Notas de aula 1 - Trabalho e Energia Cinética

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Notas de Aula:
Aula 1- Trabalho e Energia Cinética. 
 
1.1 Energia 
 
Energia é uma grandeza escalar associada a um ou mais estados da 
matéria. Não é possível descrever claramente o significado dessa grandeza 
física, a palavra vem do grego e significa trabalho. A explicação que pode colocar 
algum sentido nessa grandeza seria que energia está associada a capacidade 
de qualquer corpo de produzir trabalho, ação ou movimento. 
Existem diversos tipos de energia, nós estudaremos as energias: 
 Cinética (associada ao movimento de corpos), 
 Potencial Gravitacional (associada a altura ou gravidade), 
 Potencial Elástica (referente a sistemas de molas), 
 Trabalho (referente a uma força atuando num corpo). 
A unidade utilizada para denotar energia é o JOULE (J). 
 
1.2. Trabalho (W) 
 
Trabalho de uma força é definido matematicamente como sendo: 
𝑊 = 𝐹. 𝑐𝑜𝑠𝜃. ∆𝑥 (1.1) 
Ou seja, podemos definir o trabalho como sendo o deslocamento 
causado por uma força quando aplicada a um corpo. 
O trabalho é mais bem escrito como sendo um produto escalar entre os 
vetores força e deslocamento, ou seja: 
𝑊 = 𝑭.̅ ∆𝒙̅̅̅̅ (1.2) 
Como é sabido, esse produto escalar entre dois vetores é dado pelo 
produto do módulo desses dois vetores e o cosseno do ângulo formado por 
eles: 
�̅�. �̅� = 𝐴. 𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝜃 (1.3) 
Notas de Aula:
Portanto a equação 1.2 se torna a equação 1.1 a qual iremos trabalhar 
mais diretamente. 
A unidade de medida pode ser encontrada analisando cada um dos 
termos da equação 1.1: 
𝑊 = 𝐹[𝑁]. 𝑐𝑜𝑠𝜃. ∆𝑥[𝑚] 
𝑊 = [𝑁. 𝑚] = [ 𝐽 ] (1.4) 
 
Exercícios Resolvidos 
1.1 - (Exemplo resolvido Tipler 
capítulo 6). Uma força de 12 
N é exercida sobre uma caixa 
a um ângulo de 20o como 
mostrado n figura ao lado. 
Qual é o trabalho realizado 
pela força quando a caixa se 
locomove por uma mesa a 
uma distância de 3 m? 
Resolução: 
Os dados fornecidos pelo enunciado são: 
F=12 N 
θ=20° 
∆x=3 m 
W=? 
Nós vimos que o trabalho pode ser calculado pela equação 1, portanto: 
W=F.cosθ.∆x 
W=12.cos20°.3 
W=33,8 J 
1.3 Trabalho de uma Força Variável: 
Quando temos uma força variável, utilizamos a equação: 
𝑊 = ∫ 𝐹𝑥 𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
 (1.5) 
Que nada mais é do que calcularmos a área abaixo do gráfico formado 
pela força e o deslocamento. 
Notas de Aula:
 
Exercícios Resolvidos 
1.2 - (Exemplo resolvido 6.4 Tipler) - Uma força Fx 
varia com x conforme mostrado na figura ao 
lado. Determine o trabalho realizado por essa 
força sobre uma partícula ao se mover de x=0 
até x=6 m. 
Resolução: 
O trabalho realizado será a integral dado pela 
equação 5, portanto será numericamente igual a área. 
A área A1 é: 
𝐴1 = 𝑏. ℎ 
𝐴1 = 4 . 5 = 20 𝐽 
A área A2: 
𝐴2 =
𝑏. ℎ
2
 
𝐴2 =
2 . 5
2
= 5 𝐽 
Portanto o trabalho total realizado será: 
𝐴𝑇 = 𝐴1 + 𝐴2 
𝐴𝑇 = 20 + 5 = 25 𝐽 
1.3 - A força F̅=(3x2N)î+(4 N)ĵ, com x em metros, age sobre uma partícula. Qual 
é o trabalho realizado sobre a partícula quando ela se desloca das 
coordenadas (2m, 3 m) para (3 m, 0 m)? 
Resolução: 
Notas de Aula:
Aqui temos uma força variável, portanto devemos utilizar a equação 5: 
𝑊 = ∫ 𝐹𝑥 𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
 
Onde vamos substituir os respectivos valores, 
𝑊 = ∫ 3𝑥2𝑖̂ + 4𝑗̂ 
Como nós temos duas direções, temos duas integrais: 
𝑊 = ∫ 3𝑥2𝑖̂ + ∫ 4𝑗̂
𝑦2
𝑦1
𝑥2
𝑥1
 
𝑊 = ∫ 3𝑥2𝑖̂ + ∫ 4𝑗̂
0
3
3
2
 
𝑊 =
3
3
𝑥3|
2
3
+ 4𝑦 |
3
0
 
𝑊 = 𝑥3|2
3 + 4𝑦|3
0 
𝑊 = (27 − 8) + (0 − 12) 
𝑊 = 19 − 12 
𝑊 = 7 𝐽 
 
1.4 Energia cinética (Ec ou K) 
 A energia cinética (K ou Ec) é a energia associada ao movimento de 
corpos, quando maior a velocidade de um corpo maior sua energia cinética. 
𝐸𝑐 =
1
2
𝑚𝑣2 (1.6) 
Sua variação será dada por: 
∆𝐸𝑐 =
1
2
𝑚𝑣𝑓
2 −
1
2
𝑚𝑣𝑖
2 (1.7) 
 A energia cinética é definida como sendo a soma da mudança do 
momento linear de um corpo, ou seja: 
𝜌 = 𝑚𝑣 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 
𝐸𝑐 = ∫ 𝜌 𝑑𝑣 
Notas de Aula:
𝐸𝑐 = ∫ 𝑚𝑣 𝑑𝑣 
𝐸𝑐 =
1
2
𝑚𝑣2 
Exercícios Resolvidos 
 
1.4 (Exemplo resolvido 7.1 Halliday) - Em 1896, em Waco, Texas, Willian 
Crush posicionou duas locomotivas em extremidades opostas de uma linha 
férrea com 6,4 km de extensão, acendeu as caldeiras amarrou os 
aceleradores para que permanecessem acionados e fez com que as 
locomotivas sofressem uma colisão frontal, em alta velocidade, diante de 
30000 espectadores. Centenas de pessoas foram feridas pelos destroços; 
várias morreram. Supondo que cada locomotiva pesava 1,2 x 106 N e tinha 
uma aceleração constante de 0,26 m/s2, qual era a energia cinética das duas 
locomotivas imediatamente antes da colisão? 
Resolução: 
Os dados fornecidos são: 
𝑃 = 1,2 𝑥 106 𝑁 cada uma. 
𝑎 = 0,26
𝑚
𝑠2
 
∆𝑆 = 6,4/2 𝑘𝑚 = 3200 𝑚 
Para calcularmos a energia cinética utilizamos a equação 1: 
𝐸𝑐 =
1
2
𝑚𝑣2 
Precisaremos encontrar a massa e a velocidade das locomotivas. Primeiramente 
vamos encontrar a velocidade, sabemos que a aceleração é constante, portanto 
podemos utilizar a equação da velocidade para o MRUV: 
𝑣2 = 𝑣0
2 + 2𝑎∆𝑆 
𝑣2 = 0 + 2 ∗ 0,26 ∗ 3200 
𝑣 = 40,8 𝑚/𝑠 
Para encontrar a massa, basta lembrarmos que o peso de um corpo é dado pelo 
produto entre sua massa e a aceleração da gravidade: 
𝑃 = 𝑚𝑔 
Notas de Aula:
𝑚 =
𝑃
𝑔
 
𝑚 =
1,2 𝑥 106
9,8
 
𝑚 = 1,22 𝑥 105 𝑘𝑔 
Agora para encontrarmos a energia cinética de cada locomotiva basta substituir 
na equação 1: 
𝐸𝑐 =
1
2
∗ 1,22 𝑥 105 ∗ 40,82 
𝐸𝑐 = 1,0 𝑥 10
8 𝐽 
Como foram duas locomotivas temos que multiplicar por 2 para encontrarmos a 
energia total antes do choque. 
 
Exercícios Fixação: 
 
1.5 (Exemplo resolvido 6.1 Tipler) – Um caminhão de 3000 kg deve ser 
embarcado em um navio por meio de um guindaste que exerce uma força 
de 31 kN para cima sobre o veículo. Essa força, suficiente para vencer a 
força gravitacional e fazer com que o caminhão comece a subir, atua ao 
longo de uma distância de 2 m. Determine (a) o trabalho realizado pelo 
guindaste e (b) o trabalho realizado pela força gravitacional. 
Resolução: 
Os dados fornecidos pelo enunciado são: 
mg=3000 kg 
Fapl=31 kN=31000 N 
∆x=2 m 
Aos trabalhos de cada força podem ser calculados 
separadamente. 
a) O trabalho realizado pelo guindaste é devido a força que ele 
exerce. O ângulo entre a força e o deslocamento é de zero grau já 
que os dois estão na mesma direção e sentido como mostrado ao 
lado. Portanto o trabalho será: 
Wapl=31000.cos0°.2 
Notas de Aula:
W=62000 J 
Ou: 
W=62 kJ 
(a) Para calcularmos o trabalho da força gravitacional ou força peso, 
primeiramente calculamos a força peso devido a massa do veículo: 
Fg=m.g 
Fg=3000 . 9,8 
Fg=29400 J 
Ou 
Fg=29,4 kJ 
Substituindo o valor da força encontrado e o ângulo que nesse caso é 
de 180o, pois o peso e o deslocamento estão em sentidos opostos, 
temos que o trabalho será: 
W= 29400.cos180°.2 
W= -58800 J 
Ou 
W= -58,8 kJ 
 
1.6 (01- Halliday) Em 10 de agosto de 1972 um grande meteorito atravessou a 
atmosfera sobre o oeste dos Estados Unidos e do Canadá como uma pedra 
que ricocheteia na água. A bola de fogo resultante foi tão forte que pôde ser 
vista à luz do dia, e era mais intensa que o rastro deixado por um meteorito 
comum. A massa do meteorito era de aproximadamente 4x106 Kg; sua 
velocidade cerca de 15 km/s. Se tivesse entrado verticalmentena atmosfera 
terrestre ele teria atingido a superfície da Terra com aproximadamente a 
mesma velocidade. a) Calcule a perda de energia cinética do meteorito que 
estaria associada ao impacto vertical. b) Expresse a energia como um 
múltiplo da energia explosiva de 1 megaton de TNT que é 4,2x1015 J. c) A 
energia associada à explosão da bomba atômica de Hiroshima foi 
equivalente a 13 quilotons de TNT. A quantas bombas de Hiroshima o 
impacto do meteorito seria equivalente? 
 
Notas de Aula:
Resolução: 
 Os dados fornecidos foram: 
m = 4x106 Kg 
v= 15 km/s 
Primeiramente vamos colocar as unidades no SI: 
v= 15 km/s = 15*1000 m/s = 15x103 m/s 
a) A mudança na energia cinética do meteorito é dada pela variação de sua 
energia cinética: 
∆𝐾 = 𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 = −𝐾𝑖 = −
1
2
𝑚𝑖𝑣𝑖
2 =
1
2
4𝑥106 ∗ (15𝑥103)2 = −5𝑥1014 𝐽 
O sinal negativo da energia significa que ela foi perdida. 
b) Para transformarmos em megatons, basta fazer uma regra de três e 
chegaremos em: 
∆𝐾 = −
5𝑥1014
4,2𝑥1015
= 0,1 𝑚𝑒𝑔𝑎𝑡𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑇𝑁𝑇 
c) O número de bombas equivalentes pode ser obtido dividindo a energia do 
meteorito pela energia da bomba, só que primeiramente temos que 
colocar as duas na mesma unidade, uma está em kilo e a outra em mega. 
Vamos passar o que está em mega para kilo simplesmente multiplicando 
por 1000: 
𝑁 =
0,1 ∗ 1000
13
= 8 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐻𝑖𝑟𝑜𝑠ℎ𝑖𝑚𝑎 
 
1.7 (04 - Halliday) Uma força F é aplicada a um corpo 
quando este se move em linha reta, sofrendo um 
deslocamento de 5 cm. O módulo de F é mantido 
constante, mas o ângulo Φ entre a força e o 
deslocamento pode ser escolhido. A figura ao lado 
mostra o trabalho W realizado por F sobre o corpo 
para valores de Φ dentro de um certo intervalo; 
W0=25 J. Qual é o trabalho realizado por F se Φ é igual a a) 64º e b) 147º? 
 
Notas de Aula:
Resolução: 
Os dados fornecidos foram: 
d= 5 cm 
W0=25 J 
a) O ângulo é de 64º. O trabalho pode ser calculado pela equação 1: 
𝑊 = 𝐹. 𝑐𝑜𝑠𝜃. ∆𝑥 
 
 
Bibliografia: 
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e ondas, 
termodinâmica. Vol. 1, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. ISBN: 9788521614623. 
 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física - mecânica. Vol. 1, 8ª ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2009. ISBN: 9788521616054.