Vibracoes04 rev2017

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Professor: Leonardo Ferreira Lopes
Universidade do Oeste de Santa Catarina (UNOESC)
Engenharia Mecânica
Vibrações Mecânicas
Unidade 4: Vibrações Forçadas
Universidade do Oeste de Santa Catarina Vibrações Mecânicas
Unidade 4: Vibrações Forçadas Não Amortecidas e Amortecidas SMV 1 GL
Vibrações Forçadas
• Se fornece uma energia externa ao sistema durante a
vibração. Esta energia externa pode ser proveniente de uma
força aplicada ou pela imposição de um deslocamento.
• Natureza da excitação:
▪ Harmônica:
▪ Não harmônica, mas periódica;
▪ Não periódica ou aleatória.
( )
0( )
i tF t F e  
0( ) cos( )F t F t  
0( ) sen( )F t F t  
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Unidade 4: Vibrações Forçadas Não Amortecidas e Amortecidas SMV 1 GL
Equação do Movimento
( )mx cx kx F t   ( ) ( ) ( )h px t x t x t 
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Unidade 4: Vibrações Forçadas Não Amortecidas e Amortecidas SMV 1 GL
Equação do Movimento
• Soluções para um caso típico.
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Eq. Do Movimento: Sistema Não Amortecido
• Equação do movimento
𝑚 ሷ𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹0cos(𝜔𝑡)
A solução homogênea desta equação é dada por:
𝑥ℎ 𝑡 = 𝐶1 cos 𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2sen(𝜔𝑛𝑡)
A solução particular desta equação é dada por:
𝑥𝑝 𝑡 = 𝑋𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
Substituindo a sol. Particular, na equação do movimento, obtém-se:
𝑋 =
𝐹0
𝑘 −𝑚𝜔2
=
𝛿𝑠𝑡
1 −
𝜔
𝜔𝑛
2 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛿𝑠𝑡 = 𝐹0/𝑘
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Eq. Do Movimento: Sistema Não Amortecido
Finalmente, a solução geral é dada por:
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Eq. Do Movimento: Sistema Não Amortecido
• Resposta Total do Sistema: Sol. Homog.+Sol. Permanente.
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Eq. Do Movimento: Sistema Não Amortecido
Fator de amplificação:
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Eq. Do Movimento: Sistema Não Amortecido
A análise do gráfico anterior aponta para 3 tipos de resposta do
sistema.
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Eq. Do Movimento: Sistema Não Amortecido
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Eq. Do Movimento: Sistema Não Amortecido
• Caso 2
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Eq. Do Movimento: Sistema Não Amortecido
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Eq. Do Movimento: Sistema Não Amortecido
• Caso 3
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Eq. Do Movimento: Sistema Não Amortecido
• Se 𝜔 for próximo de 𝜔𝑛, mas não igual, existe o fenômeno 
do batimento.
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Problema 3.1
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Problema 3.11
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Problema 3.12
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Problema 3.12
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Problema 22.49 (Hibeller Dinâmica 12ª ed.)
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Problema 22.50 (Hibeller Dinâmica 12ª ed.)
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Eq. Do Movimento: Sistema Amortecido
• Equação do movimento
𝑚 ሷ𝑥 + 𝑐 ሶ𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹0cos(𝜔𝑡)
A solução homogênea desta equação, considerando um
amortecimento viscoso subamortecido, é a mesma daquela obtida para
vibrações livres com amortecimento viscoso subamortecido, ou seja:
𝑥ℎ 𝑡 = X0e
−𝜉𝜔𝑛𝑡cos(𝜔𝑑𝑡 − 𝜙0)
A solução particular desta equação é dada por:
𝑥𝑝 𝑡 = 𝑋𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜙)
A solução geral desta equação é dada por:
𝑥 𝑡 = X0e
−𝜉𝜔𝑛𝑡cos 𝜔𝑑𝑡 − 𝜙0 + 𝑋𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜙)
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Eq. Do Movimento: Sistema Amortecido
Onde 𝑋 𝑒 𝜙 são obtidos substituindo a sol. particular, na equação do
movimento:
𝑋 =
𝐹0
𝑘 −𝑚𝜔2 2 + 𝑐2𝜔2
=
𝛿𝑠𝑡
1 − 𝑟2 2 + (2𝜉𝑟)2
𝜙 = 𝑡𝑔−1
𝑐𝜔
𝑘 −𝑚𝜔2
= 𝑡𝑔−1
2𝜉𝑟
1 − 𝑟2
E 𝑋0 𝑒 𝜙0 são obtidos a partir das condições iniciais
𝑥0 = 𝑋0𝑐𝑜𝑠𝜙0 + 𝑋𝑐𝑜𝑠𝜙
ሶ𝑥0 = −𝜉𝜔𝑛𝑋0𝑐𝑜𝑠𝜙0 +𝜔𝑑𝑋0𝑠𝑒𝑛𝜙0 +𝜔𝑋𝑠𝑒𝑛𝜙
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Eq. Do Movimento: Sistema Amortecido
Força de excitação e resposta em regime permanente:
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Eq. Do Movimento: Sistema Amortecido
• Fator de amplificação
   
2 22
1
1 2st
X
r r
 

 
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Eq. Do Movimento: Sistema Amortecido
Para o fator de amplificação conclui-se que:
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Eq. Do Movimento: Sistema Amortecido
Para o fator de amplificação conclui-se que:
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Eq. Do Movimento: Sistema Amortecido
Ângulo de fase entre excit. e resp.
1
2
2
1
r
tg
r

     
 
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Para o ângulo de fase entre excitação e resposta conclui-se:
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Eq. Do Movimento: Sistema Amortecido
A representação gráfica da função de transferência é 
denominada função resposta em frequência (FRF). 
Denominações das funções resposta em frequência (FRF) mais 
usadas em vibrações:
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Exemplo 3.2 
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Enade 2014 – Questão 21
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Enade 2014 – Questão 21
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Enade 2011 – Questão 16
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Enade 2011 – Questão 16
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Problema 3.21
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Problema 3.25 
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Problema 3.29 
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Problema 3.38 
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Problema 22.8 (Hibeller Dinâmica 12ª ed) 
• Calcule também, desprezando o amortecimento.
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Problema 3.51 
𝑘 = 106𝑁/𝑚
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Problema 3.52 
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Eq. Do Movimento: Sistema Amortecido
• Det. Amortecimento: Banda Meia Potência 
10 100
140
120
100
80
60
Receptância x Freqüência 
Hz
G
an
h
o 
(d
B)
78.072
137.069
recep f( )
10010 f
3 dB
f1 f2
fn
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Problema 3.34