1939_D

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Prof. Sérgio Ricardo de Brito Gadelha � PAGE �14�
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
I – Introdução:
Definição: Função é uma relação que associa a cada elemento de um conjunto domínio, um único elemento de um conjunto contra-domínio.
Exemplos:
f (x) = |x| : No conjunto dos números inteiros Z, a função f associa cada inteiro x a um único módulo |x| .
f (x) = 2x2 + 1 : A função f associa a cada real x um único valor 2x2 + 1.
Notação e terminologia:
A função f de domínio D e contra-domínio E denota-se f: D ( E
Se a função f associa x a y, y chama-se imagem de x e x a pré-imagem de y. Denota-se f: x ( y ou, simplesmente, f (x) = y.
O conjunto das imagens chama-se Conjunto Imagem. Denota-se Im(f).
Função vetorial: domínio e contra-domínio são espaços vetoriais.
Exemplo: A função f (x, y) = (2x, x – y, x + 2y) associa elementos de R2 aos de R3. 
Dessa forma, as funções ou aplicações onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais são chamados de funções vetoriais ou transformações vetoriais.
Assim, T: V ( W representará uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W.
Como T é uma função, cada 
 ( V tem um só vetor imagem 
 ( W, tal que T 
.
Definição: Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T : V(W é chamada linear de V em W se:
a) T(u + v) = T(u) + T(v)
b) T((u) = (T(u) para ( u, v ( V, u e v são vetores (elementos de um espaço vetorial); e ( ( ( R, ( um escalar qualquer
A transformação linear T é uma função vetorial tal que, para todo u, v e (, observa-se as duas condições citadas anteriormente.
T é chamado de operador linear quando V e W tem a mesma dimensão.
Obs:. Usaremos T.L. para nos referimos a uma transformações linear e, não colocaremos a “seta” em 
 e 
.
Interpretação geométrica: Uma transformação linear T transforma uma matriz diagonal em uma matriz diagonal. Além disso, uma transformação linear T mantém a proporcionalidade.
u, v: vetores (elementos de um espaço vetorial);
Como vetores, u e v podem ter coordenadas;
T(u) e T(v) também são vetores e também têm coordenadas;
Domínio e contra-domínio são implicitamente dados na definição da imagem genérica 
Exemplo:
F(x,y) = (x + 1, x + y) é uma transformação linear?
( Não: Seja x = (0,1) e y = (1,0): x + y = (0,1) + (1,0) = (1,1). 
Se F fosse uma transformação linear, teríamos de ter F(0,1) + F(1,0) = F(1,1). 
Mas F(0,1) = (1,1) , F(1,0) = (2, 1) e F(1,1) = (2,2) 
( F(0,1) + F(1,0) = (3,2) ( (2,2) = F(1,1)
Exemplo: 
Seja a transformação T: (2 ( (2 definida por T (x, y) = (x + y, y).
Fazendo 
= (1, 2) e 
= (3, 1), teremos:
T
= (3, 2); T
=(4,1) e T
 T (4, 3) = (7, 3)
Exemplo:
a) T: R( R b) T: R3( R
 T(x) = (x + 2) T(x,y,z) = (x + y + z) 
Exemplo.:
A transformação identidade I: V ( V tal que I 
 é linear, pois:
 
A transformação nula T: V ( W, f (v) = 0 é linear, pois
3 ) Seja a transformação T: (2 ( (2 : T (x, y) = (x, 2y). Sejam 
= (x1, y1) e 
 = (x2, y2). 
Se 
= (1, 2) e 
= (4, 1), teremos:
T
= (1, 4), T
= (4, 2) e T
= T (5, 3) = (5, 6) = T 
 + T
T
= T (2, 4) = (2, 8) = 2.(1, 4) = 2.T 
Observação:
Para reconhecer uma transformação linear, basta ver se cada coordenada da imagem gerada é uma expressão linear (combinação linear das variáveis livres).
Para provar que uma transformação é linear, é necessário verificar as condições genericamente (não se pode provar substituindo números nas expressões).
Já para provar que uma transformação não é linear, basta apresentar um contra-exemplo (um exemplo numérico para o qual não vale uma ou as duas propriedades).
Propriedades:
1ª) Se T : V ( W é uma T.L. então T 
, ou seja, a imagem do vetor 
 ( V é o vetor 
 ( W.
Esta propriedade decorre da condição ( ii ) da definição para ( = 0. Ou seja:
( ii ) 
2ª) Se T: V (W é uma T.L. e B = 
 é uma base de V, teremos:
T.(a1
+... + an
) = a1. T(
)+... +an.T.(
) , para ( a1,..., an ( (.
Esta propriedade decorre da definição de T.L., ou seja:
T.(a1
+ a2
+... +an
) = T(a1
)+ T.(a2
) +... +T.(an
)
 = a1.T(
) + a2T(
)+... + an.T.(
).
Como B = {
} é uma base para V, o conjunto{ T(
),...,T(
) } é uma base para a imagem da transformação.
Exemplo:
Seja a T.L. T: (2 ( (3 tal que T.(1, 1) = (2, -1, 1) e T(0, 1) = (0, 0, 1).
Determinar a Lei de Transformação (x, y).
B = { (1, 1), (0, 1) } é base do (2 pois a1(1, 1) +a2(0, 1) = (0, 0) ( 
a1 = a2 = 0, ou seja, 
= (1, 1) e 
= (0, 1) são L.I. Logo, todo vetor v ( (2 pode ser escrito como combinação linear de 
 e 
.
(x, y) = a1.(1, 1) +a2.(0, 1) ( 
Assim:
 (x, y) = x.(1, 1) +(y – x).(0, 1) e, 
T.(x, y) = x.T.(1, 1) + (y – x).T.(0, 1)
 = x.(2, -1, 1) + (y – x). (0, 0, 1)
T.(x, y) = (2x, -x, y)
II - Núcleo e Imagem de uma Transformação.
Núcleo : Seja a transformação linear T: V(W, núcleo é o conjunto de todos os vetores v ( V que são transformados em 0 ( W:
N(T) ou Ker (T) = {v ( V/ T(v) = 0}
OBS. O núcleo de uma transformação T: V(W é um subespaço de V.
O núcleo, ou Kernel, de T é o subconjunto de V definido por:
 Ker (T) = N (T) = { 
 ( V ; T (
) = 
 }
Imagem: Chama-se imagem de uma transformação T: V(W ao conjunto de vetores w ( W que são imagens de pelo menos um vetor v ( V.
Im(T) = {w ( W / T(v) = w para algum v ( V}.
A imagem de T é o subconjunto de W definido por Im (T) = { 
 ( W; T(
) = 
, para algum 
 ( V }
Exemplo:
1. Dada a transformação T indique N(T) e Im(T).
T:R2(R2
(x, y) ( (x + y, x - y)
Exemplo:
Seja a transformação linear T: (2 ( (2 definida por T(x, y) = (x +2y, 2x +4y). Determine o núcleo e a imagem da T.L.
Núcleo: Devemos ter T.(
) = 
. Logo,
 (x +2y, 2x +4y) = (0, 0) ( 
 
N (T) = { (-2y, y); y ( ( }; dim N (T) = 1 e, uma base para o núcleo pode ser B = { (-2, 1) }.
Imagem: T (
)=
. Seja 
= (a, b), temos:
 (x +2y, 2x +4y) = (a, b)
 x + 2y = a (-2) x +2y = a 
 2x +4y = b 0 + 0 = -2a +b ( b = 2a
Logo, Im (T) = { (a, 2a); a ( ( } = {a.(1, 2); a (( }
dim Im (T) = 1 e uma base { (1, 2) }.
Exemplo:
Seja T: (3 ( (3; T (x, y, z) = (x + 2y –z, y + 2z, x +3y +z).
Determinar o núcleo de T, a dimensão do núcleo e uma de suas bases;
Determinar a imagem de T, a dimensão e uma de suas bases.
a) N (T) = ? T (
) = 
 x +2y –z = 0 (-1) x + 2y –z = 0
 y +2z = 0 y + 2z = 0 (-1)
 x +3y +z = 0 0 + y + 2z = 0 
y = -2z ( x – 4z – z = 0 ( x = 5z
N (T) = { (5z, -2z, z) ; z ( ( } = { z (5, -2, 1); z ( ( }
 Dim N = 1 ; Base = { (5, -2, 1) }
b) Im (T) = ?
 (a, b, c) ( Im (T) se existe (x, y, z) ( (3 tal que:
 (x +2y –z, y +2z, x +3y +z) = (a, b, c)
ou x + 2y –z = a (-1) x + 2y –z = a x + 2y –z = a
 y + 2z = b y + 2z = b (-1) y + 2z = b
 x + 3y + z = c y + 2z = -a + c 0 = -b –a + c
ou c = a + b
 Im (T) = { (a, b, a +b) : a, b ( ( }
 = { (a, 0, a) + (0, b, b) ; a, b ( ( }
 = { a (1, 0, 1) + b (0, 1, 1) ; a, b (( }. Fazenso a = b = 1, temos
 Base = { (1, 0, 1), (0, 1, 1) } e dim Im (T) =2. 
Exemplo:Seja T : (3 ( (3 uma T.L. e B + { 
= (0, 1, 0), 
=(1, 0, 1), 
= (1, 1, 0) } uma base do (3. Sabendo que T (
) = (1, -2), T (
) = (3, 1) e T ( 
) = ( 0, 2), determinar:
A lei T. (x, y, z)
O Ker T
A Im T
Como B é uma base de (3, temos:
(x, y, z) = a.(0, 1, 0) + b.(1, 0, 1) + c. (1, 1, 0)
 b + c = x
 a + c = y Temos: b = z; c = x – z e a = -x + y +z 
 b = z
 
 Então:
(x, y, z) = (-x + y + z).(0, 1, 0) + z (1, 0, 1) + (x – z ). (1, 1, 0)
Aplicando T, temos:
T (x, y, z) = ( -x + y + z) T (0, 1, 0) + z T (1, 0, 1) + (x – z) T (1, 1, 0)
 = (-x + y + z) (1, -2) + z (3, 1) + (x – z) (0, 2)
 = (-x + y + z, 2x – 2y – 2z) + (3z, z) + (0, 2x – 2z)
 = (-x + y + 4z, 4x – 2y –3z )
Núcleo: T (v) = 
 
(-x + y + 4z, 4x – 2y – 3z) = (0, 0)
 -x + y + 4z = 0 (2) -x + y + 4z = 0
 4x – 2y – 3z = 0 2x + 0 + 5z = 0 ( x = 
+ y + 4z = 0 ( 5z + 2y + 8z = 0 ( 
N (T) = { 
z ( ( } = { z 
; z ( ( }
Base = { (
 }
Imagem: T (
) = 
(-x + y + 4z, 4x – 2y – 3z ) = (a, b)
 -x + y + 4z = a
 4x – 2y – 3z = b
 
III - Operadores inversíveis
	Quando o operador linear T admite a inversa T-1, diz-se que T é inversível.
Exemplos . 
1. Seja o operador linear em R2 definido por:
T(x,y) = (4x - 3y, -2x + 2y)
a) mostrar que T é inversível;
b) Encontrar uma regra para T-1 como a que define T.
2. Seja o operador linear T: R2( R2, T(x,y) = (x, -y)
a) Demonstrar se T é inversível;
b) Determinar o operador inversível;
c) Fazer a verificação com os vetores v1 = (3, 2) e v2 = (5, -1).
III - Matriz de uma transformação linear
1. Uma matriz A(m x n) determina uma transformação linear TA :Rn (Rm, onde TA(v) = Av.
Seja a matriz: 
�. 
Essa matriz determina a transformação TA :R2 (R3 onde, v ( Av ou TA (v) = Av que é linear. Efetuando Av, onde v = (x,y) ( R2 é um vetor coluna 2 x 1.
 e portanto, TA é definida por:
TA (x,y) = (x + 2y, -2x+3y,4y)
2. É válido para seu inverso, isto é, um a transformação linear TA :Rn (Rm sempre pode ser representada por uma matriz m x n.
3. Para que possamos dar uma interpretação geométrica do significado de uma transformação linear, consideremos uma transformação linear no plano. Seja o operador linear 
T :R2 (R2 definido por:
T(x,y) = (-3x + y, 2x + 3y) e os vetores u = (-1,1) e v = (0,1) e suas transformações T(u) = (4,1) e T(v) = (1,3)
u+v é diagonal do paralelogramo determinada por u e v, sua imagem T(u + v) representa a diagonal do paralelogramo determinado por T(u) e T(v), isto é, T(u + v) = T(u) + T(v). T preserva a adição de vetores.
Propriedade: 
Uma transformação linear T:V ( W fica completamente definida quando se conhece uma base de V e as imagens dos vetores que formam essa base de V.
Demonstração:. Seja ( = {v1, v2} uma base qualquer do R2. Todo o vetor v = (x, y) ( base canônica de V pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores desta base ((), ou seja,
V = (x, y) = a(v1) + b(v2), onde “a” e “b” são as coordenadas de v na base (
Aplicando-se a T. L. sobre v, segue que:
T(v) = T(av1) + T(bv2)
T(x, y) = aT(v1) + bT(v2)
T(x, y) = aw1 + bw2
Ex. Determine a T. L. tal que T(1, -1) = (3, 2, -2) e T(-1,2) = (1, -1, 3)
IV – Transformações Lineares do R2 para o R2
a) Reflexão: 
*Em torno do eixo y *Em torno do eixo x
 T:R2 (R2 T:R2 (R2
u ( T(u) u ( T(u)
(x,y) ( (-x, y) (x,y) ( (x, -y)
� 
�
* Em torno da origem: *Em torno da reta y = x
T:R2 (R2 T:R2 (R2 
u ( T(u) u ( T(u) 
(x,y) ( (-x, -y) (x,y) ( (y, x)
� 
�
*Em torno da reta y = -x
T:R2 (R2
u ( T(u)
(x,y) ( (-y, -x) 
�
b) Dilatações e contrações.
T:R2 (R2
u ( T (u) = ( u
(x,y) ( ((x, y) ( ( R
� 
obs.
Se ((( > 1, T dilata o vetor;
Se ((( < 1, T contrai o vetor;
Se ( = 1, T é a identidade;
Se ( < 0, T troca o sentido do vetor;
Se ( = 0, T é uma projeção ortogonal sobre o eixo.
*Na direção do eixo x *Na direção do eixo y
T:R2 (R2 T:R2 (R2 ( > 0 
(x,y) ( ((x, y) ( > 0 (x,y) ( (x, (y)
� 
�
c) Cisalhamentos
*Na direção do eixo x (horizontal) *Na direção do eixo y (vertical)
T:R2 (R2 T:R2 (R2
(x,y) ( (x + (y, y) ( > 0 (x,y) ( (x, (x + y)
� 
�
d) Rotação (sentido anti-horário): A rotação do plano em torno da origem que faz cada ponto descrever um ângulo (, determina uma transformação linear T(: R2 (R2, cuja matriz canônica é:
T:R2 (R2 
T((x,y) = (x cos( - y sen( , x sen( + y cos()
[T(]: 
� matriz de rotação de um ângulo (, onde 0 ( ( ( 2(
V - Matriz de uma transformação linear em base não canônica
Se conhecemos uma base A = {v1, v2, ...,vn} de um espaço vetorial V de dimensão n, podemos escrever qualquer vetor v ( V como combinação linear desta base, assim:
v = x1v1 + x2v2+ . . . + xnvn
onde os escalares x1, x2,, . . . ,xn serão as coordenadas de v na base , ou seja:.
vA = 
Definição: Sejam T: V ( W uma transformação linear, A uma base de V e B uma base de W. Consideremos T: R2 ( R3, então A = {v1, v2} e B = {w1, w2, w3} bases de V e W. Um vetor v ( V, pode ser expresso como:
v = x1v1 + x2v2
ou
vA = (x1, x2)
onde x1, x2 são as coordenadas de v na base A
A imagem de v, T(v) será:
T(v) = y1w1 + y2w2 + y3w3 (1)
ou
T(v)B = (y1, y2, y3)
Por outro lado:
T(v) = T(x1v1 + x2v2), que podemos escrever na forma:
T(v) = x1T(v1) + x2T(v2) (2)
Sendo T(v1) e T(v2) vetores de W, eles são combinação linear de B:
T(v1) = a11w1 + a21w2 + a31w3 (3)
T(v2) = a12w1 + a22w2 + a32w3 (4)
Substituindo estes vetores em (2) vem: 
T(v) = x1(a11w1 + a21w2 + a31w3) + x2(a12w1 + a22w2 + a32w3)
ou
T(v) = (a11x1 + a12x2)w1 + (a21x1 + a22x2)w2 + (a31x1 + a32x2)w3
Comparando esta igualdade com (1) conclui-se que:
y1= a11x1 + a12x2
y2 = a21x1 + a22x2
y3 =a31x1 + a32x2
ou na forma matricial:
ou simbolicamente:
[T(v)]B = 
[v]A sendo 
 denominada matriz de T em relação as bases A e B
Observação: As colunas da matriz 
 são as componentes das imagens dos vetores da base A em relação a base B, conforme (3) e (4). Ou seja [ [T(v1)B] [T(v2)B] ]
VII – Matriz mudança de base
Queremos determinar a matriz 
, e para tanto tomamos o seguinte;
Sendo A e B bases quaisquer do R2 e C={(1, 0), (0, 1) a base canônica do R2, vem que:
= [v1 v2] = A e
 = [w1 w2] = B
Compondo as transformações, temos:
 = 
= 
�� EMBED Equation.3 = 
�� EMBED Equation.3 = B-1A
Tambémpodemos determinar a matriz mudança de base ou mudança de coordenadas, obtendo os vetores na base nova, que formarão as colunas de I, ou seja:
= [(v1)B (v2)B (v3)B]
Exemplo
Sejam as bases A = {v1, v2} onde v1 = (2, -1); v2 = (-1, 1)} e B = {w1, w2} onde w1 = (1,0), w2 = (2, 1)} bases do R2. Determinar a matriz de mudança de base de A para B. Calcular [v]B, sendo v=(4,3)
Aplicações da matriz de rotação.
T( = 
Transformando a base canônica do R2, temos:
T(1, 0) = (cos( , sen()
T(0, 1) = (-sen( , cos( )
Portanto a base P = { (cos( , sen(), (-sen( , cos( )} é obtida da base canônica C = {(1,0), (0,1)} pela rotação de um ângulo (. Assim a base C determina o sistema de coordenadas retangulares x0y, a base P determina também um sistema de coordenadas retangulares x´0y´ que provém do sistema x0y por meio da rotação de um ângulo (. Consequentemente, cada ponto R ou cada vetor v do plano possui coordenadas (x, y) em relação ao sistema x0y e (x´, y´) em relação ao sistema x´0y´.
Então, a matriz de rotação é uma matriz de mudança de base de P para C, isto é ,
Observação: Toda a matriz A que representa uma rotação tem detA = 1
Por exemplo, para uma rotação de 45º no sistema x0y, o vetor v = (4, 2) na base canônica será [v]P= (x´, y´) = (3
) na base P.
Bibliografia Recomendada
1. Simon, Carl & Blume, L. Matemática para Economistas. Tradução: Claus Ivo Doering. Porto Alegre: Bookman, 2004. 
2. braga, Márcio Bobik; KANNEBLEY JÚNIOR, Sérgio; ORELLANO, Verônica I.F. Matemática para economistas. São Paulo: Atlas, 2003.
3. Boldrini, José Luiz. Álgebra linear: 591 problemas resolvidos. 442 problemas suplementares. Ed. Harbra, 2004.
LIPSCHUTS, Algebra linear. Ed. PEARSON EDUCATION DO BRASIL LTDA, 2004
6. DAVID, C. Lay. Álgebra Linear e suas Aplicações. Editora: LTC, Rio de Janeiro, 1999. 
7. KOLMAN, Bernard. Introdução a Álgebra Linear com Aplicações. Ed. Prentice-Hall do Brasil, 2000. 
8.ANTON, Howard. Elementary Linear Algebra. 3a ed. John Wiley & Sons, 1981.
Recomendo que vocês exercitem seus conhecimentos na lista de exercícios referente ao “Ponto 49”.
Um forte abraço e até o nosso próximo encontro.
Serginho.
y
x
0
3
2
1
4
3
2
1
y
x
0
1
2
3
3
4
7
 T
T
� EMBED Equation.3 ���
V
W
N ( T)
Im T
 � EMBED Equation.3 ���
T
V
W
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