EP06 EAR gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
6o EP EAR Matema´tica Semana 6 - Notas de Aula 6 Gabarito Coord. H. Clark & C. Vinagre
Exerc´ıcio 1. Estude as se´ries geome´tricas e mostre que:
(a)
∞∑
n=0
1
2n
= 2; (b)
∞∑
n=0
2n+1
32n
=
18
7
; (c)
∞∑
n=0
32n8−n e´ diverge.
Prova: (a) Com as notac¸o˜es do Exemplo 6.1(a) tem-se que x = 1/2 e β = 1. Assim
∞∑
n=0
1
2n
=
∞∑
n=0
(1
2
)n
=
1
1− 1/2 = 2.
2
(b) O termo geral xn da se´rie e´ dado por
xn =
2n+1
32n
=
2n2
(32)n
= 2
(2
9
)n
.
Portanto, trata-se de um caso particular de se´rie geome´trica, com x = 2/9 < 1 e β = 2. Logo,
∞∑
n=0
2n+1
32n
=
∞∑
n=0
2
(2
9
)n
=
2
1− 2/9 =
18
7
.
2
(c) Reescrevendo a se´rie
∞∑
n=0
32n8−n tem-se
∞∑
n=0
32n8−n =
∞∑
n=0
9n
8n
=
∞∑
n=0
(9
8
)n
.
Assim, tem-se uma se´rie do tipo geome´trica com x = 9/8 > 1 e β = 1. Logo, a se´rie e´ divegente
(estude o Exemplo 6.2 (a)).
Exerc´ıcio 2. Mostre, por meio da definic¸a˜o, que a se´rie:
(a)
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
converge; (b)
∞∑
n=0
1
2n
converge; (c)
∞∑
n=1
ln
(n+ 2
n+ 1
)
diverge.
Sugesta˜o: Para o item (b), use a igualdade correspondente a (i) do Exemplo 6.1 (a). Para o item (c)
use o fato: ln(a/b) = ln a− ln b para a, b > 0.
Prova: (a) Usando frac¸o˜es parciais tem-se
1
n(n+ 1)
=
1
n
− 1
n+ 1
. Assim,
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
=
∞∑
n=1
( 1
n
− 1
n+ 1
)
.
1
Da´ı, a reduzida da se´rie e´ a soma telesco´pica:
Sn =
(
1− 1
2
)
+
(
1
2
− 1
3
)
+ · · ·+
(
1
n− 1 −
1
n
)
= 1− 1
n
.
Assim, lim
n→∞Sn = 1. Logo, a se´rie converge para 1. 2
(b) A n-e´sima reduzida e´ Sn = 1 +
1
2 +
1
22
+ · · ·+ 12n , e pode ser expressa por meio da identidade
1−
(1
2
)n+1
=
(
1− 1
2
)(
1 +
1
2
+
1
22
+ · · ·+ 1
2n
)
=
(
1− 1
2
)
Sn.
Enta˜o
Sn =
1− (12)n+1
1− 12
= 2
[
1−
(1
2
)n+1]
.
Portanto,
lim
n→∞Sn = 2.
Da´ı, tem-se a convergeˆncia desejada. 2
(c) Como ln(a/b) = ln a− ln b para a, b > 0, tem-se
∞∑
n=1
ln
(n+ 2
n+ 1
)
=
∞∑
n=1
[ln(n+ 2)− ln(n+ 1)].
Da´ı, a reduzida da se´rie e´ a soma telesco´pica:
Sn = (ln 3− ln 2) + (ln 4− ln 3) + · · ·+ (ln(n+ 2)− ln(n+ 1)) = − ln 2 + ln(n+ 2).
Assim, lim
n→∞Sn =∞. Logo, a se´rie e´ de fato divergente.
Exerc´ıcio 3. Mostre que
∞∑
n=1
3
(3n− 2)(3n+ 1) converge para 1.
Prova: Usando frac¸o˜es parciais tem-se que
3
(3n− 2)(3n+ 1) =
1
3n− 2 +
−1
3n+ 1
. Da´ı, a reduzida da
se´rie e´ dada por
Sn =
(
1− 1
4
)
+
(1
4
− 1
7
)
+
(1
7
− 1
10
)
+ · · ·+
( 1
3n− 2 −
1
3n+ 1
)
= 1− 1
3n+ 1
.
Assim, Sn = 3n/(3n+ 1) e lim
n−→∞Sn = 1. Logo, a se´rie converge para 1.
Exerc´ıcio 4. Sejam a, b ∈ R e −a /∈ N. Mostre que
∞∑
n=1
b
(a+ n)(a+ n+ 1)
converge para
b
a+ 1
.
Prova: Usando frac¸o˜es parciais encontra-se:
b
(a+ n)(a+ n+ 1)
=
b
a+ n
− b
a+ n+ 1
ja´ que −a /∈ N.
Da´ı, a reduzida da se´rie e´ dada por
Sn =
( b
a+ 1
− b
a+ 2
)
+
( b
a+ 2
− b
a+ 3
)
+ · · ·+
( b
a+ n− 1 −
b
a+ n
)
+
( b
a+ n
− b
a+ n+ 1
)
=
b
a+ 1
− b
a+ n+ 1
.
Assim, lim
n→∞Sn =
b
a+ 1
. Logo, a se´rie converge para
b
a+ 1
.
2
Exerc´ıcio 5. Mostre que
(a)
∞∑
n=1
lnn2
n
e´ divergente; (b)
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
na˜o e´ absolutamente convergente.
Prova: (a) Note que lnn > 1 para n ≥ 3. Da´ı, lnn2 = 2 lnn > 2 para n ≥ 3.
lnn2
n
=
2 lnn
n
>
2
n
>
1
n
para n ≥ 3.
Como
∞∑
n=1
1
n diverge, enta˜o pelo teste de comparac¸a˜o a se´rie e´ divergente. 2
(b) Esta se´rie na˜o e´ absolutamente convergente porque
∞∑
n=1
∣∣∣∣(−1)n+1n
∣∣∣∣ = ∞∑
n=1
1
n
=∞.
Por outro lado, pode-se usar o crite´rio de Leibniz para se´ries alternadas para mostrar que a se´rie dada
e´ convergente. Fac¸a isto!
Exerc´ıcio 6. Seja (xn)n∈N uma sucessa˜o de nu´meros reais na˜o-positivos. Mostre que a se´rie
∞∑
n=1
xn
converge, se e somente se, a sucessa˜o das somas parciais (Sn = x1 + · · ·+ xn)n∈N e´ limitada.
Sugesta˜o para (⇐): Use o Teorema 5.1. (Note que este resultado e´ ana´logo a um resultado das NA
6. Aqui e´ a chance de voceˆ entender melhor todas as passagens).
Prova: Devem-se mostrar duas implicac¸o˜es:
(a) Se
∞∑
n=1
xn converge enta˜o (Sn)n∈N e´ limitada.
(b) Se (Sn)n∈N e´ limitada enta˜o
∞∑
n=1
xn converge.
Prova de (a): Se
∞∑
n=1
xn converge enta˜o, pela Definic¸a˜o 6.1, a sucessa˜o das somas parciais (Sn)n∈N e´
convergente. Da´ı e do Teorema 4.3 tem-se que (Sn)n∈N e´ limitada. 2
Prova de (b): Por definic¸a˜o de sucessa˜o das somas parciais de uma se´rie tem-se
S1 = x1, S2 = x1 + x2, . . . , Sn = x1 + x2 + · · ·+ xn para cada n ∈ N.
Note que, como por hipo´tese inicial x1 ≤ 0 e x2 ≤ 0 enta˜o x1 + x2 ≤ x1. Assim, S2 ≤ S1. Faz parte
de seus estudos concluir, por meio do PIM, que Sn+1 ≤ Sn, para cada n ∈ N. Portanto, (Sn)n∈N e´
mono´tona decrescente. Como por hipo´tese do item (b), (Sn)n∈N e´ limitada enta˜o pelo Teorema 5.1
tem-se que (Sn)n∈N e´ convergente. Logo, pela Definic¸a˜o 6.1 a se´rie
∞∑
n=1
xn converge.
Exerc´ıcio 7. Mostre, por meio do Teste da Raza˜o, que a se´rie
∞∑
n=1
n!
( 2
n
)n
converge absolutamente.
Prova: Usando as propriedades alge´bricas de R, tem-se:
|xn+1|
|xn| =
(n+ 1)!
(
2
n+1
)n+1
n!
(
2
n
)n = (n+ 1)
(
2
n+1
)(
2
n+1
)n(
2
n
)n = 2
(
2
n+1
)n(
2
n
)n = 2( nn+ 1)n
= 2
( 1
1 + 1/n
)n
= 2
1
(1 + 1/n)n
.
3
Da´ı, usando o Exemplo 5.1 (c) obte´m-se
lim
n→∞
|xn+1|
|xn| =
2
lim
n→∞(1 + 1/n)
n
=
2
e
< 1 ja´ que e ' 2, 7 · · · .
Logo, pelo Teste da Raza˜o a se´rie converge absolutamente.
Exerc´ıcio 8. Mostre, por meio do Teste da Raza˜o, que a se´rie
∞∑
n=3
(−1)nnn
n!
e´ divergente.
Prova: De fato, usando as propriedades alge´bricas de R, tem-se:
|xn+1|
|xn| =
(n+ 1)n+1
(n+ 1)!
· n!
nn
=
(n+ 1)n+1
n+ 1
· 1
nn
=
(
n+ 1
n
)n
=
(
1 +
1
n
)n
.
Da´ı, usando o Exemplo 5.1 (c) obte´m-se
lim
n→∞
|xn+1|
|xn| = limn→∞
(
1 +
1
n
)n
= e ' 2, 7 > 1.
Logo, pelo Teste da Raza˜o a se´rie e´ divergente.
4