trabalho equação diferencial UNA lista 2 algumas questões

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1-
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4-Crescimento proporcional à população: 
dP/dt = kP 
dP/P = k dt 
Integrando: 
ln(P) = kt + C 
No instante zero, haviam 500 bactérias: 
ln(500) = k*0 + C 
C = ln(500) 
Em três horas, haviam 8000 bactérias: 
ln(8000) = 3*k + ln(500) 
k = [ln(8000) - ln(500)]/3 = [ln(8000/500)]/3 
ln(16)/3 = 0,924196241 
ln(P) = 0,924196241*t + ln(500) 
ln(P) = 0,924196241*t + 6,214608098 
P = exp(0,924196241*t + 6,214608098) 
Depois de 4 horas: 
P = 20158 bactérias
6- dQ/dt = - 0,0525Q --> dQ/Q= - 0,0525 ·dt --> ln|Q| = - 0,0525·t + lnQo --> 
Q(t)= Qo · e^(- 0,0525·t) 
a) Q=2·Qo <--> e^(- 0,0525·t) = 1/2 <--> t= ln2/0,0525= 13,2028 anos 
b) Se Qo=50 --> Q(t)= 50· e^(-0,525) ~29,57776822...
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11-a) Temos que a capacidade máxima de suporte K = 10000 peixes e a população inicial de peixes no lago é P(0) = 400 peixes.Sabemos que a função logística ou uma curva logística sigmoide é dada pela função:f(x) = K / 1 + A*e^-k*(x-x0)
Onde e = número de Euler
x0 = x no ponto médio da curva logística
K = o valor máximo da curva
A = a declividade da curva.
Sendo assim, temos:
P(t) = K / 1 + A*e^-k*(x-x0)
P(0) = 400
A = K - P(0)/P(0), pois e^-k*(x-x0) - e^-k*0 = 1
A = 10000 - 400 / 400
A = 24
Portanto:
P(t) = 10000 / 1 + 24*e^-k*(x-x0), sendo x - x0 = t, temos:
P(t) = 10000 / 1 + 24*e^-k*t
P(t) = 10000 / 1 + 24*e^-k*t
Como P(1) = 1200
1200 = 10000 / 1 + 24*e^-k*t
1 + 24*e^-k*1 = 10000/1200
1 + 24*e^-k = 8,3333
24*e^-k = 7,3333
e^-k = 0,0305555
-k = ln0,0305555
k = 1,1856
Portanto, a equação logística em função de t anos é dada por:
P(t) = 10000 / 1 + 24*e^-1,1856*t
b) quento tempo levará para a que a população aumente para 5000 peixes?
P(t) = 5000
5000  = 10000 / 1 + 24*e^-1,1856*t
10000/5000 = 1 + 24*e^-1,1856*t
2 - 1 = 24*e^-1,1856*t
1/24 = e^-1,1856*t
0,04166 = e^-1,1856*t
ln0,04166 = -1,1856*t
-3,1782 = -1,1856*t
t = -3,1782/-1,1856
t = 2,68 anos.
12-T é a temperatura para um tempo t qualquer. 
To é a temperatura inicial 
Ta é a temperatura ambiente 
dT/dt = -k*(T-Ta) 
T=(To-Ta)*exp(-kt)+Ta 
Substituindo, temos: 
T=(93,3-21,1)*exp(-kt)+21,1 
T=(72,2)*exp(-kt)+21,1 
T(1 min)=87,8º C 
87,8=(72,2)*exp(-k)+21,1 
66,7/72,2=exp(-k) 
log(66,7/72,2)=-k 
k=ln(72,2/66,7)=0,079 
Fazendo para 65,6º temos: 
65,6=(72,2)*exp(-0,079*t)+21,1 
ln(72,2/44,5)=0,079*t 
t=6,12 minutos
13-