Estatística Aplicada à Engenharia de Produção

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Fonte: Bibliografia básica / complementar
Estatística Aplicada à 
Engenharia de Produção
Estas notas de aula foram elaboradas para compilar alguns tópicos estatísticos de várias obras,
tendo em vista o conteúdo programático da disciplina Estatística Aplicada à Engenharia de
Produção, ministrada para o curso de graduação em Engenharia de Produção do Centro
Universitário Estácio/UniSEB de Ribeirão Preto. Em particular, elas não contêm nenhum
material original e não substituem a consulta à respectiva bibliografia. Seu principal objetivo é
dispensar a necessidade de cópia do conteúdo desenvolvido em sala.
Centro Universitário Estácio de Ribeirão Preto, Fevereiro de 2019.
Ribeirão Preto.
ALGUNS GRÁFICOS DE CONTROLE PARA VARIÁVEIS - NOTAS DE AULA 01 – EP 4ºS
Prof.: Wagner Cavali
Estatísticas
2
A medição da variação associado a um dado processo produtivo,
foi pela primeira vez usado em 1920 quando Walter Shewhart
mostrou que a uma distância de 3 Sigma (3 desvios padrão) da
média o processo necessita de correção.
Origem do Seis Sigma
As raízes do 6 Sigma, datam do sec.XIX, com
Carl Frederich Gauss (1777-1855) que
introduziu o conceito de Curva Normal (ou
Curva de Gauss).
3
CEO significa Chief Executive Officer, em outras palavras O Chefe Executivo
Organizacional de uma corporação.
4
• A Metodologia 6 Sigma foi então desenvolvida nos Estados Unidos
pela Motorola com o objetivo de melhorar a qualidade dos seus
produtos.
• Como resultado da aplicação do 6 Sigma a Motorola ganhou em 1988 
o prêmio Malcom Baldridge de qualidade.
• Nota: O prémio Malcolm Baldrige, criado pelo Governo dos Estados
Unidos em 1987, pretende reconhecer as organizações que apresentam
um desempenho de excelência e visa promover a qualidade e a
satisfação dos clientes
5
CEP: Controle Estatístico do Processo
Deming, William Edwards, é considerado o “pai da qualidade”, e sua
abordagem é voltada ao uso de informações estatísticas e métodos. É conhecido
como o pai do renascimento industrial japonês após a segunda guerra mundial. É
dele a frase: “O que não pode ser medido, não pode ser gerenciado”.
Início formal do controle estatístico do processo deu-se por volta de 1924,
quando Walter A. Shewhart desenvolveu e aplicou os gráficos de controle na
empresa Bell Telephone.
Causas de variabilidade do processo:
Causas aleatórias: variabilidade natural do processo;
Causas especiais: problema ou modo de operação anormal do 
processo, ex: rompimento de um tubo, desajustes, etc.
6
MONITORAMENTO DO PROCESSO POR GRÁFICOS DE CONTROLE.
Etapa Inicial: Conhecendo, estabilizando e ajustando o processo.
Os gráficos de controle de e R, também conhecidos como gráficos da média e da amplitude,
servem para monitorar processos cuja característica de qualidade de interesse X seja uma grandeza
mensurável. Exemplos: o diâmetro de um eixo, o volume de leite de um saquinho, o teor de
carbono de uma liga metálica, o peso de um componente, etc.
Limites de controle tentativos: Antes de utilizar as cartas de controle percorre-se uma
etapa inicial, árdua, porém muito importante, de aprendizagem. É imprescindível conhecer o
processo, estabilizar e fazer os ajustes necessários. Segundo COSTA, EPPRECHT ECARPINETTI
(2004), o monitoramento só ocorrerá depois que o processo estiver sob controle. Procura-se
conhecer os fatores que afetam a característica de qualidade. Antes de construir as cartas de
controle, precisa-se identificar e eliminar as causas especiais que estão fazendo o processo sair do
controle. MONTGOMERY (2004) recomenda tomar 20 a 25 amostras, para construção dos limites
de controle tentativos, com o objetivo de testar se o processo está estável. Com os dados obtidos
nas amostras, constrói-se a carta de controle e se todos os pontos caem dentro dos limites
tentativos e não se observa nenhum comportamento sistemático, pode-se concluir que o processo
está sob controle e que os limites tentativos são apropriados para o processo em questão. Caso
ocorram um ou mais pontos fora dos limites tentativos, então a hipótese de que o processo está sob
controle é descartado. Logo se torna necessário examinar cada ponto fora dos limites e procurar-se
por uma causa especial. Se uma causa especial é identificada, o ponto é descartado e os limites de
controle tentativos são recalculados, usando apenas os pontos restantes. Esses pontos restantes são,
em seguida, reexaminados. Prossegue-se com este processo até que todos os pontos estejam sob
controle.
X
7
Geralmente, o monitoramento é realizado pela análise
periódica de amostras, por exemplo: a cada meia hora de
produção (h = 30 min), selecionam-se, aleatoriamente, cinco
saquinhos (n = 5), cujos volumes são medidos.
Subgrupos Racionais: Preconiza a retirada de pequenas
amostras a intervalos regulares de tempo.
X
Para cada amostra, é calculada a média dos valores medidos e a
amplitude amostral R (diferença entre o maior e o menor valores
da amostra).
Medidas de Dispersão: São importantes para se ter uma noção sobre a
variabilidade dos dados em estudo. As mais conhecidas são: amplitude,
desvio inter-quartílico, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
minmax XXA 
 Ignora como os dados estão distribuídos.
 Considera apenas dois valores (extremos) da série de dados.
Amplitude: medida de variabilidade mais fácil de se calcular.
8
Os valores de e R são inseridos nos gráficos da média e
amplitude, respectivamente. Estes gráficos possuem limites de
controle: um Limite Superior de Controle (LSC) e um Limite
Inferior de Controle (LIC). Enquanto os pontos nos gráficos vão
distribuindo-se aleatoriamente em torno da Linha Média (LM), não
se deve intervir no processo (causas aleatórias, intrínsecas ao
processo). Contudo, se um dos pontos cai na região de ação do
gráfico (acima do LSC ou abaixo do LIC), deve-se intervir no
processo , pois o afastamento excessivo desse ponto, em relação à
linha média, deve-se provavelmente, a alguma causa especial).
X
9
Os limites para o gráfico da média são calculados em função da
média e do desvio padrão do processo; os limites para o gráfico da
amplitude, apenas em função do desvio padrão. Portanto, o gráfico
da amplitude pode ser construído com o processo desajustado: basta
que ele esteja isento de causas especiais que afetem sua dispersão.
Isso porque um deslocamento  da média do processo provoca um
deslocamento  em todas as observações, fazendo com que a
dispersão das observações permaneça inalterada. O gráfico da
amplitude só é sensível a alterações que afetam a dispersão do
processo; portanto, não é afetado pelo deslocamento da média. Essa
é a razão pela qual começamos a construção dos gráficos de controle
com o gráfico da amplitude, pois, uma vez que esteja estabelecido, o
valor calculado de será uma estimativa muito confiável
do valor, em controle, do desvio padrão do processo.
2/ˆ dR
Construindo os Gráficos de Controle de e R
X
10
Diferentemente do gráfico da amplitude, o gráfico da média é afetado
tanto por causas especiais que alterem a média do processo, quanto por
causas especiais que afetem sua dispersão. Portanto, o gráfico da média só
pode ser construído quando o processo estiver isento de toda sorte de causas
especiais, ou seja, quando o processo estiver ajustado e estável. Por estes
motivos, fica claro que, quando da construção do gráfico da média, devemos
preocupar-nos apenas com a estimativa da média do processo, pois o desvio
padrão já terá sido estimado, na fase de construção do gráfico R.
11
Gráficos de Controle por Variáveis 
 
 Construindo os Gráficos de Controle de X e R 
 
 2R d
 3R d
R
Figura 3.16: Distribuição da amplitudeR
2/ˆ dRSD 
Estimador do desvio 
padrão do processo
12
2/ˆ dRSD 
RRR 3LSC   (3.9)
RRLM  (3.10)
RRR 3LIC   (3.11)
 2R d
 3R d
3.1 Construindo o Gráfico de Controle de R
m
R
R
m
i
i
 1
RDLSC 4
RDLIC 3
Temos os Limites para o gráfico R (simplificados):
13
𝐿𝑆𝐶𝑅 = ത𝑅 + 3 ො𝜎𝑅 = ത𝑅 + 3𝑑3
ത𝑅
𝑑2
Logo, definindo :
𝐿𝐼𝐶𝑅 = ത𝑅 − 3 ො𝜎𝑅 = ത𝑅 − 3𝑑3
ത𝑅
𝑑2
𝐷3 = 1 − 3
𝑑3
𝑑2
e
𝐷4 = 1 + 3
𝑑3
𝑑2
 
1iX 2iX 3iX 4iX 5iX iR 
1 1004.6 997.3 1003.0 1005.9 995.8 10.1 
2 1001.6 1008.6 997.9 1001.3 999.1 10.7 
3 999.1 992.6 1001.1 1001.6 1002.9 10.3 
4 1007.9 997.5 991.3 997.8 1000.8 16.5 
5 999.5 995.6 1004.3 995.6 991.4 13.0 
6 1003.3 996.8 997.2 993.6 1000.1 9.7 
7 999.7 1012.1 995.2 1001.8 1002.2 16.9 
8 1000.1 995.3 990.0 997.5 1003.2 13.2 
9 1004.3 1001.4 1001.6 999.1 996.4 7.9 
10 999.0 995.8 989.9 995.1 1002.8 12.9 
11 1003.2 1004.4 993.5 994.6 997.6 10.9 
12 996.2 1017.3 993.6 996.5 1003.7 23.7 
13 1014.0 1008.9 1004.1 1007.9 1000.7 13.3 
14 1002.2 996.6 1002.7 1004.2 1001.8 7.6 
15 998.3 997.5 1006.1 996.5 998.1 9.6 
16 995.8 1000.8 999.1 1002.5 1001.0 6.7 
 
3.1 Construindo o Gráfico de Controle de R
14
 
1iX
 
2iX
 
3iX
 
4iX
 
5iX
 
iR
 
17 1004.1 1003.0 1004.8 997.9 999.9 6.9 
18 1000.1 994.9 1000.1 1004.9 997.3 10.0 
19 1000.2 996.1 998.0 1006.1 999.4 10.0 
20 1002.3 999.0 1000.8 1000.7 998.0 4.3 
21 998.3 998.1 1004.2 1002.1 991.3 12.9 
22 997.1 1000.7 999.8 1000.6 1001.7 4.6 
23 1003.6 996.1 1001.4 998.0 991.8 11.9 
24 999.9 1006.4 1005.1 999.8 1003.0 6.6 
25 1007.3 999.8 992.5 996.2 998.2 14.8 
 
729,4326,2/0,11/ˆ 2  dRSD
0,111 


m
R
R
m
i
i
25 amostras (subgrupos racionais) de tamanho 5
(m = 25 e n = 5)
15
11,0
23,27
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
Número da Amostra
Am
pli
tud
e R
3.1 Construindo o Gráfico de Controle de R
Figura 3.1: Gráfico da Amplitude R
16
Cálculo utilizando-se os Limites para o gráfico R (simplificados):
𝐿𝑆𝐶𝑅 = 𝐷4 ത𝑅 = 2,115 11,0 = 23,265 ≅ 23,27
𝐿𝐼𝐶𝑅 = 𝐷3 ത𝑅 = 0 11,0 = 0,00
𝐿𝑀𝑅 = ത𝑅 = 11,0
20,224  RDLSCR
5,10RLM R 
3.1 Construindo o Gráfico de Controle de R
 Figura 3.3: Gráfico da Amplitude R ( sem a 12ª amostra)
10,5
22,21
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
Número da Amostra
Am
pli
tu
de
 R
514,4ˆ 
17
00,03  RDLICR
R
nd
X
n
LSC
X
2
3ˆ
3ˆ 
 
XLM
X
 ˆ 
R
nd
X
n
LIC
X
2
3ˆ
3ˆ 
 
m
X
Xˆ
m
1i
i

2/ˆ dR
3.1 Construindo o Gráfico de Controle de 
Limites simplificados 
para o gráfico :
RAXLSC 2
RAXLIC 2
18
Se definirmos:
:teremos
nd
3
A
2
2 
1006
5
514,4
31000
ˆ
3ˆ0 
n
LSC
X

 0,1000ˆLM
X
  994
5
514,4
31000
ˆ
3ˆ0 
n
LIC
X

990
995
1000
1005
1010
1 4 7 10 13 16 19 22 25
Número da Amostra
Xb
arr
a
1006,0
1000,0
994,0
Figura 3.4: Gráfico da Média X (sem a 12ª amostra)
3.1 Construindo o Gráfico de Controle de 
19
Cálculos com o limites simplificados para o gráfico :
0,1006)5,10(577,000,10002  RAXLSC
0,994)5,10(577,00,10002  RAXLIC
Figura 3.5: Gráfico da Média X (sem a 12ª e 13ª amostras)
993,6
1005,8
999,7
990,0
994,0
998,0
1002,0
1006,0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
Número da Amostra
Xb
ar
ra
3.1 Construindo o Gráfico de Controle de 
20
 8,1005
5
514,4
37,999
ˆ
3ˆ0 
n
LSC
X
 0,1000ˆLM X   6,993
5
514,4
37,999
ˆ
3ˆ0 
n
LIC
X

Cálculos com o limites simplificados para o gráfico :
8,1005)5,10(577,000,10002  RAXLSC
6,993)5,10(577,00,10002  RAXLIC
Gráficos de Controle de e SX
Embora os gráficos de ഥ𝑿 e R sejam bastante usados, algumas vezes torna-se desejável
estimar diretamente o desvio padrão do processo em vez de indiretamente através do
uso da amplitude R. Isto leva ao gráficos de ഥ𝑿 e S, onde S é o desvio padrão
amostral. Em geral, os gráficos de ഥ𝑿 e S são preferidos aos seus semelhantes ഥ𝑿 e R
quando:
1. Ou o tamanho da amostra n é moderadamente grande – digamos, n > 6 (o
método da amplitude para estimar  perde eficiência estatística para tamanhos de
amostras moderados ou grandes);
2. Ou o tamanho da amostra n é variável.
SBLSC 4
SBLIC 3
SAXLSC 3
SAXLIC 3
m
S
S
m
i
i
 1
SLM 
XLM 
Tradicionalmente, os engenheiros da
qualidade preferiam o gráfico R ao
gráfico S por causa da simplicidade do
cálculo de R para cada amostra. A
disponibilidade atual de computadores
na implementação on-line dos gráficos
de controle, na estação de trabalho,
vem eliminando qualquer dificuldade
computacional.
Limites para os gráficos:
21
Medidas dos diâmetros internos (mm) de anéis de pistão de motores automotivos
22
n x1 x2 x3 x4 x5 S
1 74,030 74,002 74,019 73,992 74,008 74,010 0,014772
2 73,995 73,992 74,001 74,011 74,004 74,001 0,007503
3 73,988 74,024 74,021 74,005 74,002 74,008 0,014748
4 74,002 73,996 73,993 74,015 74,009 74,003 0,009083
5 73,992 74,007 74,015 73,989 74,014 74,003 0,012219
6 74,009 73,994 73,997 73,985 73,993 73,996 0,008706
7 73,995 74,006 73,994 74,000 74,005 74,000 0,005523
8 73,985 74,003 73,993 74,015 73,988 73,997 0,012256
9 74,008 73,995 74,009 74,005 74,004 74,004 0,005541
10 73,998 74,000 73,990 74,007 73,995 73,998 0,006285
11 73,994 73,998 73,994 73,995 73,990 73,994 0,002864
12 74,004 74,000 74,007 74,000 73,996 74,001 0,004219
13 73,983 74,002 73,998 73,997 74,012 73,998 0,010455
14 74,006 73,967 73,994 74,000 73,984 73,990 0,015304
15 74,012 74,014 73,998 73,999 74,007 74,006 0,007314
16 74,000 73,984 74,005 73,998 73,996 73,997 0,007797
17 73,994 74,012 73,986 74,005 74,007 74,001 0,010569
18 74,006 74,010 74,018 74,003 74,000 74,007 0,006986
19 73,984 74,002 74,003 74,005 73,997 73,998 0,008468
20 74,000 74,010 74,013 74,020 74,003 74,009 0,007981
21 73,982 74,001 74,015 74,005 73,996 74,000 0,012153
22 74,004 73,999 73,990 74,006 74,009 74,002 0,007436
23 74,010 73,989 73,990 74,009 74,014 74,002 0,011929
24 74,015 74,008 73,993 74,000 74,010 74,005 0,008701
25 73,982 73,984 73,995 74,017 74,013 73,998 0,016177
 = 1850,029 0,234987
ന𝐗 = 74,001 ഥ𝐒 = 0,0094
X
0196,0)0094,0)(089,2(4  SBLSC
0094,0 SLM
0)0094,0)(0(3  SBLIC
014,74)0094,0)(427,1(001,743  SAXLSC
001,74 XLSC
988,73)0094,0)(427,1(001,743  SAXLIC
Neste exemplo, como n = 5, os limites de controle obtidos para os gráficos de ഥ𝑿 e S, são
praticamente os mesmos obtidos para os gráficos de ഥ𝑿 e R. Para tamanhos amostrais
maiores, os limites nem sempre serão os mesmos.
Estimação de : O estimador não-viciado de  é dado por ෝ𝝈 =
ഥ𝑺
𝒄𝟒
.
23
GRÁFICO DE CONTROLE DE SHEWHART PARA 
MEDIDAS INDIVIDUAIS
Há muitas situações onde o tamanho da amostra para
monitoramento do processo é n = 1, isto é, a amostra consiste
de uma única unidade. Alguns exemplos desta situação:
1. Tecnologia de inspeção e medição automática é usada e toda
unidade fabricada é inspecionada, de modo que não há razão para
formar subgrupos racionais.
2. A taxa de produção é muito lenta e é inconveniente acumular
tamanhos de amostra n > 1 para análise.
3. Em maquinaria de processos, tais como medidas sobre algum
parâmetro, como a espessura do revestimento ao longo do rolo de
papel, diferem muito poucoe produzem um desvio padrão muito
pequeno, caso o objetivo seja controlar a espessura do
revestimento ao longo do rolo.
24
Em tais situações, o gráfico de controle para unidades individuais é util. Em muitas aplicações
dos gráficos de controle para unidades individuais usamos a amplitude de duas observações
consecutivas como base para estimar a variabilidade do processo. A amplitude móvel é definida
por:
MRi = | xi - xi-1 |
Limites para os gráficos da amplitude móvel e medidas individuais:
m
x
X
m
i
i
 10ˆ 2
0
ˆ
d
RM
SD 
1
2




m
MR
RM
m
i
i
RMDLSC 4
RMDLIC 3
2
3
d
RM
XLSC 
2
3
d
RM
XLIC 
25
Como não é possível estimar a variabilidade através da amplitude ou do desvio padrão de cada
amostra (eles não estão definidos para amostras de tamanho 1), usamos como estimativa da
variabilidade a amplitude móvel de duas (ou mais) observações sucessivas.
Númer
o do 
lote
Viscosidade
x
Amplitude Móvel
MR
1 33,75
2 33,05 0,70
3 34,00 0,95
4 33,81 0,19
5 33,46 0,35
6 34,02 0,56
7 33,68 0,34
8 33,27 0,41
9 33,49 0,22
10 33,20 0,29
11 33,62 0,42
12 33,00 0,62
13 33,54 0,54
14 33,12 0,42
15 33,84 0,42
Viscosidade da Tinta de Base (Primer) para aviões.
Exemplo: A viscosidade da tinta de base (primer)
para aviões é uma importante característica da
qualidade. O produto é fabricado em lotes e como
cada lote leva horas para ser produzido, a taxa de
produção é muito lenta para permitir amostras de
tamanho maior que um. Construa o gráfico da
amplitude móvel e o gráfico de controle para
medidas individuais.
Limites para o gráfico das amplitudes 
móveis:
57,148,0)267,3(4  RMDLSC
03  RMDLIC
80,34
128,1
48,0
352,333
2

d
RM
XLSC
52,33 XLM
48,0 RMLM
24,32LIC
Limites para o gráfico das medidas 
individuais:
Não há indicação de uma condição fora de
controle. 26
151413121110987654321
35,0
34,5
34,0
33,5
33,0
32,5
32,0
Observation
In
di
vi
du
al
 V
al
ue
_
X=33,523
UCL=34,802
LCL=32,245
I Chart of Viscosidade
Observando o gráfico de controle para observações individuais acima, pode-
se notar que não há indicação de uma condição fora de controle. No gráfico
de controle para amplitudes móveis há que se observar que as amplitudes são
correlacionadas e podem induzir um padrão de sequência ou ciclos no gráfico. 27
28
Observação sobre o Gráfico de Controle de Shewhart para
Medidas Individuais:
A principal desvantagem do gráfico de controle individual,
de acordo com Montgomery (1996), é usar somente
informação sobre o processo contido no último ponto
demarcado e ignorar qualquer informação dada pela
sequência inteira de pontos, fazendo com que o gráfico
de controle individual seja insensível a pequenos e
contínuos desvios do processo da ordem de até 1,5
desvios padrão.
Autores importantes afirmam que os gráficos para
medidas individuais são muito pouco sensíveis à
presença de causas especiais. E para aumentar a
sensibilidade das medidas individuais, recomendam a
utilização de gráficos de soma acumulada CUSUM.
n A2 A3 B3 B4 d2 d3 D3 D4
2 1,880 2,659 0 3,267 1,128 0,853 0 3,267
3 1,023 1,954 0 2,568 1,693 0,888 0 2,575
4 0,729 1,628 0 2,266 2,059 0,880 0 2,282
5 0,577 1,427 0 2,089 2,326 0,864 0 2,115
6 0,483 1,287 0,030 1,970 2,534 0,848 0 2,004
7 0,419 1,182 0,118 1,882 2,704 0,833 0,076 1,924
8 0,373 1,099 0,185 1,815 2,847 0,820 0,136 1,864
9 0,337 1,032 0,239 1,761 2,970 0,808 0,184 1,816
10 0,308 0,975 0,284 1,716 3,078 0,797 0,223 1,777
Fatores para Gráficos de Controle de Qualidade
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