Gabarito lista 1

Prévia do material em texto

UNINTER – CENTRO UNIVERSITÁRIO INTERNACIONAL. 
Escola Superior de Educação 
Curso de Licenciatura em Matemática – Disciplina: Análise combinatória. 
 
 
Gabarito – Lista 1 
 
 
Questão 1. 
e) Todas são corretas. 
Comentário: I. Total de anagramas é dado por n!, sendo que ‘n’ é o 
número de letras distintas. Logo, o total de anagramas é 6! = 6.5.4.3.2.1 
= 720. Correta. 
II. A primeira letra do anagrama já é determinada (B). Logo, o total de 
anagramas que começam com a letra B é: 1.5.4.3.2.1 = 120. Correta. 
III. Há quatro consoantes (B, R, L, S). Então, qualquer uma das quatro 
letras pode ocorrer na primeira letra do anagrama. Entretanto, na última, 
somente três porque uma das quatro consoantes já foi fixada no 
caractere inicial do anagrama. Cálculo: 4.4.3.2.1.3 = 288. Correta. 
 
 
Questão 2. 
 
a) 1728 
Comentário: Pelo princípio fundamental de contagem, temos: Presidente, vice-
presidente, secretário, segundo secretário, tesoureiro, segundo tesoureiro = 
4.3.4.3.4.3 = 12.12.12 =1728. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 3. 
 
c) {8} 
Comentário: 𝐴𝑛,2 + 𝑛 = 64 
 
𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)!
(𝑛−2)!
+ 𝑛 = 64 ⟹ 𝑛(𝑛 − 1) + 𝑛 = 64 
 𝑛2 − 𝑛 + 𝑛 = 64 
 𝑛2 = 64 → 𝑛 = 8 𝑜𝑢 𝑛 = −8. 
𝑛 = −8 não é permitido. 
 
Questão 4. 
d) 24 
Comentário: Pelo princípio fundamental de contagem, temos que o 
primeiro elemento pode ser qualquer um dos três objetos. Nas posições 
seguintes, pode ser qualquer um dos objetos, menos o anterior. Cálculo: 
3.2.2.2 = 24 
 
 
 
Questão 5. 
c) V, V, V 
Comentário: 
I. 𝐶𝑛,2 = 15 ⟹ 
𝑛!
2!(𝑛−2)!
= 15 ⟹ 
𝑛.(𝑛−1).(𝑛−2)!
2!(𝑛−2)!
= 15 ⟹
𝑛.(𝑛−1)
2
= 15 
𝑛2 − 𝑛 − 30 = 0 ⟹ 𝑛 = 6 𝑜𝑢 𝑛 = −5 Como n é natural, então n = 6. 
Verdadeira. 
II. Temos uma combinação, porque a ordem dos elementos não altera a 
comissão: 𝐶6,3 = 20. Verdadeira. 
III. Para os triângulos com base na primeira reta, temos o total de 
6. 𝐶7,2 = 126. 
Para os triângulos com base na segunda reta, temos o total de 7. 𝐶6,2 =
105. 
O total de triângulos é 126 + 105 = 231. Verdadeira. 
 
 
Questão 6. 
 
Comentário: a) Número de anagramas: temos 8 letras distintas, então 8! = 40320. 
b) Temos 5 consoantes e 3 vogais: O total de anagramas que começam 
com consoante e terminam com vogal é: 5.6.5.4.3.2.1.3 = 10800. 
c) PRO deve ser considerado como um novo objeto. Sendo assim, o 
número de anagramas nos quais as letras P, R, O aparecem juntas e 
nessa ordem é: PRO, B, L, E, M, A. Logo, o total de anagramas é 6! = 
720. 
 
Questão 7. 
 
e) I e II, apenas. 
Comentário: 
I. Começam com vogal: 2.4! = 2.24 =48. Correta. 
II. Z e I juntas e nessa ordem: temos os seguintes objetos: ZI, E, L, R. 4! 
= 24. Verdadeira. 
III. O total de anagramas que começam com consoantes e terminam com 
vogais: 3.3!.2 =3.6.2= 36. Falsa. 
 
 
Questão 8. 
c) 240 
Comentário: Deve-se aplicar combinação simples, pois a ordem das 
questões não é importante. O total de provas que o professor pode montar 
é: 𝐶4,3. 𝐶6,5. 𝐶5,2 = 4.6.10 = 240. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 9. 
 
e) 126 
 Comentário: O total de triângulos com base na reta r é: 4.𝐶7,2 = 4.21 = 84. 
 O total de triângulos com base na reta s é: 7.𝐶4,2 = 7.6 = 42. 
 Total: 84 + 42 = 126. 
 
 
Questão 10. 
 
Comentário: Se começarmos pela região Sul, temos 5 cores disponíveis. Para 
região Sudeste, temos 4 (menos a cor do Sul) e 3 para o Centro-oeste (menos 
as cores do Sul e Sudeste). São 3 cores para a região Nordeste e 3 para a 
região Norte. Total: 5.4.3.3.3= 540 maneiras diferentes de colorir o mapa. 
 
 
Questão 11. 
 
a) Todas estão corretas. 
Comentário: 
I. Na primeira listra, temos 4 cores disponíveis. Nas listras seguintes, 3 cores (4 
menos a anterior). Total: 4.3.3.3 = 108. Verdadeira. 
II. O primeiro algarismo pode ser 5, 6, 7 ou 8 e o último 0 ou 5. Para os 
números com final 0, temos o total de: 4.8.7.6.1 = 1344. Aqueles com final 5, 
temos o total de 3.8.7.6.1 = 1008. O total de números é 1344 + 1008 = 2352. 
Verdadeira. 
III. Em cada degrau, podemos ter moça e rapaz ou rapaz e moça. No primeiro 
degrau, temos 3.3.2 (3 rapazes e 3 moças ou o contrário (vezes 2)). No 
segundo degrau, 2.2.2 e, no terceiro, 1.1.2. O total de maneiras diferentes é: 
(3.3.2).(2.2.2).(1.1.2) = 288. 
 
 
 
 
Questão 12. 
 
Comentário: a. O total de comissões é 𝐶11,5 = 462. 
 Desse total, devemos descontar as comissões com nenhuma ou 
com uma mulher. 
 Então, 𝐶11,5 − 𝐶6,5 − 𝐶6,4. 𝐶5,1 = 381. 
 b. O total de combinações é: 𝐶5,2. 𝐶6,3 = 10.20 = 200. 
 
Questão 13. 
 
Comentário: O primeiro algarismo só pode ser 1 ou 2 (menor que 3.000) e o 
último só pode ser 2 ou 4 (divisível por 2). Então, se o último é 2: 1.3.2.1 = 6. 
E, se o último é 4: 2.3.2.1=12. Total é 18. 
 
 
Questão 14. 
 
d) Todas são corretas. 
Comentário: 
I. Usando arranjos, temos 𝐴10,4 − 𝐴9,3 = 4536 (arranjo de 10 elementos 
4 a 4, menos os números que começam com zero). Ou pelo princípio 
multiplicativo: 9.9.8.7 = 4536. Correta. 
II. Os números divisíveis por 5 terminam em 0 ou 5. Os que terminam 
em zero: 9.10.10.1 = 900. Os que terminam em 5: 9.10.10.1= 900 (o 
primeiro algarismo não pode ser 0). 
Total: 900+900 = 1800. Correta. 
III. Pelo princípio multiplicativo, temos 9.10.10.10 = 9000. Correta. 
 
 
 
 
Questão 15. 
 
 
Comentário: O número de diretorias é: 𝐶6,4. 𝐶4,2. 𝐶3,1 = 270. 
 
Questão 16. 
 
Comentário: O total de números múltiplos de 3 é 20 (pelo termo geral da PA: 60 
= 3 + (n-1).3, n = 20). Então, O número de cartões diferentes é: 𝐶40,6. 
 
Questão 17. 
 
Comentário: O total é dado por: 𝐶30,2. 𝐶30,4.