
Figura 20 – Reflexão do ponto B por M gerou o ponto B′.
30 Capítulo 3. Ladrilhados monoédricos
Figura 21 – Reflexão do ponto C por M gerou o ponto C ′. A reflexão do ponto A por M
é o próprio ponto D e vice-versa.
Figura 22 – Após a reflexão dos quatro pontos A, B, C, D por M , tem-se um novo
quadrilátero: A′B′C ′D′.
Observe que CM ≡ C ′M por construção, assim como BM ≡ B′M . Além disso,
∠CMB ≡ ∠C ′MB′, por serem ângulos opostos pelo vérticeM . Logo,4CMB ≡ 4C ′MB′
pelo caso Lado-Ângulo-Lado.
Ainda, AM ≡ DM por definição de ponto médio. ∠BMA ≡ ∠B′MD pois são
ângulos opostos pelo vértice. Por fim, BM ≡ B′M como já visto. Logo, 4B′MD ≡
4BMA pelo caso Lado-Ângulo-Lado.
De modo análogo, 4DMC ≡ 4AMC ′.
Todas os lados e todos os ângulos do quadrilátero ABCD são congruentes aos lados
e aos ângulos correspondentes do quadrilátero A′B′C ′D′ e portanto, A′B′C ′D′ ≡ ABCD.
3.1. Ladrilhados monoédricos com quadriláteros 31
Figura 23 – Dois ângulos internos do quadrilátero ABCD evidenciados em torno do vértice
D.
Agora, tomeM ′ o ponto médio do segmento B′A′ e faça reflexão de todos os vértices
do quadrilátero A′B′C ′D′, obtendo o quadrilátero A′′B′′C ′′D′′, cujo ponto B′′ coincide
com os pontos D e A′ e A′′ coincide com o ponto B′.
A′′B′′C ′′D′′ é congruente ao quadrilátero A′B′C ′D′ uma vez que a argumentação é
análoga a anterior. Pela transitividade, A′′B′′C ′′D′′ é congruente ao quadrilátero original.
Em particular ∠C ′B′M ′ ≡ ∠M ′B′′C ′′, que é denominado 3 na figura abaixo.
Figura 24 – Três ângulos internos do quadrilátero ABCD em torno do vértice D.
De modo análogo, é construído o último quadrilátero A′′′B′′′C ′′′D′′′, congruente
a todos os outros com ∠BCD ≡ ∠C ′′DC, que será denominado por 4 na figura abaixo.
Importante ressaltar que os pontos B′′′, C ′′′, D′′′ coincidem com os pontos C, B, D
respectivamente.
32 Capítulo 3. Ladrilhados monoédricos
Figura 25 – Quatro ângulos internos do quadrilátero ABCD em torno do vértice D.
Como foi possível colocar todos os ângulos de um quadrilátero incidindo em um
mesmo vértice, basta repetir o argumento para obter o ladrilhado do plano.
Figura 26 – Ladrilhado monoédrico com quadriláteros.
Esta justificativa também é válida para os quadriláteros não convexos.
Figura 27 – Ladrilhado monoédrico com quadrilátero não convexo.
3.2 Ladrilhados monoédricos com triângulos
Teorema 3.2 Qualquer triângulo ladrilha o plano
3.2. Ladrilhados monoédricos com triângulos 33
A ideia para demonstrar esse teorema é replicar o triângulo de modo que dois triângulos
justapostos formem um quadrilátero.
Demonstração: seja ABC um triângulo qualquer.
Figura 28 – Triângulo ABC.
Rotacione a figura em torno do ponto médio de um dos lados e uma vez que rotação
preserva os lados e os ângulos de uma figura, são obtidos dois triângulos congruentes. Estes
dois triângulos congruentes e justapostos, ABC e A′BC formam um quadrilátero.
Figura 29 – Reflexão do triângulo ABC pelo ponto médio do segmento BC gerou um
triângulo congruente a ABC denominado A′BC.
Como visto na seção 3.1, todo quadrilátero ladrilha o plano. Como é possível obter
um quadrilátero da junção de duas cópias de um triângulo qualquer ABC, logo qualquer
triângulo, também, ladrilha o plano.
34 Capítulo 3. Ladrilhados monoédricos
Figura 30 – Ladrilhado com o triângulo ABC.
3.3 Ladrilhados monoédricos com hexágonos
Existem apenas três tipos de hexágonos, além dos regulares, que são capazes de
produzir ladrilhados monoédricos. O enunciado e sua respectiva demonstração encontra-se
na tese de doutorado de Karl Reinhardt do ano de 1918, escrita em alemão.Parte dos
resultados encontrados por Karl foram reescritos, em inglês, por Bellá Bollobás (CASTRO,
p.16). Nesse artigo, consta a prova dos hexágonos tipo 1 e 2, mas não há a prova do tipo
3 (BOLLOBAS, p.123). De qualquer modo, CASTRO faz a construção do ladrilhado de
cada um dos três tipos. Tal construção é feita a seguir, lembrando que todas as nomeações
de vértices, ângulos e lados estarão no sentido anti-horário.
Hexágono tipo 1: hexágono que possui dois lados opostos congruentes e paralelos.
Mais especificamente, seja ABCDEF um hexágono em que AB ≡ ED e AB//ED.
Figura 31 – Representação do hexágono do tipo 1.
Trace os segmentos EA e DB. Cada um destes segmentos dividirá os ângulos
E,A,D e B, em e1, e2, a1, a2, d1, d2, b1, b2 respectivamente.
Os triângulos 4AEF e 4BCD determinam que:
a2 + F + e1 = pi;
b1 + C + d2 = pi.
3.3. Ladrilhados monoédricos com hexágonos 35
Figura 32 – EA e DB divide cada um dos ângulos A, B, D, E em dois outros ângulos.
Ainda, ABDE é um quadrilátero de lados opostos (congruentes) e paralelos por
hipótese. Logo, ABDE é um paralelogramo por definição. Então, isso implica dizer, por
consequência do teorema dos ângulos alternos internos, que a1 + e2 = pi e b2 + d1 = pi.
A+F +E = (a1 + a2)+F +(e1 + e2) = (e2 + a1)+ (a2 +F + e1) = pi+pi = 2pi; (1)
E, ainda,
B+C +D = (b2 + b1)+C +(d1 + d2) = (b2 + d1)+ (b1 +C + d2) = pi+pi = 2pi. (2)
Conclui-se, pelas afirmações (1) e (2), que é possível justapor o ângulo B ao C e
ao D. Assim como é possível também justapor o ângulo A ao F e ao E.
Pensando nisso, para construir o domínio fundamental, é preciso transladar um
hexágono congruente ao ABCDEF , que será denominado A′B′C ′D′E ′F ′, de modo que
o segmento E ′D′ coincida com AB. Lembre que esta passagem só é possível porque
AB ≡ ED por hipótese.
Figura 33 – Hexágono ABCDEF e uma cópia, A′B′C ′D′E ′F ′, transladada.
Como E ′ ≡ E e D′ ≡ D , por construção, para terminar a construção do domínio
fundamental é preciso encaixar outras cópias do hexágono ABCDEF na figura.
Para isso, uma cópia sobreposta e congruente ao ABCDEF , denominada por
A′′B′′C ′′D′′E ′′F ′′, precisa ser rotacionada no sentido anti-horário em 180o, pelo ponto
médio M de AF . Assim, F ′′ coincidirá com os vértices A e E ′. Da mesma maneira,
uma outra cópia sobreposta ao ABCDEF , denominada A′′′B′′′C ′′′D′′′E ′′′F ′′′, precisa ser
36 Capítulo 3. Ladrilhados monoédricos
rotacionado no sentido horário em 180o, pelo ponto médio M ′′ de BC. Estes quatro
hexágonos formam o domínio fundamental.
Figura 34 – Domínio fundamental do hexágono tipo 1.
O ladrilhamento ocorre com translações deste domínio fundamental. O ladrilhado
é representado na figura abaixo.
Figura 35 – Ladrilhado com hexágonos do tipo 1.
Hexágono tipo 2: hexágono que possui dois pares de lados congruentes e a soma
de três ângulos internos igual a 360o. Mais especificamente, seja ABCDEF um hexágono
com AB ≡ DE, CD ≡ EF e B+C+E= 2pi.
Figura 36 – Representação do hexágono tipo 2.
Para formar um ladrilhado a partir desse hexágono, é necessário construir um
hexágono congruente e sobreposto ao original, denominado A′B′C ′D′E ′F ′. Rotacione em
180o o novo hexágono em torno do ponto F e translade-o de tal forma que o ponto D′ se
sobreponha ao A e o ponto E ′ se sobreponha ao ponto B. Isto só é possível pela hipótese
que garante que AB ≡ DE.
3.3. Ladrilhados monoédricos com hexágonos 37
Figura 37 – Hexágonos ABCDEF e A′B′C ′D′E ′F ′.
Agora, é preciso construir um novo hexágono A′′B′′C ′′D′′E ′′F ′′, congruente aos
demais, de tal forma que o ponto C ′′ coincida com o ponto B e o ponto E ′. Para isto, basta
que este novo hexágono seja construído sobreposto a ABCDEF e sofra uma reflexão em
torno do ponto C e, em seguida seja refletido novamente, mas desta vez em relação ao
ponto F ′′. Por fim, basta transladá-lo a fim de que o vértice C ′′ se justaponha aos vértices
B e E ′. Novamente, isto só é possível pela hipótese que garante que B + C + E = pi.
Figura 38 – Encaixe perfeito de três hexágonos do tipo 2.
Para formar o domínio fundamental, basta construir um novo hexágonoA′′′B′′′C ′′′D′′′E ′′′F ′′′
congruente aos demais e alinhá-lo como na figura abaixo. O encaixe só é possível pela
hipótese que garante que AB ≡ DE.
Além disso, como B + C + E = 2pi e a soma dos ângulos internos de um hexágono
convexo, em particular este hexágono, é 4pi, então D + E + A = 2pi.
Figura 39 – Domínio fundamental do tipo 2.
38 Capítulo 3. Ladrilhados monoédricos
Para construir o ladrilhado com hexágonos do tipo 2, basta fazer translações do
domínio fundamental encontrado.
Figura 40 – Ladrilhado monoédrico com hexágonos do tipo 2.
Hexágono tipo 3: hexágono que possui três pares de lados congruentes e três
ângulos congruentes de medida igual a 2pi3 . Mais precisamente, seja ABCDEF um hexágono
em que AB ≡ AF , BC ≡ CD, DE ≡ EF e que A = C = E = 2pi3 .
Figura 41 – Hexágono do tipo 3.
Agora, é preciso construir um hexágono, A′B′C ′D′E ′F ′, congruente ao hexágono
original, de modo que os pontos A e B do hexágono original coincidam com os pontos A′
e F ′ de A′B′C ′D′E ′F ′ respectivamente. Só é possível dizer que estes pontos citados irão
coincidir devido à hipótese que garante que AB ≡ AF .
Figura 42 – Hexágono ABCDEF e hexágono A′B′C ′D′E ′F ′.
3.3. Ladrilhados monoédricos com hexágonos 39
Observe que dois ângulos de mesma medida (A e A′) estão justapostos. Como cada
um deles mede 2pi3 , basta inserir mais um hexágono congruente aos demais de modo que o
ângulo que ficará justaposto ao A e A′ tenha a mesma medida de A.
Ao construir A′′B′′C ′′D′′E ′′F ′′, faça com que A′′ coincida com A e A′, F com B′′,
e F ′′ com B′. Lembrando que coincidir estes vértices só é possível devido à hipótese que
garante que AB ≡ AF . Estes três hexágonos definem o domínio fundamental.
Figura 43 – Domínio fundamental do hexágono do tipo 3.
Em particular, note que a soma dos ângulos internos de qualquer hexágono deve ser
igual a (6-2)180o = 720o. Portanto, A = C = E =120o se, e somente se, B +D+ F =360o.
Assim, a próxima estratégia será criar um outro hexágono congruente aos demais,
denominado A′′′B′′′C ′′′D′′′E ′′′F ′′′, fazendo coincidir os vértices B, F ′ e D′′′, justapondo os
lados BC com C ′′′D′′′ e E ′F ′ com D′′′E ′′′. Novamente, os segmentos só ficarão justapostos
pelas condições da hipótese.
Figura 44 – Encaixe perfeito entre quatro hexágonos do tipo 3.
As próximas duas replicações são justificadas de modo análogo à segunda replicação.
o processo de ladrilhamento é mostrado na figura abaixo.
40 Capítulo 3. Ladrilhados monoédricos
Figura 45 – Ladrilhamento formado, exclusivamente, por hexágonos do tipo 3.
Para continuar este processo, basta analisar os ângulos que incidem em cada vértice.
Perceba que cada vértice abrange um dos tipos discutidos anteriormente. Esse processo
indutivo define o ladrilhado do plano euclidiano por hexágonos do tipo 3 (CASTRO, p.23).
41
4 Ladrilhados monoédricos com pentágonos
Este trabalho já abordou ladrilhados monoédricos formados por triângulos, quadra-
dos e hexágonos. Agora, será estudado o último caso de ladrilhados monoédricos formados
por polígonos convexos: ladrilhados com pentágonos.
O capítulo merece uma atenção especial, pois o problema ainda não tem uma
solução definitiva.
Afirmação: não é possível ladrilhar o Plano Euclidiano, de forma monoédrica,
com pentágonos regulares.
Justificativa: três pentágonos regulares congruentes entre si, incidem sobre um
único vértice. Cada ângulo interno de um pentágono regular mede 108◦. Isto implica que a
soma dos três ângulos em torno de tal vértice é igual a 324◦, sobrando uma abertura de
36◦ em torno do vértice . Sendo assim, não é possível adicionar ao vértice outro pentágono
congruente aos demais, em uma tentativa de ladrilhar o plano, pois haverá sobreposição,
conforme elucidadona figura abaixo.
Figura 46 – Pentágonos regulares não ladrilham o plano monoedricamente.
Afinal, qual a maneira de contornar essa situação?
Há duas opções: insistir em formar um ladrilhado com pentágonos regulares ou
procurar ladrilhados com outros tipos de pentágonos. A primeira opção é possível se não
for exigido que o ladrilhado seja feito exclusivamente por pentágonos regulares. Neste caso,
uma maneira de ladrilhar o plano é utilizando também losangos para cobrir as lacunas
que surgirão.
42 Capítulo 4. Ladrilhados monoédricos com pentágonos
Figura 47 – Como pentágonos regulares não ladrilham monoedricamente o plano, uma
alternativa é preencher as lacunas formadas com losangos.
A segunda opção ainda é um problema em aberto. Os três ladrilhados monoédricos
com pentágonos conhecidos há mais tempo são mostrados nas figuras abaixo. Perceba que
eles são obtidos a partir de ladrilhados regulares e ladrilhados quaserregulares, estudados
nas seções 2.1 e 2.2. Mais especificamente, as configurações 3.3.3.4.4, 3.3.3.3.6 e 3.3.4.3.4 são
os ladrilhados que originam (1), (2) e (3) respectivamente. Informalmente, Um ladrilhado
proveniente de outro é dito ladrilhado dual.
Este último ladrilhado com pentágonos é muito famoso, conhecido por estar pre-
sente nas ruas da cidade de Cairo, capital do Egito. Não é a toa que recebe o nome de
“Pavimentação do Cairo” e é, também, um dos ladrilhados favoritos do artista alemão M.C.
Escher, do qual falaremos no capítulo 6 deste trabalho.
(1) (2) (3)
Figura 48 – Os ladrilhados com pentágonos congruentes entre si conhecidos há mais tempo.
A pavimentação do Cairo pode ser obtida de formas diferentes. Uma maneira, claro,
é como está representada, proveniente de um ladrilhado quaserregular. Outra maneira é
dividir hexágonos do tipo 1 (vistos na seção anterior) em quatro pentágonos congruentes
conforme a figura 50.
43
Figura 49 – Hexágonos não regulares seccionados em pentágonos congruentes.
Existem vários modos de se obter ladrilhados monoédricos com pentágonos. Por
exemplo, seja ABCDEF um hexágono regular. Tome os pontos médios de três arestas não
consecutivas (P , Q, R) e ligue-os cada um ao centro, O, da figura, obtendo três pentágonos:
ABPOR, PCDQO, QEFRO congruentes.
Figura 50 – Decomposição de um hexágono regular em 3 pentágonos congruentes.
Sabe-se que todo hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláteros
congruentes entre si e que cada um dos pentágonos citados pode ser dividido em três
triângulos conforme a figura acima. Como foi visto na seção 2.1, os hexágonos regulares
ladrilham o plano, logo, basta mostrar que os três pentágonos encontrados são congruentes
entre si para obter um dos possíveis ladrilhados monoédricos com pentágonos.
Considere dois destes pentágonos, ABPOR e PCDQO. Pelo caso de congruência
de triângulos Lado-Lado-Lado,4BPO ≡ 4AOR,4BPO ≡ 4PCO e4PCO ≡ 4ODQ.
Pela propriedade transitiva, todos esses quatro triângulos são congruentes entre si. E como
dito no parágrafo anterior, 4ABO ≡ 4DOC.
Logo, como os triângulos que compõem o pentágono ABPOR são congruentes aos
triângulos correspondentes do pentágono PCDQO, os lados e ângulos correspondentes
dos pentágonos são congruentes e portanto ABPOR ≡ PCDQO
44 Capítulo 4. Ladrilhados monoédricos com pentágonos
De modo análogo, PCDQO ≡ QEFRO e pela propriedade transitiva, conclui-se
todos os três pentágonos, ABPOR, PCDQO e QEFRO, são congruentes entre si.
Figura 51 – Um ladrilhado monoédrico com pentágonos pode ser obtido através de secções
no ladrilhado com hexágonos regulares.
Os ladrilhados monoédricos com pentágonos começaram a surgir em artigos ci-
entíficos de modo desorganizado. Por existir mais de uma maneira de criá-los (duais e
hexágonos, por exemplo), era possível obter e listar ladrilhados repetidos.
Pensando nisso, em 1918, Karl Reinhardt, em sua tese de doutorado pela Uni-
versidade de Frankfurt, descobriu cinco tipos distintos de pentágonos que ladrilham o
Plano Euclidiano de modo monoédrico. Mais precisamente, ele estabeleceu cinco conjuntos
de condições com relação aos ângulos e às arestas de um pentágono, de modo que cada
conjunto fosse suficiente para garantir a existência de um pentágono e garantir também
a existência de pelo menos um ladrilhado monoédrico para cada pentágono existente do
conjunto.
Cada um destes cinco conjuntos de condições definem um tipo de pentágono.
Pentágonos são considerados de diferentes tipos se e somente se eles não satisfizerem todas
as condições do conjunto.
É importante dizer que podem existir pentágonos de um mesmo tipo, mas que não
são congruentes. Cada pentágono distinto de um mesmo tipo ladrilha o Plano Euclidiano
monoedricamente. Veja as tabelas da página 34 e 35 da referência [14].
Reinhardt pensou ter resolvido o problema dos ladrilhados formados com pentágonos
congruentes entre si, mesmo sem ter demonstrado. Abaixo seguem os cinco conjuntos de
condições estipulados por Reinhardt.
45
Tipo 1
D + E = pi;
(a e d são paralelos).
Tipo 2
c = e;
B +D = pi.
Tipo 3
A = C = D = 2pi3 ;
d = c+ e;
a = b.
Tipo 4
B = D = pi2 ;
e = d; b = c.
Tipo 5
D = 2A = 2pi3 ;
a = b, d = e.
Tabela 5 – Tipos de 1 a 5 de pentágonos que ladrilham o plano monoedricamente,
descobertos por Karl Reinhardt.
46 Capítulo 4. Ladrilhados monoédricos com pentágonos
Em 1932, foi demonstrado que estes cinco tipos são os únicos transitivos, que
ladrilham o Plano Euclidiano (DUTENHEFNER, p.3)
Definição 4.1 Um ladrilhado é dito transitivo se existe uma isometria do Plano Euclidiano
que leva um dos ladrilhos em outro e preserva o ladrilhado.
Em 1968, R.B. Kershner da Universidade de Johns Hopkins encontrou outros três
tipos de pentágonos, que não constavam na lista de Reinhardt. Desta vez, os ladrilhados
não tinham a transitividade, mas eram do tipo lado-a-lado. A tabela 8 mostrará um
ladrilhado feito com cada tipo de pentágono descrito neste capítulo.
Definição 4.2 Um ladrilhado é dito lado-a-lado se cada aresta de cada ladrilho se justapõe
exatamente a uma aresta de outro ladrilho.
Tipo 6
A+ C + E = 2pi;
2B = E;
a = d = e, b = c.
Tipo 7
2E +B = 2pi;
D + 2C = 2pi;
b = c = d = e.
Tipo 8
2A+B = 2pi;
2D + C = 2pi;
b = c = d = e.
Tabela 6 – Tipos 6, 7 e 8 de pentágonos que ladrilham o plano monoedricamente,
descobertos por R.B. Kershner.
47
Em 1975, Martin Gardner fez uma publicação contendo a lista com os oito tipos de
pentágonos que ladrilham o plano monoedricamente em uma revista de divulgação científica,
a Scientific American. Esta publicação estimulou amadores a continuar procurando outros
possíveis tipos de pentágonos que fossem capazes de ladrilhar o plano.
Richard James III, um cientista computacional da Califórnia, foi um destes amadores
que decidiu procurar ladrilhados de pentágonos congruentes entre si por conta própria,
após ter acesso à lista. Ele percebeu que um octógono podia ser facilmente dividido em
quatro pentágonos por duas linhas perpendiculares passando pelo centro da figura. Os
ladrilhados formados pelos pentágonos de James são os únicos que não são transitivos e
nem têm a característica de ser lado-a-lado. Ele enviou a descoberta a Martin Gardner
com a seguinte pergunta: “você concorda que Kershner se esqueceu deste caso?”. Pela
segunda vez, o caso dos ladrilhados com pentágonos estava em aberto.
Marjorie Rice, uma Californiana com apenas o Ensino Fundamental completo, teve
acesso ao problema dos pentágonos que poderiam ladrilhar o Plano Euclidiano e decidiu
também investigá-lo. Ela sabia que eram impostas condições quanto aos ângulos e lados
dos pentágonos e concluiu que sua pesquisa deveria ser sistemática. Ela mostrou que havia
um outro tipo de pentágono que não constava na lista. Tal pentágono foi erroneamente
eliminado da pesquisa de Kershner. Ou seja, esse novo pentágono formava ladrilhado
de característicalado-a-lado. Ela ainda descobriu mais três outros tipos de pentágonos,
elevando o total para 13 tipos de pentágonos convexos.
Tipo 9
A = pi2 , B + E = pi;
2D + E = 2pi;
2C +B = 2pi;
a = b = c+ e.
Tipo 10
2E +B = 2pi;
2D + C = 2pi;
a = b = c = d.
48 Capítulo 4. Ladrilhados monoédricos com pentágonos
Tipo 11
A = pi2 , C + E = pi;
2B + C = 2pi;
d = e = 2a+ c.
Tipo 12
A = pi2 , C + E = pi;
2B + C = 2pi
2a = d = c+ e.
Tipo 13
A = C = pi2 ;
2B + 2E = pi −D;
2c = 2d = e.
Tabela 7 – Tipos 9, 10, 11, 12 e 13 de pentágonos que ladrilham o plano monoedricamente.
O tipo 9 foi descoberto por Richard James III e os tipos 10, 11, 12 e 13 foram
descobertos por Majorie Rice.
O décimo quarto tipo de pentágono foi descoberto por um estudante de matemática
da Universidade de Dortmund, Rolf Stein, em 1985, mais de uma década após as descobertas
de Rice.
49
Tipo 14
A = pi2 , C + E = pi;
2B + C = 2pi;
d = e = 2a = 2c.
Trinta anos mais tarde, em 2015, dois professores da Universidade de Washington
encontraram o décimo quinto tipo de pentágono convexo capaz de ladrilhar o plano de
maneira monoédrica, com o auxílio de computadores.
50 Capítulo 4. Ladrilhados monoédricos com pentágonos
Tipo 15
a = c = e; d = 2a; b =
√
(2 +
√
3)a;
A = 105◦, B = 135◦, C = 60◦,
D = 150◦,E = 90◦,
Em uma tentativa consolidar o problema dos ladrilhados com pentágonos, em 2012,
Teruhisa Sugimoto, professora do Instituto Interdisciplinar de Ciência, Tecnologia e Artes
do Japão, demonstrou que existem somente oito ladrilhados de pentágonos convexos do
tipo lado-a-lado.
Desta vez, parece que o problema está, finalmente, chegando ao fim, graças ao
professor Michaël Rao, do Centro Nacional Francês de Pesquisas Científicas. Ele publicou
em seu site uma prévia de demonstração que tenta afirmar, computacionalmente, que
existem apenas os quinze ladrilhados conhecidos do Plano Euclidiano por pentágonos
convexos. Em dezembro de 2017, a demonstração ainda não tinha sido completamente
verificada.
4.1 Ladrilhados formados exclusivamente com pentágonos.
A tabela a seguir mostra um exemplo de ladrilho que obedece às condições de
existência de cada tipo de pentágono estudado da seção anterior e seus respectivos domínio
fundamental e ladrilhado.
Tipo Domínio fundamental Ladrilhado
Tipo 1
4.1. Ladrilhados formados exclusivamente com pentágonos. 51
Tipo Domínio fundamental Ladrilhado
Tipo 2
Tipo 3
Tipo 4
Tipo 5
Tipo 6
Tipo 7
52 Capítulo 4. Ladrilhados monoédricos com pentágonos
Tipo Domínio fundamental Ladrilhado
Tipo 8
Tipo 9
Tipo 10
Tipo 11
Tipo 12
4.1. Ladrilhados formados exclusivamente com pentágonos. 53
Tipo Domínio fundamental Ladrilhado
Tipo 13
Tipo 14
Tipo 15
Tabela 8 – Tipos de pentágonos que ladrilham o plano monoedricamente com seus respe-
citvos domínio fundamental e ladrilhado.
55
5 Polígonos convexos que não ladrilham o
plano
Este será dedicado a demonstrar um teorema muito importante no estudo dos
ladrilhamentos, que diz nenhum polígono convexo com sete ou mais lados, de área e
perímetros arbitrários, consegue ladrilhar o plano. Através do resultado deste teorema,
será possível concluir dois corolários. O primeiro, afirmará que é necessário infinitas peças
convexas de seis ou menos lados para ladrilhar o plano. Já o segundo corolário afirmará
que cada uma destas peças, ou polígonos, está cercada com, no máximo, seis outras peças.
Para tal, este capítulo está baseado na referência [12].
Teorema 5.1 a) Se α e β são números reais positivos, é impossível ladrilhar o plano
com uma coleção de polígonos convexos em que cada um tem sete ou mais lados,
uma área maior que α e um perímetro menor que β.
b) Se qualquer uma dessas quatro condições sobre os polígonos for removida, é possível
ladrilhar o plano com todos os polígonos obedecendo as outras três condições.
Para a demonstração do item a) do teorema, serão utilizados duas ideias, as quais são
enunciadas a seguir:
i. Na demonstração deste teorema, a palavra “cobrir” significa não só cobrir uma região,
como também ultrapassar suas bordas. No caso, a palavra “cobrir” será definida para
expressar que os polígonos não só devem cobrir a região interna de um quadrado, sem
buracos ou sobreposições, mas também podem ultrapassar as bordas do quadrado.
Figura 52 – A palavra “cobrir” será utilizada no sentido de cobrir uma região finita para
além de suas bordas.
ii. O teorema isoperimétrico diz que, dado um polígono com sua linha poligonal simples
e fechada C e perímetro `, é sempre possível deformar C de modo que seu perímetro
máximo seja 2pir = ` e sua área máxima seja `
2
4pi .
56 Capítulo 5. Polígonos convexos que não ladrilham o plano
Figura 53 – Um polígono de perímetro ` pode ser deformado de modo a ter uma área de,
no máximo, `
2
4pi .
A demonstração deste teorema não é trivial (NIVEN,1978). Caso o leitor prefira,
é possível utilizar a seguinte afirmação um pouco mais fraca, mas que servirá para a
demonstração do Teorema 5.1: a área de um polígono é menor que a medida do seu
perímetro ao quadrado. O argumento para tal afirmação segue abaixo.
Seja P um polígono com perímetro menor que β e área maior que α fixado na
origem do plano cartesiano por um vértice. Tome uma circunferência C de centro na
origem e raio β2 .
Figura 54 – Polígono de perímetro menor que β dentro de uma circunferência de raio β2 .
Por contradição, suponha que P ∩C 6= ∅. Se isto ocorre, parte da linha poligonal
tem um comprimento maior que β2 = r. Como é uma curva fechada, é necessário que
o comprimento da linha poligonal seja, pelo menos, 2 · β2 o que contraria a hipótese do
perímetro de P ser menor que β. Logo, P ∩C = ∅. Sendo assim, α < piβ
2
4 < β
2 e, portanto,
a área de P é menor que β2.
Assim, tendo em mente estas duas ideias, será feita a demonstração do item a) do
Teorema a seguir.
Demonstração: suponha que o plano está ladrilhado por uma coleção de polígonos,
em que cada um possui sete ou mais lados, todos com uma área maior que α e perímetro
menor que β, onde α e β são números reais positivos.
57
É importante notar que a prova deste item vale tanto para ladrilhados lado-a-lado
como para ladrilhados não-lado-a-lado. A definição de ladrilhado lado-a-lado encontra-se
no capítulo 4.
Figura 55 – Uma rede poligonal com polígonos que obedecem as quatro condições do
teorema.
Os polígonos deste ladrilhado podem ser interpretados de duas formas distintas:
como ladrilhos (termo já definido nesta monografia) ou como uma “rede de polígonos”.
Nesta rede, os polígonos possuem mais lados e vértices que os polígonos originais. Por
exemplo, na figura há três polígonos convexos L1, L2, L3, e três vértices formados por esta
rede de polígonos, denotados por A, B, C. O polígono L1 tem 7 vértices e 7 lados, mas ao
inseri-lo no contexto da rede de polígonos, os vértices A e B são incluídos e o polígono passa
a ser um ladrilho com 9 vértices e 9 lados. Analogamente, o polígono L2 tem 7 vértices e 7
lados, mas no contexto da rede de polígonos, seu ladrilho correspondente possui 8 vértices
e 8 lados, por causa da inclusão do vértice C. Em compensação, o polígono L3 tem 7
vértices e 7 lados, nenhum vértice será acrescentado na rede poligonal. Toda rede poligonal
tem a seguinte propriedade: o número de lados de um polígono deve ser igual à quantidade
dos vértices da rede contidos em seu contorno. Vale lembrar que independentemente do
polígono ser interpretado como ladrilho ou como parte da rede de polígonos, a área é a
mesma e o perímetro também.
O que muda no polígono é o seu ângulo interno. Ao inserir os pontos A e B no
polígono L1, surgem dois novos vértices e, consequentemente, dois novos ângulos internos
de medida pi. A soma dos ângulos internos do polígono L1, no contexto da rede poligonal
é 7pi,