Lista1 Algebra Linear

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Lista de Exercícios – Álgebra Linear 
Os exercícios foram obtidos do livro “Álgebra Linear e Aplicações”, Carlos A. Callioli, Hygino H. Domingues e 
Roberto C. F. Costa. 6ª Edição, 2013. Atual Editora. 
1. Resolva os sistemas abaixo: 
a. {
 
 
 
 b. {
 
 
 
 
 
2. Determine valores de a e b que tornam o sistema compatível e determinado. Em seguida, resolva o 
sistema. 
{
 
 
 
 
 
3. Resolva os sistemas homogêneos: 
a. {
 
 
 
 b. {
 
 
 
4. Se ( )e se , prove que: 
a. ( ) 
b. ( )( ) 
c. ( )( ) 
5. Uma matriz quadrada é dita antissimétrica se . O produto de duas matrizes 
antissimétricas de mesma ordem é ainda uma matriz antissimétrica? Justifique. 
6. Determinar ( ) tal que e 
 
7. Mostrar que as matrizes da forma 
(
 
 
 
 
) 
Onde y é um número real, verificam a equação 
8. Seja Determine todas as matrizes quadradas de ordem 3 que comutam com a matriz 
(
 
 
 
) 
9. Seja ( )uma matriz que comuta com a matriz .
 
 
/. Mostre que existem números 
reais a e b tais que 
10. Determine de modo que o sistema abaixo seja de Cramer e, a seguir, resolva o sistema. 
{
 
 
 
 
11. Dada a matriz .
 
 
/ calcule 
12. No conjunto *( ) + definimos a “adição” como ( ) ( ) ( )e 
a multiplicação por escalar como no . Nessas condições, V é um espaço vetorial sobre ? 
Justifique. 
13. No conjunto V do exercício 12, definimos agora a adição usual do e a multiplicação por escalar 
da seguinte forma: ( ) ( ) Nessas condições, V é um espaço vetorial? Justifique. 
14. Seja V um espaço vetorial sobre . Mostre que o elemento neutro é único. 
15. Seja *( ) +. Definimos: 
i. ( ) ( ) ( ) 
ii. ( ) ( ) 
Nessas condições, V é um espaço vetorial sobre 
16. Mostrar que são subespaços vetoriais de ( )os seguintes subconjuntos: 
a. * ( ) 
 + 
b. * ( ) +, onde T é uma matriz dada de ( ) 
17. Provar que se S e T são subespaços vetoriais de uma espaço V, então , -. 
18. Achar um conjunto de geradores para os subespaços do 
a. *( ) + 
b. *( ) + 
19. Considere os subespaços vetoriais do , ,( ) ( )- e ,( ) ( )- 
Determinar um sistema de geradores de 
20. Dados os subespaços *( ) + e *( ) +. Determinar 
o subespaço 
21. Quais dos conjuntos abaixo são subespaços do 
a. *( ) + 
b. *( ) + 
c. *( ) + 
d. *( ) + 
e. *( ) + 
f. *( ) + 
g. *( ) + 
h. *( ) + 
22. Sejam *( ) + *( ) +e *( ) 
 + Verifique que . Em quais casos a soma é 
direta? 
23. Mostrar que os polinômios ( ) ( ) e 1 geram ( ). 
24. Sejam U e V espaços vetoriais de um espaço W. Provar que: 
a. Se , então 
b. Se , então 
25. Mostrar que os dois conjuntos {(1,-1,2),(3,0,1)} e {(-1,-2,3),(3,3,-4)} geram o mesmo subespaço 
vetorial do 
26. Mostre, por meio de um contraexemplo, que a união de dois subespaços vetoriais de um mesmo 
espaço vetorial pode não ser um subespaço vetorial. 
27. Mostre que a união de subespaços vetoriais de um mesmo espeço é também subespaço se, e 
somente se, um dos subespaços dados está contido no outro. 
28. Mostrar que os dois conjuntos abaixo formados de funções reais e contínuas geram o mesmo 
subespaço vetorial de ( )( conjunto de todas as funções reais e contínuas): 
* + * + 
29. Quais dos subconjuntos do são linearmente independentes? 
a. *( ) ( ) ( ) ( )+ 
b. *( ) ( ) ( )+ 
c. *( ) ( ) ( )+ 
d. *( ) ( ) ( )+ 
30. Quais dos subconjuntos de ( ) são LI? 
a. * + 
b. * + 
31. Mostrar que o subconjunto de vetores *( ) ( )+ é uma base do subespaço vetorial 
 *( ) +do 
32. Considere os seguintes subespaços do *( ) +e ,( ) ( )-. 
Determinar uma base e a dimensão dos subespaços U, V, U+V, e