Geometria Analitica gabarito

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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
CADERNO DE PERGUNTAS 
curso: Engenharia de Produção bimestre: 3o bimestre ano: 2018 | 1sem P4 
• Preencha atentamente o cabeçalho de TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA que você utilizar. 
• Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de 
perguntas consigo. 
Boa prova! 
 
disciplina Geometria Analítica e Álgebra Linear NOTA (0-10): 
 
Questão 1 (2,5 pontos) 
Sejam a reta 𝑟𝑟 de equação 𝑋𝑋 = (1,0,0) + 𝛽𝛽(1,1,0) e o ponto 𝑃𝑃 = (2,1,2). 
 
a) (0,5 ponto) Calcule 𝑑𝑑(𝑃𝑃, 𝑟𝑟). 
b) (1,3 pontos) Determine uma reta 𝑠𝑠, perpendicular com a reta 𝑟𝑟 e que contém o ponto 𝑃𝑃. 
c) (1,2 pontos) Determine uma equação geral do plano 𝜋𝜋 que contém as retas 𝑟𝑟 e 𝑠𝑠. 
 
Questão 2 (3,0 pontos) 
Seja 𝑇𝑇:𝑅𝑅2 → 𝑅𝑅2 a transformação linear dada por 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦, 4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦). 
 
a) (1 ponto) Determine [𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶, a matriz de 𝑇𝑇 na base canônica de 𝑅𝑅2. 
b) (1 ponto) Encontre os autovalores e os autovetores de 𝑇𝑇. 
c) (1 ponto) Encontre a única solução do sistema diferencial 𝑋𝑋´(𝑡𝑡) = [𝑇𝑇]𝑐𝑐𝐶𝐶𝐶𝐶 .𝑋𝑋(𝑡𝑡), que verifica as 
condições iniciais 𝑋𝑋(0) = (3,6), onde 𝑋𝑋(𝑡𝑡) = (𝑥𝑥(𝑡𝑡),𝑦𝑦(𝑡𝑡)) e 𝑥𝑥,𝑦𝑦:𝑅𝑅 → 𝑅𝑅 são funções de classe 𝐶𝐶1. 
 
Questão 3 (3 pontos) 
Para cada uma das afirmações abaixo, responda se ela é verdadeira (V) ou falsa (F). 
 
a) (0,6 ponto) Todo conjunto L.I. com 3 vetores em 𝑅𝑅3 é uma base para 𝑅𝑅3. 
b) (0,6 ponto) Se 𝐴𝐴 = {𝑢𝑢1,𝑢𝑢2,𝑢𝑢3,𝑢𝑢4} é um conjunto L.I. de vetores de um espaço vetorial 𝑈𝑈, então 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑈𝑈 < 4. 
c) (0,6 ponto) Se 𝑇𝑇:𝑈𝑈 → 𝑉𝑉 é uma aplicação linear, então 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑈𝑈 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑉𝑉. 
d) (0,6 ponto) Se 𝐴𝐴 é uma matriz diagonalizável, então 𝐴𝐴 é simétrica. 
e) (0,6 ponto) Se 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐴𝐴 é um paralelogramo, então sua área pode ser dada por �𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ ∧ 𝐴𝐴𝐶𝐶�����⃗ �. 
 
Questão 4 (2,5 pontos) 
Sejam a reta 𝑟𝑟:𝑋𝑋 = (1,2,1) + 𝛽𝛽(1,−1,1),𝛽𝛽𝛽𝛽𝑅𝑅 e o plano 𝜋𝜋: 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 4. 
 
a) (1,5 ponto) Mostre que a reta 𝑟𝑟 é paralela ao plano 𝜋𝜋. 
b) (1 ponto) Calcule a distância da reta 𝑟𝑟 ao plano 𝜋𝜋. 
 
 
 
CÓDIGO DA PROVA 
GABARITO 
 
curso: Engenharia de Produção bimestre: 3o bimestre P4 
 
 
disciplina Geometria Analítica e Álgebra Linear NOTA (0-10): 
 
 
Pontuação e Critério de correção da Prova de GAAL 
 
Em função da não inclusão de fórmulas nas provas de GAAL, o critério de correção foi alterado a fim de não 
prejudicar os alunos que esperavam encontrar tais fórmulas impressas nas provas. 
 
Houve alteração apenas na pontuação das questões. 
 
A pontuação máxima da prova deve ser de 10 pontos, mesmo qua a soma das pontuações de cada uma 
das questões ultrapassem a esse valor. Dessa forma a prova pode somar até 11,5 pontos, mas sua 
pontuação máxima é de 10 pontos e assim nenhum aluno será prejudicado, pois quem não lembrava das 
fórmulas pode obter a pontuação máxima sem fazer os itens (1a e 4b) onde poderiam ser utilizadas estas 
fórmulas. 
 
 
Questão 1 
OBS: a pontuação máxima desta questão deve ser de 2,5 pontos, mesmo qua a soma das pontuações de 
cada um de seus itens ultrapassem a esse valor. 
 
 
a) Seja 𝐴𝐴 = (1,0,0) ∈ 𝑟𝑟, assim 𝐴𝐴𝑃𝑃�����⃗ = (2,1,2)− (1,0,0) = (1,1,2). 
Denotando por 𝑟𝑟 = (1,1,0), que é um vetor com a direção da reta 𝑟𝑟, temos 
𝑑𝑑(𝑃𝑃, 𝑟𝑟) = �𝐴𝐴𝑃𝑃�����⃗ ˄𝑟𝑟����⃗ �
‖𝑟𝑟‖
 
Vamos calcular 𝐴𝐴𝑃𝑃�����⃗ ˄𝑟𝑟 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 �𝚤𝚤 𝚥𝚥 𝑘𝑘�⃗1 1 21 1 0� = (−2,2,0), assim �𝐴𝐴𝑃𝑃�����⃗ ˄𝑟𝑟� = √8 = 2√2 
Como 𝑟𝑟 = (1,1,0) temos que ‖𝑟𝑟‖ = √2, logo 𝑑𝑑(𝑃𝑃, 𝑟𝑟) = 2√2
√2
= 2. 
 
b) Como 𝑠𝑠 deve conter o ponto 𝑃𝑃, sua equação é da forma 𝑋𝑋 = 𝑃𝑃 + 𝛼𝛼𝑠𝑠, onde o vetor 𝑠𝑠 é de tal forma que as 
retas sejam perpendiculares. Para isso, vamos encontrar um ponto 𝑄𝑄 ∈ 𝑟𝑟 tal que 𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ ⊥ 𝑟𝑟, basta escolher 
𝑠𝑠 como qualquer múltiplo, não nulo, de 𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ . 
Se 𝑄𝑄 ∈ 𝑟𝑟, 𝑄𝑄 = (1 + 𝛽𝛽,𝛽𝛽, 0) para algum 𝛽𝛽 ∈ 𝑅𝑅, assim 𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ = (1 + 𝛽𝛽,𝛽𝛽, 0)− (2,1,2) = = (𝛽𝛽 − 1,𝛽𝛽 − 1,−2). 
 
𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ ⊥ 𝑟𝑟 ⟺ 𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ . 𝑟𝑟 = 0 ⟺ (𝛽𝛽 − 1,𝛽𝛽 − 1,−2). (1,1,0) = 𝛽𝛽 − 1 + 𝛽𝛽 − 1 = 0 ⟺ 𝛽𝛽 = 1, 𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ = (0,0,−2) 
 Assim, uma possível equação para a reta 𝑠𝑠 é: 
𝑠𝑠:𝑋𝑋 = (2,1,2) + 𝛼𝛼(0,0,−2),𝛼𝛼 ∈ 𝑅𝑅 (escolhi 𝑠𝑠 = 𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ ). 
 
 
c) 1º Modo: 
Um vetor 𝑛𝑛�⃗ , normal ao plano 𝜋𝜋, é dado por: 
𝑛𝑛�⃗ = 𝑟𝑟˄𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 �𝚤𝚤 𝚥𝚥 𝑘𝑘�⃗1 1 00 0 −2� = (−2,2,0) 
Assim, 𝜋𝜋 tem uma equação geral da forma −2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 𝑑𝑑 = 0 
Como 𝑃𝑃 ∈ 𝜋𝜋 ⇒ −2.2 + 2.1 + 𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑 = 2 
Logo, uma equação geral do plano 𝜋𝜋 é: 
𝜋𝜋:−2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 2 = 0 
(Ou qualquer outra equação obtida desta, quando multiplicamos todos os seus coeficientes por um 
mesmo número real não nulo) 
 
2º Modo: 
 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 �
2 − 𝑥𝑥 1 − 𝑦𝑦 2 − 𝑧𝑧1 1 01 1 2 � = 0 ⟺ 2(2 − 𝑥𝑥)− 2(1 − 𝑦𝑦) + 0(2 − 𝑧𝑧) = 0 ⟺−2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 2 = 0. 
(Ou qualquer outra equação obtida desta, quando multiplicamos todos os seus coeficientes por um 
mesmo número real não nulo) 
 
 
 
Questão 2 
 
a) Vamos calcular 𝑇𝑇 nos vetores da base canônica de 𝑅𝑅2. 
𝑇𝑇(1,0) = (2,4) e 𝑇𝑇(0,1) = (−1,−3), logo [𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = �2 −14 −3�. 
 
b) Vamos calcular os autovalores de 𝑇𝑇. 
 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 �2 − 𝑡𝑡 −14 −3 − 𝑡𝑡� = (2 − 𝑡𝑡)(−3 − 𝑡𝑡) + 4 = 0 ⇒ 𝑡𝑡2 + 𝑡𝑡 − 2 = 0 ⇒ � 𝑡𝑡 = 1𝑡𝑡 = −2. 
Vamos agora calcular os autovetores de 𝑇𝑇. 
𝑉𝑉(1): 
�2 −14 −3� �𝑥𝑥𝑦𝑦� = 1. �𝑥𝑥𝑦𝑦� ⇒ � 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥, logo 𝑉𝑉(1) = [(1,1)]. (Ou qualquer vetor não nulo 
múltiplo deste, ou seja, com as duas coordenadas iguais) 
𝑉𝑉(−2): 
�2 −14 −3� �𝑥𝑥𝑦𝑦� = −2. �𝑥𝑥𝑦𝑦� ⇒ � 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = −2𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥, logo 𝑉𝑉(−2) = [(1,4)]. (Ou qualquer vetor não 
nulo múltiplo deste, ou seja, em que a 2ª coordenada é quatro vezes a 1ª coordenada) 
 
c) O sistema diferencial 𝑋𝑋´(𝑡𝑡) = [𝑇𝑇]𝑐𝑐𝐶𝐶𝐶𝐶 .𝑋𝑋(𝑡𝑡) é então 𝑆𝑆: �𝑥𝑥´(𝑡𝑡)𝑦𝑦´(𝑡𝑡)� = �2 −14 −3� . �𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑦𝑦(𝑡𝑡)�, ou seja, 
𝑆𝑆: � 𝑥𝑥´(𝑡𝑡) = 2𝑥𝑥(𝑡𝑡)− 𝑦𝑦(𝑡𝑡)
𝑦𝑦´(𝑡𝑡) = 4𝑥𝑥(𝑡𝑡)− 3𝑦𝑦(𝑡𝑡) com a condição inicial 𝑋𝑋(0) = (3,6). 
 
Por a) e b) temos a solução geral: 
𝑋𝑋(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑡𝑡(1,1) + 𝑏𝑏𝑑𝑑−2𝑡𝑡(1,4) ⇔ � 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑏𝑏𝑑𝑑−2𝑡𝑡
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑡𝑡 + 4𝑏𝑏𝑑𝑑−2𝑡𝑡, impondo as condições iniciais: 
 
�
𝑥𝑥(0) = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 3
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎 + 4𝑏𝑏 = 6 ⇒ �𝑎𝑎 = 2𝑏𝑏 = 1 
 
Assim, a solução procurada é: 
�
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 2𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑑𝑑−2𝑡𝑡
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 2𝑑𝑑𝑡𝑡 + 4𝑑𝑑−2𝑡𝑡 
OBS: No item c) não importa qual autovetor seja escolhido: a resposta é sempre a mesma. 
 
Questão 3 
 
a) V 
b) F 
c) F 
d) F 
e) V 
 
Questão 4 
 
a) Seja 𝑟𝑟 = (1,−1,1) um vetor com a direção da reta 𝑟𝑟 e 𝑛𝑛�⃗ = (2,1,−1) um vetor normal ao plano 𝜋𝜋, 𝑟𝑟 ⫽ 𝜋𝜋 ⟺
𝑟𝑟 ⊥ 𝑛𝑛�⃗ ⟺ 𝑟𝑟.𝑛𝑛�⃗ = 0. Temos 𝑟𝑟.𝑛𝑛�⃗ = 1.2 + (−1).1 + 1. (−1) = 0, logo 𝑟𝑟 ⫽ 𝜋𝜋. 
 
b) Como 𝑟𝑟 ⫽ 𝜋𝜋, 𝑑𝑑(𝑟𝑟,𝜋𝜋) = 𝑑𝑑(𝐴𝐴,𝜋𝜋), onde 𝐴𝐴 é um ponto qualquer da reta 𝑟𝑟. Seja 𝐴𝐴 = (1,2,1) ∈ 𝑟𝑟. Assim temos: 
𝑑𝑑(𝑟𝑟,𝜋𝜋) = 𝑑𝑑(𝐴𝐴,𝜋𝜋) = |2.1 + 1.2 + (−1).1 − 4|
�22 + 12 + (−1)2 = 1√6 = √66