1520966 funções de varias variaveis e interpretação geométrica da derivada parcial

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04/03/2019
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Função de Duas Variáveis
Uma função f de duas variáveis é uma
regra que associa cada par ordenado
de números reais (x,y) de um conjunto
D, a um número real chamado f(x,y).
Exemplo
f : ℝ x ℝ→ ℝ ℝ x ℝ = ℝ²
f(x, y) = 2x + 3y
(5,1) →13
(8,0) →16
(-1,4) →10
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Observação
O conjunto D é chamado de domínio.
A imagem são os valores de f.
Chamaremos de x e y as variáveis
independentes e
f(x,y) = z
z→variável dependente
Exemplo
f : ℝ x ℝ→ ℝ ℝ x ℝ = ℝ²
f(x, y) = 2x + 3y
Temos que o domínio é ℝ² e todos os
pontos de ℝ são valores de f, logo ℝ é
a imagem. Ainda, x e y são variáveis
independentes e
z = 2x + 3y ,
z: variável dependente.
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Domínio
• Quando não for especificado o domínio de uma função 
de duas variáveis, chamamos de domínio maximal o 
maior subconjunto de ℝ² onde esta função está definida.
Exemplos
a) f(x,y) = x² + y² -10 Domínio maximal = ℝ²
b) f(x,y) = ln(9 – x²- 9y²) Domínio maximal = {(x,y)  ℝ²; x² + 
9y² < 9}
Exemplo da função produção
Um tipo de função produção é dada por:
P(L,K) = 1,01 . L0,75.k0,25
P→função produção total
L→a quantidade de trabalho(número de
pessoas-horas trabalhadas num ano)
K →quanƟdade de capital investido em
máquinas, equipamentos, prédios, etc.
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Gráfico de funções de duas 
variáveis
Se f é uma função de duas variáveis
com domínio D, então o gráfico de f é
o conjunto de todos os pontos (x,y,z)
em ℝ³ tal que
z = f(x,y) e (x,y) pertençam a D
Exemplos de gráficos
Gráfico de f(x,y) = 6 – 2x – 3y , ou o que é
equivalente os pontos do espaço dados
pela equação
2x + 3y + z = 6
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Exemplos de gráficos
Gráfico de
f(x,y) = -2x² + 15y + 1000
Exemplos de gráficos
Gráfico de f(x,y) = x² + y²
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Exemplos de gráficos
Gráfico de P(L,K) = L0,5k0,5, sendo P a
função produção, L o trabalho e K o
capital.
Curvas de Nível 
As curvas de nível de uma função de
duas variáveis são aquelas com f(x,y) =
k, onde k é uma constante.
Para cada valor de k tenho uma curva
de nível. As curvas de nível ficam no
plano xy.
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Exemplos de curvas de nível
Curvas de nível de f(x,y) = x² + y²
Exemplos de curvas de nível
Curvas de nível de
P(L,K) = L0,5k0,5
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Exemplos de curvas de nível
Função de Três Variáveis
Uma função f de três variáveis é uma
regra que associa cada tripla ordenada
de números reais (x,y,z) de um conjunto
D, a um número real chamado f(x,y,z).
Exemplo: f:ℝ³ →ℝ
f(x,y,z) = x² + y² + z²
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Superfícies de Nível
• O conjunto dos pontos (x,y,z) no espaço 
onde uma função de três variáveis tem 
valor constante é chamado de superfície 
de nível de f. 
Exemplo: Descreva as superfícies de nível
de
• c = 0 . A superfície de nível é o ponto 
correspondente a origem (0,0,0)
• c > 0 . A superfícies de níveis são esferas 
centradas na origem de raio c.
• c < 0 . Todas superfícies de níveis são 
conjuntos vazios. 
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Função com n variáveis
• Uma função com n variáveis é uma regra que 
associa a cada n-upla (x1, x2,....., xn) em D  ℝn
, um único número real que é denotado por 
f((x1, x2,....., xn).
Exemplo de função de nove variáveis 
• A função f : D  ℝ9 → ℝ. D é o subconjunto de ℝ9 
onde cada n-upla é um número natural. Considere
x =(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9) 
c = (10,9,8,7,6,5,4,3,2)
f(x) = x . c ( O produto escalar dos vetores x e c)
Esta função é usada para dar o primeiro digito 
vericador no CPF. 
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Vamos supor que os nove primeiros dígitos do 
CPF de uma pessoa sejam 
x = (3,1,3,4,0,2,8,0,9)
f(x) = (3,1,3,4,0,2,8,0,9). (10,9,8,7,6,5,4,3,2)
f(x) = 151. O resto da divisão de 151 por 11 é 8. 
Assim, o primeiro dígito verificador do CPF é 
11 – 8 = 3
Interpretação geométrica da 
derivada
f x0 
h0
lim fx0hfx0h
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Interpretação geométrica da 
derivada
Interpretação geométrica da 
derivada parcial 
fx x0,y0, 
h0
lim fx0h,y0fx0,y0h
fy x0,y0, 
h0
lim fx0,y0hfx0,y0h
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Interpretação geométrica da 
derivada parcial