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Derivadas Direcionais
Vetor Gradiente
Extremos de Func¸o˜es de Duas Varia´veis
Multiplicadores de Lagrange
FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS
Daniel Leite
IENG - UFMT
20 de fevereiro de 2019
Daniel Leite FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS
Derivadas Direcionais
Vetor Gradiente
Extremos de Func¸o˜es de Duas Varia´veis
Multiplicadores de Lagrange
Suma´rio
1 Derivadas Direcionais
2 Vetor Gradiente
3 Extremos de Func¸o˜es de Duas Varia´veis
4 Multiplicadores de Lagrange
Daniel Leite FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS
Derivadas Direcionais
Vetor Gradiente
Extremos de Func¸o˜es de Duas Varia´veis
Multiplicadores de Lagrange
Para Func¸o˜es de Duas Varia´veis
Seja z = f (x , y) uma func¸a˜o que determina o valor de z em
func¸a˜o das varia´veis x e y . A taxa de variac¸a˜o de z na direc¸a˜o
positiva de x e y sa˜o, respectivamente, as derivadas parciais
fx(x0, y0) = lim
h→0
f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)
h
, e
fy (x0, y0) = lim
h→0
f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)
h
Elas podem ser vistas, respectivamente, como as taxas de variac¸o˜es
nas direc¸o˜es e sentidos dos vetores canoˆnicos~i = (1, 0) e ~j = (0, 1).
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Para Func¸o˜es de Duas Varia´veis
Representac¸a˜o Geome´trica de fx(x0, y0)
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Para Func¸o˜es de Duas Varia´veis
Representac¸a˜o Geome´trica de fy (x0, y0)
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Multiplicadores de Lagrange
Para Func¸o˜es de Duas Varia´veis
Agora, suponha que queiramos determinar a taxa de variac¸a˜o da
func¸a˜o f no ponto (x0, y0) na direc¸a˜o e sentido de um vetor
unita´rio ~u = (a, b). Para isso, consideramos o ponto
P = (x0, y0, z0) do gra´fico de f , ou seja, z0 = f (x0, y0). O plano
vertical que passa por P na direc¸a˜o do vetor ~u intersecta o gra´fico
de f ao longo de uma curva C . A inclinac¸a˜o da reta tangente T a`
curva C e´ a taxa de variac¸a˜o de z na direc¸a˜o e sentido do vetor ~u.
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Para Func¸o˜es de Duas Varia´veis
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Para Func¸o˜es de Duas Varia´veis
Se Q = (x , y , z) e´ outro ponto sobre a curva C e P ′, Q ′ sa˜o as
respectivas projec¸o˜es dos pontos P e Q no plano xy, enta˜o o vetor
−−→
P ′Q ′ e´ paralelo ao vetor ~u. Isso significa que existe um escalar h
tal que
−−→
P ′Q ′ = h~u, ou seja, (x − x0, y − y0) = (ah, bh).
Segue que x = x0 + ah e y = y0 + bh.
Portanto, a taxa de variac¸a˜o de z (em relac¸a˜o a` distaˆncia) na
direc¸a˜o e sentido de ~u e´ definida, quando o limite existir, por
lim
h→0
f (x0 + ah, y0 + bh)− f (x0, y0)
h
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Chamamos essa taxa de derivada direcional de f na direc¸a˜o e
sentido do vetor unita´rio ~u e a denotamos por D~uf (x0, y0). Assim
D~uf (x0, y0) = lim
h→0
f (x0 + ah, y0 + bh)− f (x0, y0)
h
Observac¸a˜o
Para os vetores canoˆnicos ~i e ~j , temos D~i f (x0, y0) = fx(x0, y0) e
D~j f (x0, y0) = fy (x0, y0).
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Suponha que f (x , y) seja diferencia´vel em (x0, y0). Enta˜o, existe a
derivada direcional de f na direc¸a˜o e sentido de qualquer vetor
unita´rio ~u. Ale´m disso, podemos usar a regra da cadeia para
calcular a derivada direcional assim:
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Tome g(h) = f (x0 + ah, y0 + bh).
Por um lado,
dg
dh
|h=0 = lim
h→0
g(0 + h)− g(0)
h
= lim
h→0
f (x0 + ah, y0 + bh)− f (x0, y0)
h
= D~uf (x0, y0)
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Por outro lado, como f (x , y) e g(h) sa˜o diferencia´veis, a regra
da cadeia diz que
dg
dh
|h=0 =
∂f
∂x
| (x ,y)=(x0,y0)
dx
dh
|h=0 +
∂f
∂y
| (x ,y)=(x0,y0)
dy
dh
|h=0
= fx(x0, y0)a + fy (x0, y0)b
= (fx(x0, y0), fy (x0, y0))︸ ︷︷ ︸
vetor gradiente
• (a, b)︸ ︷︷ ︸
vetor ~u
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Portanto,
D~uf (x0, y0) = (fx(x0, y0), fy (x0, y0)) • ~u
ou seja, a derivada direcional e´ um produto escalar entre o vetor
unita´rio ~u e o vetor (fx(x0, y0), fy (x0, y0)) que definiremos a seguir.
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Suma´rio
1 Derivadas Direcionais
2 Vetor Gradiente
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4 Multiplicadores de Lagrange
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O vetor gradiente de f (x , y) no ponto (x0, y0) e´ definido por
∇f (x0, y0) = (fx(x0, y0), fy (x0, y0))
Com isso, a equac¸a˜o acima da derivada direcional pode ser descrito
assim
D~uf (x0, y0) = ∇f (x0, y0) • ~u.
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Exemplo 1
Determine a taxa D~uf (1, 2) onde f (x , y) = x
3 − 3xy + 4y 2 e ~u e´ o
versor definido pelo aˆngulo θ = pi6 . Temos
∇f (x , y) = (fx(x , y), fy (x , y)) = (3x2 − 3y ,−3x + 8y)
∇f (1, 2) = (fx(1, 2), fy (1, 2)) = (−3, 13)
~u =
(
cos
(
pi
6
)
, sen
(
pi
6
))
=
(√
3
2 ,
1
2
)
D~uf (1, 2) = ∇f (1, 2)•~u = (−3)
(√
3
2
)
+(13)
(
1
2
)
=
−3√3 + 13
2
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Exemplo 2
Nas proximidades de uma bo´ia, a profundidade de um lago em um
ponto (x , y) e´ dada por z = 200 + 0, 02x2 − 0, 001y 3, onde x , y e
z sa˜o medidos em metros. Um pescador que esta´ em um pequeno
barco parte do ponto P = (80, 60) em direc¸a˜o a` bo´ia, que esta´
localizada no ponto O = (0, 0). A a´gua sob o barco esta´ ficando
mais profunda ou mais rasa quando ele comec¸a a se mover? Temos
∇z =
(
∂z
∂x
,
∂z
∂y
)
= (0.04x ,−0.003y 2)
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∇z |P = ((0.04)(80), (−0.003)(60)2) = (3.2,−10.8)
~u =
1
‖ −→PO ‖
−→
PO =
1
100
(−80,−60) =
(
−4
5
,−3
5
)
= (−0.8,−0.6)D~uz = ∇z |P • ~u = (3.2)(−0.8) + (−10.8)(−0.6) = 3.92
e conclu´ımos que a a´gua fica mais profunda porque a taxa e´
positiva (ou seja, z esta´ crescendo).
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Para Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis
Analogamente, para uma func¸a˜o f nas varia´veis x1, x2, · · · , xn
definimos o gradiente no ponto P como sendo
∇f (P) =
(
∂f
∂x1
|P , · · · ,
∂f
∂xn
|P
)
Com isso, a taxa de variac¸a˜o de f em P na direc¸a˜o e sentido de
um vetor unita´rio ~u do espac¸o Rn e´ a derivada direcional obtida
pelo produto escalar
D~uf (P) = ∇f (P) • ~u
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Exemplo
Existe uma direc¸a˜o ~u na qual a taxa de variac¸a˜o da func¸a˜o
temperatura T (x , y , z) = 2xy − yz (temperatura em ◦C , distaˆncia
em pe´s) em P = (1,−1, 1) seja −3 ◦C/pe´s? Justifique sua
resposta. Temos
∇T (x , y , z) = (2y , 2x − z ,−y) e ∇T (1,−1, 1) = (−2, 1, 1). Ale´m
disso, se ~u = (a, b, c), enta˜o
D~uT (1,−1, 1) = ∇T (1,−1, 1) • ~u = −2a + b + c
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Exemplo
Mas, D~uT (1,−1, 1) = −3 implica que −2a + b + c = −3. Por
outro lado, como ~u e´ unita´rio, temos a2 + b2 + c2 = 1.
Isso significa que o ponto de coordenadas a, b, c (extremidade do
vetor ~u) deve ser um ponto comum a` esfera unita´ria e ao plano
−2x + y + z = −3. No entanto, na˜o ha´ intersec¸a˜o entre o plano e
a esfera porque a distaˆncia da origem ao plano e´ maior do que 1
(verifique!).
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Taxas Ma´ximas e M´ınimas
Como D~uf = ∇f • ~u, segue da propriedade de vetores que
D~uf =‖ ∇f ‖ ‖ ~u ‖︸ ︷︷ ︸
=1
cos(θ) =‖ ∇f ‖ cos(θ)
onde θ e´ o aˆngulo formado entre ∇f e ~u. Portanto,
D~uf e´ ma´xima quando cos(θ) = 1, ou seja, quando ~u e´ o
versor de ∇f . Ale´m disso, a taxa ma´xima e´ igual a ‖ ∇f ‖.
D~uf e´ m´ınima quando cos(θ) = −1, ou seja, quando ~u e´ o
oposto do versor de ∇f , e a taxa m´ınima vale − ‖ ∇f ‖.
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Taxas Ma´ximas e M´ınimas
Resumindo
Em outras palavras, uma func¸a˜o f cresce mais rapidamente na
direc¸a˜o e sentido do seu vetor gradiente ∇f e a sua taxa ma´xima
vale ‖ ∇f ‖. Consequentemente, decresce mais ra´pido no sentido
contra´rio ao seu vetor gradiente com taxa − ‖ ∇f ‖.
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Vetor Gradiente e Curvas/Superf´ıcies de N´ıvel
Lembre que por definic¸a˜o uma func¸a˜o f e´ sempre constante ao
longo da sua curva de n´ıvel. Enta˜o, a taxa de variac¸a˜o de f em um
ponto P = (x0, y0) da sua curva de n´ıvel e´ nula. Se a curva esta´
parametrizada por x(t), y(t), enta˜o a taxa de variac¸a˜o em P e´
dada pela regra da cadeia por
df
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
= ∇f •
(
x ′(t)~i + y ′(t)~j
)
Mas, dfdt |P = 0, implica que
∇f (x0, y0) •
(
x ′(t0)~i + y ′(t0)~j
)
= 0
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Vetor Gradiente e Curvas/Superf´ıcies de N´ıvel
onde estamos supondo x(t0) = x0, y(t0) = y0, ou seja, o vetor
gradiente e´ ortogonal ao vetor tangente a` curva, x ′(t)~i + y ′(t)~j .
Portanto, o vetor gradiente ∇f (x0, y0) aponta na direc¸a˜o de maior
crescimento da func¸a˜o e e´ ortogonal a` curva de n´ıvel no ponto
P = (x0, y0).
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Vetor Gradiente e Curvas/Superf´ıcies de N´ıvel
Observac¸a˜o
Conclusa˜o semelhante se obte´m para func¸o˜es de treˆs ou mais
varia´veis. Isso significa, por exemplo, que o vetor gradiente de uma
func¸a˜o de treˆs varia´veis aponta na direc¸a˜o ortogonal a` superf´ıcie de
n´ıvel, ou seja, aponta na mesma direc¸a˜o do vetor normal do plano
tangente a` superf´ıcie.
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Vetor Gradiente e Curvas/Superf´ıcies de N´ıvel
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Exemplo (Exerc´ıcio)
(a) Se f (x , y) = xy , encontre o vetor gradiente ∇f (3, 2) e use-o
para encontrar a reta tangente a` curva de n´ıvel f (x , y) = 6 no
ponto (3, 2). Esboce a curva de n´ıvel, a reta tangente e o
vetor gradiente.
(b) Em quais pontos a reta normal que passa pelo ponto (1, 2, 1)
no elipso´ide 4x2 + y 2 + 4z2 = 12 intersepta a esfera
x2 + y 2 + z2 = 102?
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Exemplo (Exerc´ıcio)
(c) Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta tangente a` curva
formada pela intersec¸a˜o do parabolo´ide z = x2 + y 2 com o
elipso´ide 4x2 + y 2 + z2 = 9 no ponto (−1, 1, 2).
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Exemplo (Exerc´ıcio)
Suponha que voceˆ esta´ escalando um morro cujo formato e´ dado
pela equac¸a˜o
z = 1000− 0.01x2 − 0.02y 2
onde x , y , z sa˜o dados em metros e voceˆ esta´ em pe´ no ponto de
coordenadas P = (50, 80, 847). O eixo positivo dos x aponta para
o Leste, enquanto que o eixo positivo dos y aponta para o Norte.
Se voceˆ andar exatamente para o Sul, comec¸ara´ a subir ou a
descer? Com que taxa?
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Exemplo (Exerc´ıcio)
Se comec¸ar a andar para Noroeste, voceˆ comec¸ara´ a subir ou
a descer? Com que taxa?
Em qual sentido e direc¸a˜o a inclinac¸a˜o e´ maior? Qual e´ a taxa
de elevac¸a˜o nesse sentido?
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Ma´ximos e M´ınimos Locais/Globais
Uma func¸a˜o de duas varia´veis f (x , y) tem um ma´ximo local em
(x0, y0), se para todo ponto (x , y) pro´ximo de (x0, y0) tem-se
f (x , y) ≤ f (x0, y0). Se esta desigualdade for verdadeira para todo
(x , y) no dom´ınio de f , enta˜o dizemos que f tem um ma´ximo
absoluto em (x0, y0). O nu´mero f (x0, y0) e´ chamado de valor
ma´ximo local de f .
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Ma´ximos e M´ınimos Locais/GlobaisDe maneira semelhante definimos m´ınimo local, m´ınimo absoluto,
valor de m´ınimo de f (x , y).
Ilustrac¸a˜o de Ma´ximo e Mı´nimo Local
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Ma´ximos e M´ınimos Locais/Globais
Observac¸a˜o
Podem ocorrer com func¸o˜es de duas varia´veis:
Ter dois ma´ximos locais sem que haja m´ınimo local algum
(Isso e´ imposs´ıvel para func¸o˜es diferencia´veis de uma varia´vel,
(Stewart, 5◦ ed, pa´g. 960, exerc. 35)).
Ter u´nico ma´ximo local e na˜o ter ma´ximo absoluto (ana´logo
para m´ınimo). Tambe´m e´ imposs´ıvel para func¸o˜es
diferencia´veis de uma varia´vel (Stewart, 5◦ ed, pa´g. 960,
exerc. 36).
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Pontos Cr´ıticos
Os pontos cr´ıticos de uma func¸a˜o f (x , y) sa˜o os pontos (x0, y0)
onde podem ocorrer valores ma´ximos ou m´ınimos. Para defini-los
precisamos das seguintes observac¸o˜es.
Primeiro, suponha que f (x , y) seja diferencia´vel, com derivadas
parciais cont´ınuas, e tenha um ma´ximo ou m´ınimo local em
(x0, y0). Enta˜o, a curva Cx0 (intersec¸a˜o do gra´fico com o plano
vertical y = y0) possui um ma´ximo ou m´ınimo local em (x0, y0) e
portanto sua reta tangente tem inclinac¸a˜o nula, fx(x0, y0) = 0.
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Pontos Cr´ıticos
De modo ana´logo, a curva Cy0 e´ tal que a sua reta tangente tem
inclinac¸a˜o nula em (x0, y0), ou seja, fy (x0, y0) = 0.
Ponto de Ma´ximo Local Com Variac¸o˜es Nulas em X e Y
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Vetor Gradiente
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Pontos Cr´ıticos
Ponto de Mı´nimo Local Com Variac¸o˜es Nulas em X e Y
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Pontos Cr´ıticos
Portanto, se f (x , y) tem um ma´ximo ou m´ınimo local em (x0, y0)
devemos ter ∇f (x0, y0) = ~0.
Segundo, na˜o podemos esquecer que uma func¸a˜o f (x , y) pode
admitir um ma´ximo ou m´ınimo local em (x0, y0) mesmo na˜o sendo
diferencia´vel em (x0, y0). Por exemplo, o cone de uma folha com
ve´rtice na origem. Sendo assim, temos a seguinte definic¸a˜o para
pontos cr´ıticos
Um ponto (x0, y0) e´ ponto cr´ıtico de f (x , y) se
∇f (x0, y0) = ~0 ou ∇f (x0, y0) na˜o existe.
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Vetor Gradiente
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Pontos Cr´ıticos
Cone Com Mı´nimo Local no Ve´rtice Onde ∇f Na˜o Existe
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Vetor Gradiente
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Pontos Cr´ıticos
Observac¸a˜o
Pontos cr´ıticos sa˜o apenas candidatos a ma´ximos e m´ınimos locais.
Isso significa que pode haver ponto onde o gradiente se anula, sem
que ele seja ma´ximo ou m´ınimo da func¸a˜o. Veremos adiante que
isso ocorre com a func¸a˜o f (x , y) = x2 − y 2 no ponto P = (0, 0).
Ponto com esta propriedade sera´ chamado de ponto de sela ou
simplesmente sela.
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Pontos Cr´ıticos
Ponto de Sela no Gra´fico do Parabolo´ide Hiperbo´lico
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Crite´rios Para Obter Ma´ximos de M´ınimos
Para uma func¸a˜o diferencia´vel h(t) em uma varia´vel, o que
determina se um ponto cr´ıtico t0 e´ ma´ximo ou m´ınimo local e´ o
sinal da sua derivada segunda:
Se h′′(t0) > 0, o ponto e´ de m´ınimo local.
Se h′′(t0) < 0, o ponto e´ de ma´ximo local.
Isso porque a derivada segunda determina a concavidade do gra´fico
de h.
Daniel Leite FUNC¸O˜ES DE VA´RIAS VARIA´VEIS
Derivadas Direcionais
Vetor Gradiente
Extremos de Func¸o˜es de Duas Varia´veis
Multiplicadores de Lagrange
Crite´rios Para Obter Ma´ximos de M´ınimos
Para uma func¸a˜o diferencia´vel de duas varia´veis f (x , y), se existe
um ponto de ma´ximo ou de m´ınimo em (x0, y0), o gra´fico de f
deve ser semelhante a um parabolo´ide el´ıptico pro´ximo de (x0, y0),
enquanto que na vizinhanc¸a de uma sela, o gra´fico e´ semelhante a
um parabolo´ide hiperbo´lico, conforme ilustrac¸o˜es acima.
Precisamos estabeler um “paraˆmetro” que determina quando
teremos um ou outro comportamento para o gra´fico de f pro´ximo
de um ponto cr´ıtico (x0, y0) onde o gradiente se anula.
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Vetor Gradiente
Extremos de Func¸o˜es de Duas Varia´veis
Multiplicadores de Lagrange
Crite´rios Para Obter Ma´ximos de M´ınimos
Existem duas matrizes para uma func¸a˜o diferencia´vel em duas
varia´veis que descrevem propriedades importantes de f (x , y):
A Matriz Jacobiana, ou seja, a matriz da derivada
Jf (x0, y0) =
[
fx(x0, y0) fy (x0, y0)
]
A Matriz Hessiana
Hf (x0, y0) =
 fxx(x0, y0) fxy (x0, y0)
fyx(x0, y0) fyy (x0, y0)

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Multiplicadores de Lagrange
Crite´rios Para Obter Ma´ximos de M´ınimos
Supondo derivadas parciais de segunda ordem cont´ınuas, temos
fxy (x0, y0) = fyx(x0, y0). Com isso, a Hessiana torna-se
Hf (x0, y0) =
 fxx(x0, y0) fxy (x0, y0)
fxy (x0, y0) fyy (x0, y0)

O determinante da Matriz Hessiana de f sera´ denotado por
D(x0, y0) (ou simplesmente por D) e o chamaremos de Hessiano
de f . Assim,
D(x0, y0) = fxx(x0, y0)fyy (x0, y0)− [fxy (x0, y0)]2
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Crite´rios Para Obter Ma´ximos de M´ınimos
Observac¸a˜o
O gra´fico de uma func¸a˜o f se parece localmente com um
parabolo´ide el´ıptico se D(x0, y0) > 0”.
O gra´fico de uma func¸a˜o f se parece localmente com um
parabolo´ide hiperbo´lico se D(x0, y0) < 0”.
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Crite´rios Para Obter Ma´ximos de M´ınimos
Teorema (Teste da Derivada Segunda)
Seja f (x , y) uma func¸a˜o diferencia´vel e com derivadas parciais de
segunda ordem cont´ınuas em um ponto cr´ıtico (x0, y0). Enta˜o,
Se fxx(x0, y0) > 0 e D(x0, y0) > 0, enta˜o (x0, y0) e´ um ponto
de m´ınimo local.
Se fxx(x0, y0) < 0 e D(x0, y0) > 0, enta˜o (x0, y0) e´ um ponto
de ma´ximo local.
Se D(x0, y0) < 0, enta˜o (x0, y0) na˜o e´ ponto de ma´ximo nem
de m´ınimo local. Neste caso, (x0, y0) e´ um ponto de sela.
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Crite´rios Para Obter Ma´ximos de M´ınimos
Teorema (Teste da Derivada Segunda)
Se D(x0, y0) = 0, na˜o sabemos decidir. Neste caso, o ponto
pode ser de ma´ximo, m´ınimo ou sela.
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Exemplo
Determine os ma´ximos, m´ınimos e pontosde selas da func¸a˜o
f (x , y) = 4 + x3 + y 3 − 3xy .
Temos fx(x , y) = 3x
2 − 3y e fy (x , y) = 3y 2 − 3x . Os pontos
cr´ıticos sa˜o obtidos pelo sistema 3x2 − 3y = 03y 2 − 3x = 0 equivalente a ∇f (x , y) = ~0.
Na primeira, temos y = x2 e substituindo na segunda, obtemos
x(x3 − 1) = 0. Isto implica, x = 0 ou x = 1. Substituindo x = 0
na equac¸a˜o y = x2, obtemos y = 0. Com isso, temos o ponto
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Exemplo
P = (0, 0).
Agora, substituindo x = 1 em y = x2, obtemos y = 1 e temos o
ponto Q = (1, 1).
Portanto, temos dois pontos cr´ıticos P = (0, 0) e Q = (1, 1). Em
seguida, tomamos as derivadas parciais de segunda ordem
fxx(x , y) = 6x , fxy (x , y) = −3, fyx(x , y) = −3, fyy (x , y) = 6y .
Para o ponto P = (0, 0) temos
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Exemplo
fxx(0, 0) = 0, D = fxx(0, 0)︸ ︷︷ ︸
=0
fyy (0, 0)︸ ︷︷ ︸
=0
−
fxy (0, 0)︸ ︷︷ ︸
=−3

2
= 0− 9 = −9
Como D < 0, P = (0, 0) e´ ponto de sela.
Para o ponto Q = (1, 1) temos
fxx(1, 1) = 6, D = fxx(1, 1)︸ ︷︷ ︸
=6
fyy (1, 1)︸ ︷︷ ︸
=6
−
fxy (1, 1)︸ ︷︷ ︸
=−3

2
= 36−9 = 27
Como fxx(1, 1) > 0 e D > 0, Q = (1, 1) e´ ponto de m´ınimo local.
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Pontos Cr´ıticos/Curvas de N´ıvel/Vetor Gradiente
Para um ponto cr´ıtico (x0, y0) onde ∇f (x0, y0) = ~0, e´ poss´ıvel
reconhecer quando ele e´ de ma´ximo, m´ınimo ou sela atrave´s da
ana´lise das curvas de n´ıvel e do “campo gradiente” (esboc¸o do
vetor gradiente em ”todos” os pontos de uma regia˜o) pro´ximo de
(x0, y0).
Pelo que observamos acima, se o ponto (x0, y0) e´ de ma´ximo ou
m´ınimo local, o gra´fico e´ semelhante a um parabolo´ide el´ıptico.
Isso significa que as curvas de n´ıvel sa˜o semelhantes a elipses ou
c´ırculos como centro em (x0, y0).
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Pontos Cr´ıticos/Curvas de N´ıvel/Vetor Gradiente
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Vetor Gradiente
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Pontos Cr´ıticos/Curvas de N´ıvel/Vetor Gradiente
Como saber se o ponto (x0, y0) e´ de ma´ximo ou m´ınimo? Aqui e´
onde entra o papel do vetor gradiente. Sabemos que ele aponta no
sentido de maior crescimento e ortogonal a`s curvas de n´ıvel. Logo,
se o campo gradiente aponta para o centro (x0, y0), o ponto e´ de
ma´ximo local. Caso contra´rio, se o campo aponta no sentido
saindo do centro, enta˜o o ponto (x0, y0) e´ de m´ınimo local.
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Pontos Cr´ıticos/Curvas de N´ıvel/Vetor Gradiente
Curvas de N´ıvel e Vetor Gradiente Para Ma´ximo Local
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Pontos Cr´ıticos/Curvas de N´ıvel/Vetor Gradiente
Curvas de N´ıvel e Vetor Gradiente Para Mı´nimo Local
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Pontos Cr´ıticos/Curvas de N´ıvel/Vetor Gradiente
Como reconhecer um ponto de sela atrave´s das curvas de n´ıvel?
Pro´ximo de um ponto de sela (x0, y0), as curvas de n´ıvel sa˜o
semelhantes a hipe´rboles com centro em (x0, y0). Isso porque o
gra´fico de f (x , y) e´ semelhante a um parabolo´ide hiperbo´lico. Em
termos dos vetores gradientes, alguns apontam chegando e outros
saindo do centro.
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Pontos Cr´ıticos/Curvas de N´ıvel/Vetor Gradiente
Curvas de N´ıvel e Vetor Gradiente Para Mı´nimo Local
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Exemplo
Vamos fazer nossa ana´lise pelas curvas de n´ıvel da func¸a˜o do
exemplo anterior f (x , y) = x3 + y 3 − 3xy .
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Exerc´ıcio
Determine os ma´ximos, m´ınimos e pontos de sela da func¸a˜o
f (x , y) = 3x − x3 − 2y 2 + y 4.
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Exerc´ıcio
(a) Analisando as curvas de n´ıvel (pelo menos a`queles vis´ıveis no
mapa de contorno acima).
(b) Desenhe vetores gradientes pro´ximos de cada ponto cr´ıtico.
(c) Usando o teste da derivada segunda.
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Exerc´ıcio
Encontre a distaˆncia mais curta entre o ponto P = (2, 1,−1)
e o plano x + y − z = 1.
Uma empresa produz dois produtos cujas quantidades sa˜o
expressas por x e y . Tais produtos sa˜o oferecidas ao mercado
consumidor com prec¸os unita´rios p1 e p2, respectivamente,
que dependem de x e y conforme equac¸o˜es p1 = 120− 2x ,
p2 = 200− y . O custo total da empresa para produzir e
vender quantidades x e y dos produtos e´ dado por
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Exerc´ıcio
C = x2 + 2y 2 + 2xy .
Admitindo que toda produc¸a˜o da empresa seja absorvido pelo
mercado, determine a produc¸a˜o que maximiza o lucro.
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Ma´ximos e M´ınimos em Regio˜es Limitadas e Fechadas
Uma regia˜o no plano e´ dita limitada e fechada se puder ser
colocada dentro de um c´ırculo com centro na origem e conter todo
os pontos do seu contorno. Como exemplos temos
As regio˜es limitadas pelas circunfereˆncias.
As regio˜es limitadas por triaˆngulos.
As regio˜es limitadas por retaˆngulos.
Regio˜es limitadas pelas elipses.
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Ma´ximos e M´ınimos em Regio˜es Limitadas e Fechadas
Observac¸a˜o
As regio˜es acima com poss´ıveis “buracos”.
Em todos os casos as regio˜es sa˜o consideradas juntamente
com as suas “fronteiras” (curvas que contornam a regia˜o).
Essas regio˜es podem ter suas fronteiras como unia˜o de curvas
de tipos diferentes como, por exemplo, o semic´ırculo tem sua
fronteira como a unia˜o de um segmento de reta com um arco
de circunfereˆncia.
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Ma´ximos e M´ınimos em Regio˜es Limitadas e Fechadas
Regio˜es Planas
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Teoremade Weierstrass
Uma func¸a˜o f (x , y) que e´ cont´ınua em uma regia˜o limitada e
fechada (compacta) R, admite um valor ma´ximo absoluto e valor
m´ınimo absoluto em R.
Observac¸a˜o
O teorema acima na˜o diz respeito a extremos da func¸a˜o em
todo o seu dom´ınio, mas sim em uma regia˜o limitada e
fechada contida no dom´ınio.
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Observac¸a˜o
Mesmo que a func¸a˜o na˜o admita valores extremos no seu
dom´ınio, ela admitira´ quando restringirmos a uma tal regia˜o.
Exemplo
Uma placa circular plana tem o formato da regia˜o circular
x2 + y 2 ≤ 1. A placa, incluindo a fronteira x2 + y 2 = 1, e´
aquecida de tal modo que a temperatura no ponto (x , y) e´ dada
por T (x , y) = x2 + 2y 2 − x . Encontre as temperaturas nos pontos
mais quentes e mais frios da placa.
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Exemplo
Vamos dividir a soluc¸a˜o em duas partes:
Usar o Teste da Derivada Segunda para identificar os
extremos no interior da regia˜o.
Determinar os extremos na fronteira da regia˜o.
O maior e o menor valor de T nos itens acima, sera˜o os extremos
da func¸a˜o.
Extremos no interior da regia˜o:
Tomamos as derivadas parciais de primeira ordem
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Exemplo
Tx(x , y) = 2x − 1 e Ty (x , y) = 4y .
Os pontos cr´ıticos satisfazem o sistema
 2x − 1 = 04y = 0
A u´nica soluc¸a˜o e´ x = 12 e y = 0. Isto e´, temos um u´nico ponto
cr´ıtico, A =
(
1
2 , 0
)
. Como ele esta´ dentro da regia˜o devemos
considera´-lo. O valor da temperatura em A e´
T
(
1
2
, 0
)
=
(
1
2
)2
+ 2(0)2 − 1
2
=
1
4
− 1
2
= −1
4
.
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Exemplo
Extremos na fronteira da regia˜o.
Para restringir a func¸a˜o na fronteira da regia˜o, basta substituir
a varia´vel y em func¸a˜o de x (ou x em func¸a˜o de y) usando a
equac¸a˜o que descreve a fronteira. Se na˜o for conveniente
devido a complexidade da equac¸a˜o, podemos parametrizar a
fronteira (escrever x e y em func¸a˜o de um u´nico paraˆmetro t)
quando for conhecida. Seguiremos este caminho por julgar
mais conveniente. A fronteira e´ uma circunfereˆncia de raio 1
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Exemplo
com centro na origem. Portanto tem parametrizac¸a˜o
x = cos(t), y = sen(t), 0 ≤ t ≤ 2pi.
Substituindo na func¸a˜o temos T = cos2(t) + 2sen2(t)− cos(t).
Usando a identidade trigonome´trica fundamental, temos
T = sen2(t)− cos(t) + 1. Agora, os extremos de T sa˜o obtidos de
T ′ = 0.
T ′ = 0 se e somente se 2sen(t)cos(t) + sen(t) = 0.
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Exemplo
Isto e´, quando t = 0, t = pi, t = 2pi, t = 2pi3 ou t =
4pi
3 .
Temos os pontos B = (1, 0), C =
(
−12 ,
√
3
2
)
, D = (−1, 0) e
E =
(
−12 ,−
√
3
2
)
.
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Exemplo
Nesses pontos temos,
T (0) = T (2pi) = 0, T (pi) = 2, T
(
2pi
3
)
= T
(
4pi
3
)
=
9
4
Comparando as temperaturas nos dois casos, concluimos que o
m´ınimo acontece no ponto A =
(
1
2 , 0
)
onde T = −14 e o ma´ximo
nos pontos C e E onde T = 94 .
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Vetor Gradiente
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Exemplo
Ilustrac¸a˜o Geome´trica do Problema
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Exemplo
Ilustrac¸a˜o Geome´trica do Problema
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Vetor Gradiente
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Exerc´ıcio
Encontre os extremos da func¸a˜o f (x , y) = 2x2 + 3y 2 − 4x − 5
na regia˜o x2 + y 2 ≤ 16.
Encontre os extremos da func¸a˜o
f (x , y) = 2x2 − 4x + y 2 − 4y + 1 na regia˜o limitada pelas
retas x = 0, y = 2 e y = 2x no primeiro quadrante.
Encontre dois nu´meros a e b, a ≤ b, tais que∫ b
a
(
6− x − x2) dx
tenha seu valor ma´ximo.
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Suma´rio
1 Derivadas Direcionais
2 Vetor Gradiente
3 Extremos de Func¸o˜es de Duas Varia´veis
4 Multiplicadores de Lagrange
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Para Func¸o˜es de Duas Varia´veis
Suponha que f (x , y) seja uma func¸a˜o diferencia´vel cujos extremos
devem ser determinados sobre uma curva de n´ıvel g(x , y) = c ,
onde g e´ diferencia´vel com derivadas parciais cont´ınuas e ∇g 6= ~0.
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Para Func¸o˜es de Duas Varia´veis
Pela figura parece que os extremos devem ocorrer quando existe
uma tangeˆncia entre a curva g(x , y) = c e as curvas de maior e
menor n´ıvel de f (x , y), quando existirem.
Para verificarmos essa situac¸a˜o, tomamos parametrizac¸a˜o da curva
g(x , y) = c, digamos x(t), y(t). Sejam x(t0) = x0, y(t0) = y0.
Enta˜o, um ponto (x0, y0) da curva sera´ um extremos de f quando
d
dt f (x(t), y(t)) |t=t0 = 0.
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Multiplicadores de Lagrange
Para Func¸o˜es de Duas Varia´veis
Pela regra da cadeia
fx(x0, y0)x
′(t0) + fy (x0, y0)y ′(t0)︸ ︷︷ ︸
∇f (x0,y0)• (x ′(t0), y ′(t0))︸ ︷︷ ︸
tangente a` curva
= 0
Portanto, o gradiente de f deve ser ortogonal a` curva g(x , y) = c,
e portanto paralelo ao gradiente de g . Isto e´,
∇f (x0, y0) = λ∇g(x0, y0) para algum escalar λ.
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Vetor Gradiente
Extremos de Func¸o˜es de Duas Varia´veis
Multiplicadores de Lagrange
Para Func¸o˜es de Duas Varia´veis
O escalar λ da equac¸a˜o acima e´ chamado de multiplicador de
Lagrange.
Para determinar os extremos de f (x , y) sobre uma curva de n´ıvel
g(x , y) = c , ambos diferencia´veis, devemos determinar as soluc¸o˜es
do “sistema”  ∇f (x , y) = λ∇g(x , y)g(x , y) = c
nas varia´veis x , y e λ. O maior valor de f nesses pontos sera´ o
ma´ximo e o menor sera´ o m´ınimo.
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Multiplicadores de Lagrange
Para Func¸o˜es de Treˆs Varia´veis
Repetindo um argumento ana´logo para uma func¸a˜o f (x , y , z) sobre
uma superf´ıcie g(x , y , z) = c , f e g tendo as mesmas propriedades
do caso anterior, concluiremos que para quaisquer duas curvas
transversais passando por um extremo (x0, y0, z0) de f na
superf´ıcie,deveremos ter o gradiente de f ortogonal a ambas as
curvas e, portanto, ortogonal a` superf´ıcie. Enta˜o, outra vez
deveremos ter o gradiente de f paralelo ao gradiente de g .
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Para Func¸o˜es de Treˆs Varia´veis
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Vetor Gradiente
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Multiplicadores de Lagrange
Para Func¸o˜es de Treˆs Varia´veis
Analogamente, para determinar os extremos de f (x , y , z) sobre
uma superf´ıcie de n´ıvel g(x , y , z) = c , ambos diferencia´veis,
devemos determinar as soluc¸o˜es do “sistema” ∇f (x , y , z) = λ∇g(x , y , z)g(x , y , z) = c
nas varia´veis x , y , z e λ. O maior valor de f nesses pontos sera´ o
ma´ximo e o menor sera´ o m´ınimo.
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Exemplo
No exemplo acima, determinamos os extremos da func¸a˜o
temperatura T (x , y) = x2 + 2y 2 − x sobre a regia˜o x2 + y 2 ≤ 1.
Podemos usar os multiplicadores de lagrange para determinar a sua
temperatura na fronteira x2 + y 2 = 1 sem que haja necessidade da
parametrizac¸a˜o. Para isso, tomamos g(x , y) = x2 + y 2.
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Exemplo
Enta˜o, precisamos determinar as soluc¸o˜es do sistema
(2x − 1︸ ︷︷ ︸
Tx
, 4y︸︷︷︸
Ty
) = λ ( 2x︸︷︷︸
gx
, 2y︸︷︷︸
gy
)
x2 + y 2︸ ︷︷ ︸
g(x ,y)
= 1︸︷︷︸
c
Da segunda componente na primeira equac¸a˜o obtemos y = 0 ou
λ = 2. Substituindo o λ = 2 na primeira componente encontramos
x = −12 .
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Vetor Gradiente
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Multiplicadores de Lagrange
Exemplo
Substituindo y = 0 na segunda equac¸a˜o, encontramos x = 1.
Temos o ponto P = (1, 0). Agora, substituindo x = −12 na
segunda equac¸a˜o, encontramos y = ±
√
3
2 . Temos os pontos
Q =
(
−12 ,−
√
3
2
)
e R =
(
−12 ,
√
3
2
)
. Ja´ sabemos que o m´ınimo
ocorre em P (temperatura igual a zero) e o ma´ximo nos pontos Q
e R (temperatura igual a 9/4) sobre a fronteira.
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Exerc´ıcios
Encontre os pontos no plano xy sobre a curva
x2 + xy + y 2 = 1 que esta˜o mais pro´ximos e mais distantes da
origem.
Suponha que a temperatura em Celsius em um ponto (x , y , z)
sobre uma esfera x2 + y 2 + z2 = 1 seja T = 400 x y z2.
Localize as temperaturas mais baixas e mais altas sobre a
esfera.
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Exerc´ıcios
Treˆs alelos (verso˜es alternativas de um gene) A, B e O
determinam os quatro tipos de sangue: A (AA ou AO), B (BB
ou BO), O (OO) e AB. A lei de Hardy-Weinberg estabelece
que a proporc¸a˜o de indiv´ıduos em uma populac¸a˜o que
carregam dois alelos diferentes e´
P = 2pq + 2pr + 2rq
onde p, q e r sa˜o proporc¸o˜es de A, B e O na populac¸a˜o. Use
o fato de p + q + r = 1 para mostrar que P e´ no ma´ximo 2/3.
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Exerc´ıcios
A produc¸a˜o total P de certo produto depende da quantidade
L de trabalho empregado e da quantidade K de capital
investido. Cobb-Douglas modelaram que P = b Lα K 1−α
seguindo certas hipo´teses econoˆmica, onde b e α sa˜o
constantes positivas e α < 1. Se o custo por unidade de
trabalho for m e o custo por unidade de capital for n, e uma
companhia pode gastar somente uma quantidade p de
dinheiro como despesa total, maximizar a produc¸a˜o P estara´
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Exerc´ıcios
sujeita a restric¸a˜o mL + nK = p.
(a) Mostre que a produc¸a˜o ma´xima ocorre quando L = α pm e
K = (1−α) pn .
(b) Suponha agora que a produc¸a˜o esteja fixada em
b Lα K 1−α = Q, onde Q e´ uma constante. Que valores L e K
minimizam a func¸a˜o custo C (L,K ) = mL + nK ?
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Multiplicadores de Lagrange Com Duas Restric¸o˜es
Suponha que queiramos determinar os extremos de uma func¸a˜o
diferencia´vel sobre os pontos de intersec¸a˜o das superf´ıcies
g(x , y , z) = k e h(x , y , z) = c , onde g e h tambe´m sa˜o
diferencia´veis com derivadas parciais cont´ınuas. Suponha que as
superf´ıcies se intersectam ao longo de uma curva C . Como antes,
f (x , y , z) tera´ um extremo sobre um ponto da curva onde os
gradientes de g e h na˜o se anulam, se ∇f for ortogonal ao vetor
tangente a` curva. Mas, tanto ∇g quanto ∇h tambe´m sa˜o
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ortogonais ao vetor tangente a` curva C , pois a curva esta´ contida
na superf´ıcie de n´ıvel de ambas as func¸o˜es. Portanto, os treˆs
vetores gradientes sa˜o coplanares. Segue que existem escalares α e
β tais que
∇f = α∇g + β∇h.
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Ilustrac¸a˜o
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Multiplicadores de Lagrange
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Portanto, um ponto (x0, y0, z0) e´ extremo de uma func¸a˜o f (x , y , z)
restrito a`s condic¸o˜es g(x , y , z) = k e h(x , y , z) = c se satisfaz
simultaneamente as equac¸o˜es
∇f (x0, y0, z0) = α∇g(x0, y0, z0) + β∇h(x0, y0, z0)
g(x0, y0, z0) = k
h(x0, y0, z0) = c
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