prova Estrutura algebrica

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Questão 1/10 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	O elemento neutro da adição de polinômios é o mesmo para a multiplicação de polinômios.
	
	B
	A adição, a multiplicação e a divisão de polinômios têm a propriedade comutativa.
	
	C
	A divisão de polinômios tem as mesmas propriedades da multiplicação.
	
	D
	O polinômio nulo é o elemento neutro da adição de polinômios.
Você acertou!
Segue das propriedades da adição de polinômios.
	
	E
	O elemento neutro da divisão de polinômios é o zero.
Questão 2/10 - Estrutura Algébrica
Considere o polinômio p(x)=x3+5x2−22x−56
. Assinale a alternativa que contém as raízes reais de p(x)
:
Nota: 10.0
	
	A
	2, 4 e 7.
	
	B
	-7, -4 e 2.
	
	C
	-2, 4 e 7.
	
	D
	-7, -4 e -2.
	
	E
	-7, -2 e 4.
Você acertou!
O polinômio p(x)
 pode ser decomposto como p(x)=(x−4)(x+2)(x+7). Logo, as raízes de p(x)
	 são -7, -2 e 4.
Questão 3/10 - Estrutura Algébrica
Considere os anéis (Z,+,⋅)
, (Q,+,⋅) e (R,+,⋅), em que + e ⋅
 denotam suas operações usuais. É correto afirmar que
Nota: 10.0
	
	A
	(Z,+,⋅)
	 é um anel comutativo, unitário e com divisores de zero.
	
	
	
	B
	(Z,+,⋅)
	 é corpo.
	
	
	
	C
	(Q,+,⋅)
	 não é domínio de integridade.
	
	
	
	D
	(Q,+,⋅)
Você acertou!
 é corpo.
Com as operações usuais, (Q,+,⋅)
 é um anel comutativo e com unidade 1. Além disso, dado a=pq∈Q, p∈Z, q∈Z∗com a≠0, vem que p≠0 e qp∈Q. Então, a−1=qp∈Q, pois pq⋅qp=1.
	
	
	
	
	E
	(R,+,⋅)
	 não é domínio de integridade.
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Considere a matriz A=[−2112−1].
Assinale a alternativa que apresenta um autovetor de A associado ao autovalor λ=2:
Nota: 10.0
	
	A
	[−13].
	
	
	
	
	B
	[10].
	
	
	
	
	C
	[74].
	
	
	
	
	D
	[35].
	
	
	
	
	E
	[14]. Você acertou!
Observamos que [−2112−1][14]=[28]=2[14],
o que mostra que [14] é autovetor de A associado ao autovalor λ=2.
	
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Considere a transformação T:R3→R3
 definida por T(x,y,z)=(x,y,0). Com base nessa transformação, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa:
I. (   )  T é uma transformação linear.
II. (   ) O núcleo de T é N(T)={(0,0,z); z∈R}.
III. (   ) O conjunto imagem de T satisfaz dim(Im(T))=2.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V, V, V.
Dados u,v∈R3 e λ∈R
Você acertou!
, observamos que T satisfaz
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(λu)=λT(u).
Assim, T é uma transformação linear e afirmativa I é verdadeira. Além disso, T(x,y,z)=(0,0,0)⟺(x,y,0)=(0,0,0)⟺x=0 e y=0,
o que mostra que z pode ser tomado qualquer. Desse modo, N(T)={(0,0,z), z∈R} e a afirmativa II é verdadeira. Segue do Teorema do Núcleo e da Imagem que 
dim(N(T))+dim(Im(T))=dim(R3)⇒1+dim(Im(T))=3⇒dim(Im(T))=2.
	
Portanto, a afirmativa III também é verdadeira.
	
	
	
	B
	V, F, V.
	
	C
	V, V, F.
	
	D
	V, F, F.
	
	E
	F, V, V.
Questão 6/10 - Álgebra Linear
Considere os vetores u=(−4,10,5), v1=(1,1,−2), v2=(2,0,3) e v3=(−1,2,3).
 Assinale a alternativa que descreve o vetor u como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3:
Nota: 10.0
	
	A
	u=v1−2v2+3v3
	.
	
	
	
	B
	u=2v1−v2+4v3.
Você acertou!
Queremos encontrar α,β,γ∈R
 tais que u=αv1+βv2+γv3, isto é, (−4,10,5)=(α+2β−γ,α+2γ,−2α+3β+3γ)⟹⎧⎨⎩α+2β−γ=−4,α+2γ=10,−2α+3β+3γ=5.Resolvendo o sistema linear anterior, obtemos α=2, β=−1 e γ=4. Portanto, u=2v1−v2+4v3.
	
	
	
	
	C
	u=−2v1+v2+4v3.
	
	
	
	
	D
	u=10v1−7v2+4v3.
	
	
	
	
	E
	u=2v1−v2−4v3.
	
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Considere o conjunto formado pelos vetores v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2).
 Com base neste conjunto, analise as afirmativas:
I. Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
II. Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.
III. O conjunto {v1,v2,v3} forma uma base para o R3.
São corretas as afirmativas:
Nota: 0.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
Você acertou!
Observamos que det⎡⎢⎣131−32−1412⎤⎥⎦=0.
Com isso, os vetores v1, v2 e v3
	são linearmente dependentes.
	
	
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 8/10 - Álgebra Linear
A inversa da matriz A=[3142]
é
Nota: 10.0
	
	A
	A−1=[1−1/2−23/2].
Você acertou!
Como A−1=1detAAdjA,
 temos A−1=12[2−1−43]=[1−1/2−23/2].
	
	
	
	
	B
	A−1=[−11/2−2−3/2].
	
	
	
	
	C
	A−1=[12−23/2].
	
	
	
	
	D
	A−1=[11/22−3/2].
	
	
	
	
	E
	A−1=[−1−1/223/2].
	
Questão 9/10 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa que contém um polinômio mônico:
Nota: 10.0
	
	A
	p(x)=3x3+2x2+3.
	
	
	
	
	B
	p(x)=2x2−3√x+2.
	
	
	
	
	C
	p(x)=2x5−3x3/2+2.
	
	
	
	
	D
	p(x)=2x4+√3x+3.
	
	
	
	
	E
	p(x)=x3−3x22+√2.
	
Você acertou!
O polinômio tem grau 3 e o coeficiente do termo que determina o grau do polinômio é 1.
Questão 10/10 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa que contém o quociente q(x)
 e o resto r(x) da divisão do polinômio f(x)=x3−5x2+3x+8 por h(x)=x−3
:
Nota: 10.0
	
	A
	q(x)=3x2−2x−3 e r(x)=1.
	
	
	
	
	B
	q(x)=2x2−2x+3 e r(x)=1.
	
	
	
	
	C
	q(x)=x2−2x−3 e r(x)=−1.
Você acertou!
Basta verificar que h(x)⋅q(x)+r(x)=f(x).
	
	
	
	
	D
	q(x)=x2−3x+2 e r(x)=−1.
	
	
	
	
	E
	q(x)=x2−3x+3 e r(x)=−1.
Questão 1/10
Dadas as matrizes A e B a seguir, calcule a soma dos elementos da matriz A . B:
A 60
B61
C 62
D 63
Questão 2/10
Questão 1/10 - Álgebra Linear 
Seja T:R3→R3T:R3→R3 a transformação linear dada 
por T(x,y,z)=(x−3y+2z,−x+2y−4z,2x−y+3z).T(x,y,z)=(x−3y+2z,−x+2y−4z,
2x−y+3z). Assinale a alternativa que apresenta o vetor u∈R3u∈R3 tal 
que T(u)=(−7,7,−3).T(u)=(−7,7,−3). 
 
A 
u=(1,2,−1).u=(1,2,−1). 
 
B 
u=(−1,2,−1).u=(−1,2,−1). 
 
 
 
C 
u=(−3,−2,−1).u=(−3,−2,−1). 
 
 
 
D 
u=(6,4,−2).u=(6,4,−2). 
 
 
 
E 
u=(3,0,−5).u=(3,0,−5). 
 
 
RESPOSTA LETRA A 
Questão 2/10 - Álgebra Linear 
Considere a matriz A=[−2112−1].A=[−2112−1]. Assinale a alternativa que apresenta um autovetor de AA associado ao autovalor λ=2:λ=2: 
 
A 
[−13].[−13]. 
 
B 
[10].[10]. 
 
C 
[74].[74]. 
 
D 
[35].[35]. 
 
E 
[14].[14]. 
RESPOSTA LETRA E 
 
Questão 3/10 - Álgebra Linear 
Seja T:R2→R2T:R2→R2 o operador linear dado 
por T(x,y)=(x+2y,3x+2y)T(x,y)=(x+2y,3x+2y) . Com base nesse operador, coloque V 
quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa: 
 
I. ( ) A matriz de TT com relação à base canônica do R2R2 é [1232].[1232]. 
II. ( ) O polinômio característico de TT é p(λ)=λ2−3λ−4.p(λ)=λ2−3λ−4. 
 
III. ( ) Os autovalores de TT são λ1=1 e λ2=−4.λ1=1 e λ2=−4. 
 
Agora, marque a sequência correta: 
 
A 
V, V, V. 
 
B 
V, F, V. 
 
C 
V, V, F. 
 
D 
V, F, F. 
 
E 
F, V, V. 
RESPOSTA LETRA C 
 
Questão 4/10 - Estrutura Algébrica 
Sobre o anel do inteiros (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) , em que ++ e ⋅⋅ denotam as operações usuais 
em ZZ , assinale a alternativa correta: 
 
A Para todo a∈Za∈Z , vale a⋅0≠0.a⋅0≠0. 
 
B A propriedade da distributividade da multiplicação em relação à adição é válida, 
isto é, a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c para todos a,b,c∈Z.a,b,c∈Z. 
 
C O elemento 2∈Z2∈Z possui inverso multiplicativo em Z.Z. 
 
D O anel (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) possui divisores de zero. 
 
E (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é corpo 
RESPOSTA LETRA B 
 
Questão 5/10 - Estrutura Algébrica 
Assinale a alternativa que contém o quociente q(x)q(x) e o resto r(x)r(x) da divisão do 
polinômio f(x)=x3−5x2+3x+8f(x)=x3−5x2+3x+8 por h(x)=x−3h(x)=x−3 : 
 
A 
q(x)=3x2−2x−3 e r(x)=1.q(x)=3x2−2x−3 e r(x)=1. 
 
B 
q(x)=2x2−2x+3 e r(x)=1.q(x)=2x2−2x+3 e r(x)=1. 
 
C 
q(x)=x2−2x−3 e r(x)=−1.q(x)=x2−2x−3 e r(x)=−1. 
 
D 
q(x)=x2−3x+2 e r(x)=−1.q(x)=x2−3x+2e r(x)=−1.
E 
q(x)=x2−3x+3 e r(x)=−1.q(x)=x2−3x+3 e r(x)=−1. 
RESPOSTA LETRA E 
 
Questão 6/10 - Estrutura Algébrica 
A estrutura algébrica de um conjunto com operações é a denominação dada ao 
conjunto em função dos axiomas satisfeitos pelas operações. Diante disso, coloque 
V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. 
 
I. ( ) Todo domínio de integridade é anel. 
 
II. ( ) Se KK é corpo, então KK é domínio de integridade. 
 
III. ( ) Um domínio de integridade é um anel unitário, comutativo e sem divisores de 
zero. 
 
Agora, marque a sequência correta: 
 
A 
V, V, V. 
 
B 
V, F, V. 
 
C 
V, V, F. 
 
D 
V, F, F. 
 
E 
F, V, V. 
RESPOSTA LETRA A 
 
Questão 7/10 - Estrutura Algébrica 
Considere os anéis (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) , (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) e (R,+,⋅)(R,+,⋅) , em que ++ e ⋅⋅ denotam 
suas operações usuais. É correto afirmar que 
 
A 
(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é um anel comutativo, unitário e com divisores de zero. 
 
B 
(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é corpo. 
 
C 
(Q,+,⋅)(Q,+,⋅) não é domínio de integridade. 
 
D 
(Q,+,⋅)(Q,+,⋅) é corpo. 
 
E 
(R,+,⋅)(R,+,⋅) não é domínio de integridade 
RESPOSTA LETRA D 
Questão 8/10 - Estrutura Algébrica 
Considere (A,+,⋅)(A,+,⋅) um anel. Um subconjunto não vazio B⊂AB⊂A é chamado 
subanel de A quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas: 
(i) se a,b∈Ba,b∈B , então a+b∈Ba+b∈B e a⋅b∈Ba⋅b∈B ; 
 
(ii) (B,+,⋅)(B,+,⋅) é um anel. 
 
Diante disso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. 
 
I. ( ) Com as operações usuais, ZZ é um subanel de R.R. 
 
II. ( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números pares 
B={2k; k∈Z}B={2k; k∈Z} é subanel de Z.Z. 
 
III. ( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números ímpares 
 C={2k+1;k∈Z}C={2k+1;k∈Z} é subanel de Z.Z. 
 
Agora, marque a sequência correta: 
 
A 
V, V, V. 
 
B 
V, F, V. 
 
C 
V, V, F. 
 
D 
V, F, F. 
 
E 
F, V, V. 
RESPOSTA LETRA C 
Questão 9/10 - Álgebra Linear 
A inversa da matriz A=[3142]A=[3142] é 
 
A 
A−1=[1−1/2−23/2].A−1=[1−1/2−23/2]. 
 
B 
A−1=[−11/2−2−3/2].A−1=[−11/2−2−3/2]. 
 
 
 
C 
A−1=[12−23/2].A−1=[12−23/2]. 
 
 
 
D 
A−1=[11/22−3/2].A−1=[11/22−3/2]. 
 
 
 
E 
A−1=[−1−1/223/2].A−1=[−1−1/223/2]. 
RESPOSTA LETRA A 
Questão 10/10 - Álgebra Linear 
Seja T:R2→R2T:R2→R2 a transformação linear dada por T(x,y)=(x+2y,y).T(x,y)=(x+2y,y). 
 Assinale a alternativa que contém a matriz de TT com relação à base canônica do R2R2 
: 
 
A 
[1201].[1201]. 
 
B 
[1021].[1021]. 
 
C 
[1210].[1210]. 
 
 
 
D 
[2110].[2110]. 
 
 
 
E 
[1012].[1012]. 
RESPOSTA LETRA A