Modulo 2 - Lista 1 - Analise 1 - Turma 1º/2013 - Prof Celius

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ana´lise 1
Mo´dulo 2 Lista 1 1.o/2013
1) Se f : [a, b]→ [a, b] e´ uma func¸a˜o cont´ınua, de um intervalo fechado nele mesmo, enta˜o f
possui um ponto fixo, isto e´, existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = c. Para mostrar esse fato, sem
perda de generalidade suponha f(a) 6= a e f(b) 6= b, e considere a func¸a˜o g(x) = f(x)− x.
a) Justifique a afirmac¸a˜o de que a func¸a˜o g assume valores
positivos.
b) Analogamente, justifique que g assume valores negativos
c) Use o Teorema do Valor Intermedia´rio para concluir que f
possui um ponto fixo. a c b
a
f(c)
b
d) Verifique que a func¸a˜o f(x) = x
1+x
+ 1
6
, com x ∈ [0, 1], satisfaz as condic¸o˜es para ter
um ponto fixo.
e) Calcule o ponto fixo da func¸a˜o do item anterior.
2) Sejam I ⊂ R um intervalo e f : I → R uma func¸a˜o localmente na˜o-decrescente, isto e´,
dado x0 ∈ I, existe ǫ > 0 tal que f e´ na˜o-decrescente em (x0 − ǫ, x0 + ǫ) ∩ I. Nesse caso,
pode-se mostrar que f e´ na˜o-decrescente em todo o intervalo I. Para mostrar esse fato, sejam
a < b em I e considere o conjunto C = {x ∈ [a, b]; f(a) ≤ f(x)}.
a) Justifique a afirmac¸a˜o de que C e´ na˜o vazio.
b) Verifique agora que existe L = supC.
c) Use a propriedade local para mostrar que a < L.
d) Argumentando por contradic¸a˜o, mostre agora que, necessariamente, L = b.
e) Conclua que f e´ na˜o-decrescente em todo o intervalo I.
3) Suponha I ⊂ R um intervalo e f : I → R uma func¸a˜o na˜o-decrescente. Nesse caso, existem
os limites laterais f(c−) e f(c+) para todo ponto c interior a I, e a diferenc¸a f(c+)− f(c−) e´
dita o salta de f em c. Assim, os pontos de descontinuidade sa˜o aqueles para os quais o salto
e´ na˜o nulo. De acordo com o itens a seguir, esses fatos permitem mostrar que o conjunto D
das descontinuidades da func¸a˜o e´ finito ou enumera´vel.
a) No caso em que I = [a, b], tem-se que f(I) ⊂ [f(a), f(b)]. Use essa informac¸a˜o para
mostrar que o conjunto D1 = {x ∈ [a, b]; o salto em x e´ maior do que 1} e´ finito.
b) Analogamente, conclua que Dn = {x ∈ [a, b]; o salto em x e´ maior do que
1
n
} e´ um
conjunto finito no caso em que I = [a, b].
c) Justifique agora o fato de que D ⊂
⋃
∞
n=1Dn no caso em que I = [a, b], e conclua que
D e´ finito ou enumera´vel nesse caso.
d) Escreva o intervalo aberto I = (a, b) como uma unia˜o enumera´vel de intervalo fechados
para concluir que D e´ finito ou enumera´vel tambe´m nesse caso.
e) Finalmente, conclua que D e´ finito ou enumera´vel no caso em que I = (a,∞).
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4) Se f : R → R e´ tal que f(x + y) = f(x) + f(y) para todo x, y ∈ R e, ale´m disso,
f(x) ≥ 0 para x ≥ 0, enta˜o segue-se dos itens abaixo que f(x) = xf(1) para todo x ∈ R.
Em particular, f e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
a) Verifique que f(nx) = nf(x) para todo x ∈ R e todo n ∈ N.
b) Verifique agora que f(0) = 0 e f(−1) = −f(1), e use esses fatos para mostrar que
f(m
n
) = m
n
f(1) para todo m
n
∈ Q.
c) Se x > y, escreva x = y + (x− y) para concluir que f e´ na˜o-decrescente.
d) Se x ∈ R\Q, escolha uma sequeˆncia crescente rn → x, com rn ∈ Q, para concluir que
xf(1) ≤ f(x).
e) Usando um argumento semelhante ao do item anterior, conclua finalmente que
f(x) = xf(1) para todo x ∈ R.
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