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Cap´ıtulo 1 Matrizes, Determinantes 1a L i¸c a˜ o (c o m p ro jeto r m u ltim ed ia )13/ 03/ 2007 1.1 T eoria G eral d e Matrizes Definic¸a˜o 1. Uma matriz d e ”m” lin h as e ” n ” co lu n as e´ d ad a po r: Am×n = a11 a12 a13 · · · a1n a21 a22 a23 · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · am1 am2 am3 · · · amn = [aij ]m×n T ip os E sp eciais d e m atrizes Definic¸a˜o 2 (M a triz Q u a d ra d a ). Q u an d o m= n . E x em p lo 1. A3×3 = 1 −2 33 0 1 4 5 6 D izemo s qu e A3×3 e´ d e o rd em 3 . E m geral, se temo s u ma matriz An×n d izemo s qu e e´ d e o rd em n , d en o tamo s po r An. Definic¸a˜o 3 (M a triz Nu la o u Z ero ). S e aij = 0, ∀i = 1, 2, ..., m, ∀j = 1, 2, ..., n. Definic¸a˜o 4 (M a triz C o lu n a ). S e po ssu i u ma u´ n ica co lu n a, o u seja n = 1 . E x em p lo 2 . 1−4 3 = A3×1 1 2 CAPI´TULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES Definic¸a˜o 5 (M a triz L in h a ). S e m= 1 . E x em p lo 3 . [ 3 0 −1 ] = A1×3 Definic¸a˜o 6 (M a triz D ia g o n a l). E´ u ma matriz qu ad rad a, o n d e aij = 0, para i 6= j. E x em p lo 4 . 7 0 00 1 0 0 0 −1 3×3 Definic¸a˜o 7 (M a triz Id en tid a d e). E´ d efi n id a po r aii = 1, e aij = 0, para i 6= j. E x em p lo 5 . I3 = 1 0 00 1 0 0 0 1 3×3 Definic¸a˜o 8 (M a triz T ria n g u la r S u p erio r). E´ u ma matriz qu ad rad a tal qu e aij = 0, para i > j. E x em p lo 6 . 2 −2 00 1 3 0 0 5 3×3 Definic¸a˜o 9 (M a triz T ria n g u la r In ferio r). E´ u ma matriz qu ad rad a tal qu e aij = 0, para i < j. E x em p lo 7 . 2 0 07 1 0 −1 0 5 3×3 Definic¸a˜o 10 (M a triz S im e´tric a ). E´ aqu ela matriz qu ad rad a qu e verifi ca aij = aji . E x em p lo 8 . 2 −1 1−1 1 0 1 0 5 3×3 1.1. TEORIA G ERAL DE MATRIZES 3 O p erac¸o˜es com M atrizes Definic¸a˜o 11 (A d i¸c a˜ o o u S o m a ). D ad as A = Am×n = [aij ] e B = Bm×n = [bij ], d efi n imo s a matriz soma A + B po r A + B = [aij + bij ] matriz d e o rd em m× n. P rop ried ad es : D a d a s a s m a trizes A , B e C d e m esm a o rd em m × n, tem o s q u e : (i) A + B = B + A(c o m u ta tiv a ) (ii) A + (B + C) = (A + B) + C(a sso c ia tiv a ) (iii) A + 0 = A, o n d e o e´ a m a triz n u la d e o rd em n . Definic¸a˜o 12 (P ro d u to o u M u tip lic a c¸ a˜ o p o r u m esc a la r). S e A = [aij ]m×n e λ u m n u´ mero , pod emo s d efi n ir u ma n o va matriz tal qu e λ ·A = [λ · aij ]m×n. P rop ried ad es D a d a s a s m a trizes A e B d a m esm a o rd em m × n e n u´ m ero s α, β, tem o s q u e : (i) α · (A + B) = α ·A + α ·B (ii) (α + β) ·A = α ·A + β ·A (iii) 0 ·A = 0m×n (iv ) α · (β ·A) = (α · β) ·A. Definic¸a˜o 13 (M a triz T ra n sp o sta ). D ad a u ma matriz A = [aij ]m×n , pod emo s o bter o u tra matriz, d en o tad a po r At = [bij ]n×m , cu jas lin h as sa˜o as co lu n as d e A , ch amad a a matriz tran spo sta d e A . E x em p lo 9 . A = [ 2 −1 4 ] 1×3 At = 2−1 4 3×1 E x em p lo 10 . A = 2 10 3 −1 4 3×2 At = [ 2 0 −1 1 3 4 ] 2×3 P rop ried ad es : (i) A m a triz A e´ sim e´tric a se, e so m en te se A = At (ii) Att = A (iii) (A + B)t = At + Bt (iv ) (λ ·A)t = λ ·At, o n d e λ e´ u m n u´ m ero . Definic¸a˜o 14 (M u ltip lic a c¸ a˜ o d e m a trizes). S ejam A = Am×n = [aij ] e B = Bn×p = [brs ], d efi n imo s a matriz A ·B = [ck l]m×p, o n d e ck l = n∑ j= 1 ak j · bjl 4 CAPI´TULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES O b serv ac¸a˜o 1. P od emo s efetu ar o p rod u to d as matrizes A = Am×n = [aij ] e B = Bl×p = [brs ], qu an d o n = l. A matriz A ·B tera´ o rd em m× p. E x em p lo 11. A = A3×2 = 2 14 2 5 3 B = B2×2 = [ 1 −1 0 4 ] A·B = 2 14 2 5 3 3×2 · [ 1 −1 0 4 ] 2×2 = 2 · 1 + 1 · 0 2(−1) + 1 · 44 · 1 + 2 · 0 4(−1) + 2 · 4 5 · 1 + 3 · 0 5(−1) + 3 · 4 3×2 = 2 24 4 5 7 3×2 1.2 S istemas L ineares 2a L i¸c a˜ o (c o m p ro jeto r m u ltim ed ia ) 15/ 03/ 2007 Definic¸a˜o 15 . S eja A = [aij ] u ma matriz e b1, b2, ..., bn n u´ mero s. A s equ ac¸ o˜ es d o tipo : (∗) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 ....................................................... ....................................................... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm sa˜o co n h ecid as como u m sistema d e equ ac¸ o˜ es lin eares d e ”m” equ ac¸ o˜ es e ” n ” in c o´ g n itas. O b serv ac¸a˜o 2 . Uma so lu c¸ a˜o d e (* ) e´ u ma n -u p la d e n u´ mero s (x1, x2, ..., xn) qu e satisfac¸a simu lta´n eamen te as ”m” equ ac¸ o˜ es. O b serv ac¸a˜o 3 . S e bi = 0, ∀i = 1, 2, .., m d izemo s qu e o sistema e´ h omog eˆn eo . O b serv ac¸a˜o 4 . O sistema d e equ ac¸ o˜ es: (∗∗) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0 ................................................... ................................................... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0 e´ c h amad o sistema h omog eˆn eo assoc iad o a (* ). O b serv ac¸a˜o 5 . P od emo s escrever o sistema (* ) n a fo rma matric ial: a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · am1 am2 · · · amn · x1 x2 · · xm = b1 b2 · · bm O U A ·X = B 1.2 . SISTEMAS LINEARES 5 o n d e A = a11 · · · a1n · · · · · · · · · · am1 · · · amn , X = x1 · · xm , B = b1 · · bm A e´ c h amad a a matriz d o s coefi c ien tes d o sistema, X e´ a matriz d as in c o´ g n itas e B e´ a matriz d o s termo s in d epen d en tes. Definic¸a˜o 16 . A o sistema pod emo s assoc iar a matriz amp liad a d o sistema , d ad a po r a11 a12 · · a1n b1 a21 a22 · · a2n b2 · · · · · · am1 am2 · · amn bm E x em p lo 12 . O sistema: x1 + 4x2 + 3x3 = 1 2x1 + 5x2 + 4x3 = 4 x1 = 3x2 − 2x3 = 5 P od e ser escrito n a fo rma matric ial segu in te: 1 4 32 5 4 1 −3 −2 · x1x2 x3 = 14 5 P ara reso lver o sistema, co n sid eramo s a matriz amp liad a. 1 4 3 12 5 4 4 1 −3 −2 5 Usan d o o perac¸ o˜ es elemen tares, a ser d efi n id as, ch egamo s a 1 0 0 30 1 0 −2 0 0 1 2 qu e e´ a matriz amp liad a d o sistema so lu c¸ a˜o : x1 = 3 x2 = −2 x3 = 2 6 CAPI´TULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES Definic¸a˜o 17 (O p era c¸ o˜ es E lem en ta res). T emo s treˆs o perac¸ o˜ es so bre as lin h as d e u ma matriz. (i) P ermu ta d a i-e´sima lin h a pela j-e´sima lin h a ( Li ⇔ Lj ). (ii) M u ltip licac¸ a˜o d a i-e´sima lin h a po r u m escalar n a˜o n u lo k . (Li ⇒ k · Li). (iii) S u bstitu ic¸ a˜o d a i-e´sima lin h a pela i-e´sima lin h a mais k vezes a j-e´sima lin h a.(Li ⇒ Li + k · Lj). E x em p lo 13 . L2 ⇔ L3 . 1 04 −1 −3 4 ⇒ 1 0−3 4 4 −1 E x em p lo 14 . L2 ⇒ −3 · L2 1 04 −1 −3 4 ⇒ 1 0−12 3 −3 4 E x em p lo 15 . L3 ⇒ L3 + 2 · L1 1 04 −1 −3 4 ⇒ 1 04 −1 −1 4 Definic¸a˜o 18 (M a trizes E q u iv a len tes). D ad as d u as matrizes d o tipo m × n, d izemo s qu e B e´ lin h a equ ivalen te a A , se B e´ o b tid a d e A atrav e´s d e u m n u´ mero fi n ito d e o perac¸ o˜ es elemen tares so bre as lin h as d e A , d en o tamo s A ⇒ B o u A ∼ B. Definic¸a˜o 19 (F o rm a E sc a d a ). Uma matriz m × n, e´ lin h a red u zid a a` fo rma escad a, se verifca: (a) O p rimeiro elemen to NA˜ O n u lo d e u ma lin h a NA˜ O n u lae´ 1 . (b ) C ad a co lu n a qu e co n te´m o p rimeiro elemen to NA˜ O n u lod e algu ma lin h atem tod o s o s seu s o u tro s elemen to s igu ais a zero . (c) T od a lin h a n u la oco rre abaixo d e tod as as lin h as NA˜ O n u las (isto e´, d aqu elas qu e po ssu em pelo men o s u m elemen to NA˜ O n u lo ). (d ) S e as lin h as 1 , 2 , ..., r sa˜o as lin h as n a˜o n u las, e se o p rimeiro elemen to NA˜ O n u lo d a lin h a i oco rre n a co lu n a ki, en ta˜o k1 < k2 < ... < kr. T eorem a 1. T od a matriz Am×n e´ lin h a equ ivalen te a u ma u´ n ica matriz-lin h a red u zid a a` fo rma escad a. Definic¸a˜o 2 0 . D ad a u ma matriz Am×n, seja Bm×n a matriz-lin h a red u zid a a` fo rma escad a lin h a equ ivalen te a A . O po sto d e A , d en o tad o po r p , e´ o n u´ mero d e lin h as n a˜o n u las d e B . A n u lid ad e d e A e´ a d iferen c¸a n - p . 1.2 . SISTEMAS LINEARES 7 E x em p lo 16 . D etermin ar o po sto e a n u lid ad e d a matriz segu in te: A = 1 2 1 0−1 0 3 5 1 −2 1 1 F azemo s as segu in tes o perac¸ o˜ es elemen tares: L2 ⇒ L2 + L1 ⇒ (1/2)(L2 + L1), L3 ⇒ L3 + (−1)L1, i. e´., 1 2 1 0−1 0 3 5 1 −2 1 1 ⇒ 1 2 1 00 2 4 5 0 −4 0 1 ⇒ 1 2 1 00 1 2 5/2 0 −4 0 1 = B Na matriz resu ltan te B , efetu amo s as o perac¸ o˜ es : L1 ⇒ L1 + (−2)L2, L3 ⇒ (1/8)L3, L1 ⇒ L1 + 3 · L3, L2 ⇒ L2 + (−2) · L3 1 2 1 00 1 2 5/2 0 −4 0 1 ⇒ 1 0 −3 −50 1 2 5/2 0 0 8 11 ⇒ 1 0 −3 −50 1 2 5/2 0 0 1 11/8 ⇒ 1 0 0 −7/800 1 0 −1/4 0 0 1 11/8 O po sto d e A e´ 3 e a n u lid ad e d e A , e´ 4 -3 = 1 . E x em p lo 17 (S o lu c¸ a˜ o d e u m sistem a d e E q u a c¸ o˜ es L in ea res). C alcu le a so lu c¸ a˜o d o sistema { 2x1 + x2 = 5 x1 − 3x2 = 6 A matriz amp liad a d o sistema e´ ( 2 1 5 1 −3 6 ) T ran sfo rman d o a matriz a` fo rma escad a, tem-se ( 1 0 3 0 1 −1 ) qu e e´ a matriz amp liad a d o sistema equ ivalen te ao sistema in ic ial, i. e´., { x1 = 3 x2 = −1 8 CAPI´TULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES E x em p lo 18 . D etermin ar a so lu c¸ a˜o d o sistema.{ 2x1 + x2 = 5 6x1 + 3x2 = 15 A matriz amp liad a assoc iad a ao sistema e´( 2 1 5 6 3 15 ) ⇒ ( 1 1/2 5/2 0 0 0 ) O qu al equ ivale, { x1 + (1/2)x2 = 5/2 0x1 + 0x2 = 0 T emo s qu e x1 = 5/2 − (1/2)x2 , fazen d o x2 = λ , resu lta qu e a so lu c¸ a˜o pod e ser escrita n a fo rma (x1, x2) = ( 5/2 − (1/2)λ, λ ) = ( 5/2, 0 ) + λ( −1/2, 1 ) . P o rtan to este sistema admite in fi n itas so lu c¸ o˜ es. O bservar qu e a matriz tem po sto 1 , e a n u lid ad e d a matriz e´ 2 -1 = 1 . E x em p lo 19 . A n alisar a existeˆn c ia d e so lu c¸ o˜ es para o sistema{ 2x1 + x2 = 5 6x1 + 3x2 = 10 A matriz amp liad a assoc iad a ao sistema e´( 2 1 5 6 3 10 ) ⇒ ( 1 1/2 0 0 0 1 ) O qu al equ ivale, { x1 + (1/2)x2 = 0 0x1 + 0x2 = 1 C omo NA˜ O ex iste n en h u m valo r d e x1 e x2 satisfazen d o a segu n d a equ ac¸ a˜o , d izemo s qu e o sistema e´ in compat´ıvel. O bservar qu e a matriz d o sistema in ic ial tem po sto e o po sto d e su a matriz amp liad a e´ 2 . C aso G eral. D a d o o sistem a d e m eq u a c¸ o˜ es lin ea res c o m n in c o´ g n ita s a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 · · · · · · · · · · · · am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bn A p resen ta -se treˆs c a so s: (i) E x iste u m a u´ n ic a so lu c¸ a˜ o , d izem o s q u e o sistem a e´ c o m p a t´ıv el. (ii) E x istem in fi n ita s so lu c¸ o˜ es, i,´e., o sistem a e´ in d eterm in a d o . (iii) NA˜ O ex iste so lu c¸ a˜ o , d izem o s q u e o sistem a e´ in c o m p a t´ıv el. D en o ta n d o p o r A = [aij ]m×n a m a triz a sso c ia d a a o sistem a e p o r Aa , a m a triz a m p lia d a a sso c ia d a a o sistem a , tem o s o seg u in te resu lta d o . 1.3 . DETERMINANTES 9 T eorem a 2 . T emo s o s segu in tes items. (i) O sistema tem so lu c¸ a˜o ⇔ po sto d e A = po sto d e Aa . (ii) S e o po sto d e A = po sto d e Aa = p = n , en ta˜o a so lu c¸ a˜o sera´ u´ n ica. (iii) S e o po sto d e A = po sto d e Aa = p < n , en ta˜o pod emo s esco lh er n -p in c o´ g n itas, e as o u tras p in c o´ g n itas sera˜o d ad as em fu n c¸ a˜o d estas. O b serv ac¸a˜o 6 . No caso (iii), d izemo s qu e o grau d e liberd ad e d o sistema e´ n -p . E x em p lo 2 0 . S e co n sid eramo s a matriz: Aa = 1 0 0 30 1 0 −2 0 0 1 2 T emo s qu e, m= 3 , n = 3 e p = 3 . P o sto d e A = P o sto d a matriz amp liad a= 3 . L ogo , o sistema assoc iad o tem so lu c¸ a˜o u´ n ica d ad a po r x1 = 3, x2 = −2, x3 = 2. E x em p lo 2 1. S eja Aa = ( 1 0 7 −10 0 1 5 −6 ) T em-se qu e m= 2 , n = 3 e p = 2 . P o sto d e A = P o sto d a matriz amp liad a= 2 , o grau d e liberd ad e e´ 1 , pod emo s esco lh er u ma in c o´ g n ita e as o u tras d u as sera˜o d ad as em fu n c¸ a˜o d a p rimeira, i.e´., x1 = −10− 7x3, x2 = −6− 5x3 . E x em p lo 2 2 . C o n sid eramo s Aa = 1 0 7 −100 1 5 −6 0 0 0 2 m= n = 3 , po sto d e A = 2 , po sto d a matriz amp liad a= 3 , po rtan to o sistema e´ in - compat´ıvel o u seja NA˜ O tem so lu c¸ a˜o . 1.3 Determinantes 3a L i¸c a˜ o (20/ 03/ 2007) S eja A = ( a b c d ) m a triz d e o rd em 2× 2, o n d e a, b, c e d ∈ < . D efi n im o s seu d eterm in a n te c o m o o n u´ m ero ad− bc , d en o ta m o s |A| = D e t(A) = ∣∣∣∣ a bc d ∣∣∣∣ = ad− bc. 10 CAPI´TULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES E x em p lo 2 3 . D ad a A = ( 2 1 1 4 ) , tem-se qu e |A| = ∣∣∣∣ 2 11 4 ∣∣∣∣ = 2 · 4− 1 · 1 = 7. S e c o n sid era m o s u m a m a triz d e o rd em 3 d a fo rm a A = a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 D efi n im o s o d eterm in a n te (u sa n d o a p rim eira lin h a ) c o m o o n u´ m ero |A| = a11 · ∣∣∣∣ a22 a23a32 a33 ∣∣∣∣ − a12 · ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33 ∣∣∣∣ + a13 · ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32 ∣∣∣∣ = = ∣∣∣∣∣∣ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ∣∣∣∣∣∣ = D e t(A) T a m b e´m p o d e ser esc rito n a fo rm a D e t(A) = a11 · D e t(A11) = a12 · D e t(A12) + a13 · D e t(A13) S e u sa m o s a seg u n d a lin h a , tem o s : |A| = −a21 · ∣∣∣∣ a12 a13a32 a33 ∣∣∣∣ + a22 · ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33 ∣∣∣∣ − a23 · ∣∣∣∣ a11 a12a31 a32 ∣∣∣∣ = = ∣∣∣∣∣∣ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ∣∣∣∣∣∣ = D e t(A) o u D e t(A) = −a21 · D e t(A21) + a22 · D e t(A22)− a23 · D e t(A23) O b serv ac¸a˜o 7 . P ara calcu lar o d etermin an te d e u ma matriz pod emo s u sar qu alqu er lin h a o u co lu n a. C aso G eral : C o n sid era m o s A m a triz q u a d ra d a d e o rd em n , e seja A = [aij ]n×n, e Aij a su b m a triz q u a d ra d a d e o rd em (n -1), o b tid a d e A retira n d o - se a i-e´sim a lin h a e a j-e´sim a c o lu n a , ch a m a d a c o m p lem en to a lg e´b ric o d o ele- m en to aij . D efi n im o s o d eterm in a n te d a m a triz A , seg u n d o a lin h a i, p o r : D e t(A) = |A| = (−1)i+1 · ai1D e t(Ai1) + · · ·+ (−1) i+n · ainD e t(Ain) 1.4 . INV ERSA˜O DE MATRIZES 11 P rop ried ad es (a) S e o s elem en to s d e u m a lin h a (o u c o lu n a )d e u m a m a triz sa˜ o to d o s zero s, en ta˜ o D e t(A) = 0 . (b ) S e tro c a m o s d e p o si¸c a˜ o d u a s lin h a s, o d eterm in a n te tro c a d e sin a l. (c) S e m u ltip lic a m o s u m a lin h a d a m a triz p o r u m a c o n sta n te, o d eterm in a n te e´ m u ltip lic a d o p o r esta c o n sta n te. (d ) O d eterm in a n te d e u m a m a triz q u e tem d u a s lin h a s (c o lu n a s) ig u a is e´ zero . (e) O d eterm in a NA˜ O m u d a se so m a m o s a u m a lin h a o u tra lin h a m u ltip lic a d a p o r u m a c o n sta n te. (f) D e t(A ·B) = D e t(A) ·D e t(B) . (g ) D e t(A) = D e t(At) . 1.4 Inv ersa˜o d e Matrizes 4a L i¸c a˜ o (22/ 03/ 2007) D a d a u m a m a triz d o tip o A = ( a b c d ) S e D e t(A) = ad − bc 6= 0, d eseja m o s a ch a r u m a m a triz in v ersa d e A , isto e´, q u erem o s d eterm in a r u m a m a triz X d e o rd em 2, ta l q u e A ·X = X ·A = I2 C a lc u la n d o o p ro d u to , tem o s q u e: ( a b c d ) · ( x y z w ) = ( ax + bz ay + bw cx + dz cy + dw ) = ( 1 0 0 1 ) R eso lv en d o a p rim eira c o lu n a , c a lc u la m o s x e z , e e reso lv en d o a seg u n d a c o lu n a a ch a m o s y e w . E x em p lo 2 4 . A ch ar a matriz A d e o rd em 2 tal qu e A ·X = I2 , o n d e A = ( 2 1 4 3 ) D evemo s reso lver o s sistemas segu in tes: { 2x + z = 1 4x + 3z = 0 { 2y + w = 0 4y + 3w = 1 Usan d o a teo ria d as equ ac¸ o˜ es lin eares, ach amo s : x= 1 , z= -1 , y = -1 / 2 , w = 1 . Definic¸a˜o 2 1. D ad a u ma matriz qu ad rad a d e o rd em n , ch amamo s d e in versa d e A a u ma matriz B tal qu e A · B = B · A = In . Nesta caso , d en o tamo s B = A−1 e d izemo s qu e A e´ u ma matriz in versı´vel. 12 CAPI´TULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES O b serv ac¸a˜o 8 . S e ex iste a in versa, ela e´ u´ n ica. O b serv ac¸a˜o 9 . S e A e B sa˜o matrizes in versı´veis, en ta˜o A ·B e´ in versı´vel e (A ·B)−1 = B−1 ·A−1 . O b serv ac¸a˜o 10 . Nem tod a matriz tem in versa. O b serv ac¸a˜o 11. S e A e´ in versı´vel, en ta˜o D e t(A−1) = (D e t(A))−1 . T eorem a 3 . Uma matriz qu ad rad a e´ in versı´vel, se e somen te se, D e t(A) 6= 0 . Neste caso , A−1 = [bij ] t n×n, o n d e bij = (−1)i+jD e t(Aij) D e t(A) O b serv ac¸a˜o 12 . S e d efi n imo s a matriz ad ju n ta d e A , d en o tad a po r A d j A , como a matriz tran spo sta d o s co fato res d e A , temo s qu e: A−1 = 1 D e t(A) · (AdjA) . E x em p lo 2 5 . C o n sid eramo s a matriz A = [ 6 2 11 4 ] temo s qu e D e t(A) = 4 · 6− 2 · 11 = 2 6= 0, logo ex iste a matriz in versa d e A . P rimeiro calcu lamo s a matriz d o s co fato res d e A , i e´., [ 6 −11 −2 4 ] logo a tran spo sta d esta matriz, o u seja, AdjA = [ 4 −2 −11 6 ] P o rtan to , A−1 = 1 2 [ 4 −2 −11 6 ] = [ 2 −1 −11/2 3 ] R E G R A DE C AM E R C o n sid era m o s o sistem a d e n -eq u a c¸ o˜ es e n -in c o´ g n ita s. a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 ....................................................... ....................................................... an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn 1.4 . INV ERSA˜O DE MATRIZES 13 P o d em o s esc rev er n a fo rm a m a tric ia l a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · an1 an2 · · · ann · x1 x2 · · xn = b1 b2 · · bn O U A ·X = B S e D e t(A) 6= 0 , en ta˜ o A−1 ex iste e A−1 · (A ·X) = A−1 ·B ⇔ (A−1 ·A) ·X = In ·X = A −1 ·B ⇔ X = A−1 ·B . Na fo rm a m a tric ia l x1 x2 · · xn = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · an1 an2 · · · ann −1 · b1 b2 · · bn U sa n d o a fo´ rm u la d a m a triz in v ersa , tem -se q u e: x1 x2 · · xn = 1 D e t(A) · ∆11 ∆12 · · · ∆1n ∆21 ∆22 · · · ∆2n · · · · · · ∆n1 ∆n2 · · · ∆nn · b1 b2 · · bn o n d e ∆ij e´ o d eterm in a n te d a su b -m a triz d e o rd em (n -1), c o rresp o n d en te a aij .E n ta˜ o x1 = b1 ·∆11 + ·... ·+bn ·∆n1 D e t(A) O U x1 = ∣∣∣∣∣∣∣∣ b1 a12 · · · a1n b2 a22 · · · a2n · · · · · · bn an2 · · · ann ∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · an1 an2 · · · ann ∣∣∣∣∣∣∣∣ E m fo rm a g era l xi = ∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 · b1 · a1n a21 a22 · b2 · a2n · · · · · · an1 an2 · bn · ann ∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · an1 an2 · · · ann ∣∣∣∣∣∣∣∣ i=1,2, ..., n . E x em p lo 2 6 . D ad o o sistema d e 3 equ ac¸ o˜ es e 3 in c o´ g n itas: 2x − 3y + 7z − 1 x + 3z = 5 2y − z = 0 14 CAPI´TULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES resu lta qu e D e t 2 −3 71 0 3 0 2 −1 = −1 6= 0 L ogo , pod emo s u sar a regra d e C ramer, i. e´., x = ∣∣∣∣∣∣ 1 −3 7 5 0 3 0 2 −1 ∣∣∣∣∣∣ −1 = −49, y = ∣∣∣∣∣∣ 2 1 7 1 5 3 0 0 −1 ∣∣∣∣∣∣ −1 = 9, z = ∣∣∣∣∣∣ 2 −3 1 1 0 5 0 2 0 ∣∣∣∣∣∣ −1 = 18. M AT R IZ E S E L E M E N T AR E S . P a ra c a lc u la r a in v ersa d e u m a m a triz , p rec isa m o s d e u m n u´ m ero g ra n d e d e o p era c¸ o˜ es. O p ro cesso en v o lv e a in tro d u c¸ a˜ o d e m a trizes elem en ta res. E x em p lo 2 7 . D ad a a matriz A = 1 2 40 1 3 2 1 −4 M u ltip licamo s a p rimeira lin h a (L1) , po r 2 e o btemo s 2 4 80 1 3 2 1 −4 qu e e´ igu al ao p rod u to 2 0 80 1 0 0 0 1 · 1 2 40 1 3 2 1 −4 . E x em p lo 2 8 . D ad a a matriz A = 1 2 40 1 3 2 1 −4 S e permu tamo s a p rimeira e su n d a lin h a d a matriz A , tem-se 0 1 31 2 4 2 1 −4 1.4 . INV ERSA˜O DE MATRIZES 15 Q u e resu lta ser o p rod u to 0 1 81 0 0 0 0 1 · 1 2 40 1 3 2 1 −4 E x em p lo 2 9 . D ad a a matriz A = 1 2 40 1 3 2 1 −4 S e somamo s a` p rimeira lin h a d e A a segu n d a lin h a mu ltip licad a po r 2 , o b temo s 1 4 100 1 3 2 1 −4 qu e e´ o p rod u to 1 2 80 1 0 0 0 1 · 1 2 40 1 3 2 1 −4 Definic¸a˜o 2 2 . Uma matriz elemen tar e´ u ma matriz o btid a atrav e´s d a ap licac¸ a˜o d e u ma o perac¸ a˜o elemen tar com lin h as n a matriz id en tid ad e. T eorem a 4 . S e A e´ u ma matriz, resu ltad o d e algu ma o perac¸ a˜o com lin h as d e A , e´ ig u al ao p rod u to d a matriz elemen tar co rrespo n d en te com a matriz A . C orol´ario 1. Uma matriz elemen tar E1 e´ in versı´vel e su a in versa e´ a matriz elemen tar E2 qu e co rrespo n d e a` o perac¸ a˜o com lin h as in versa d a o perac¸ a˜o efetu ad a po r E1 . T eorem a 5 . S e A e´ in versı´vel, su a matriz lin h a red u zid a a fo rma escad a e´ a id en tid ad e. T ambe´m, temo s qu e A e´ d ad a po r u m p rod u to d e matrizes ele- men tares. T eorem a 6 . S e A pod e ser red u zid a a` matriz id en tid ad e, po r u ma seq” u eˆn c ia d e o perac¸ o˜ es elemen tares com lin h as, en ta˜o A e´ in versı´vel e a matriz in versa d e A e´ o b tid a como u m p rod u to d e matrizes elemen tares. E x em p lo 3 0 . S eja A = 2 1 0 0 1 0 −1 1 0 1 1 1 −1 0 0 3 16 CAPI´TULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES J u n to a` matriz A co locamo s a matriz id en tid ad e, a id e´ia e´ tran sfo rmar a matriz A n a id en tid ad e. 2 1 0 0 ‖ 1 0 0 0 1 0 −1 1 ‖ 0 1 0 0 0 1 1 1 ‖ 0 0 1 0 −1 0 0 3 ‖ 0 0 0 1 T rocamo s a p rimeira e segu n d a lin h a, 1 0 −1 1 ‖ 0 1 0 0 2 1 0 0 ‖ 1 0 0 0 0 1 1 1 ‖ 0 0 1 0 −1 0 0 3 ‖ 0 0 0 1 S omamo s a` qu arta a p rimeira 1 0 −1 1 ‖ 0 1 0 0 2 1 0 0 ‖ 1 0 0 0 0 1 1 1 ‖ 0 0 1 0 1 + 0 0 0− 1 3 + 1 ‖ 0 0 + 1 0 1 S omamo s a` segu n d a, a p rimeira mu ltip licad a po r -2 1 0 −1 1 ‖ 0 1 0 0 2− 2 1 0− (−2) 0− 2 ‖ 1 0− 2 0 0 0 1 1 1 ‖ 0 0 1 0 1 0 −1 4 ‖ 0 1 0 1 S u btra´ımo s a segu n d a lin h a d a terceira, 1 0 −1 1 ‖ 0 1 0 0 0 1 2 −2 ‖ 1 −2 0 0 0 1− 1 1− 2 1 + 2 ‖ 0− 1 0 + 2 1 0 1 0 −1 4 ‖ 0 1 01 M u d amo s o sin al d a terceira lin h a 1 0 −1 1 ‖ 0 1 0 0 0 1 2 −2 ‖ 1 −2 0 0 0 0 1 −3 ‖ 1 −2 −1 0 0 0 −1 4 ‖ 0 1 0 1 D epo is trabalh amo s co n ven ien temen te com a qu arta lin h a 1 0 0 0 ‖ 3 −3 −3 2 0 1 0 0 ‖ −5 6 2 −4 0 0 1 0 ‖ 4 −5 −4 3 0 0 0 1 ‖ 1 −1 −1 1 1.4 . INV ERSA˜O DE MATRIZES 17 D ed u zimo s qu e A−1 = 3 −3 −3 2 −5 6 2 −4 4 −5 −4 3 1 −1 −1 1
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