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Apostila IME Servomecanismos - Parte 3 - Propriedades dos Sistemas de Controle

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UD-4
 
PROPRIEDADES DOS SISTE!\tIAS DE CONTROLE 
OBJETIYO 
Apresentar os tipos de sistemas e desenvolver os conceitos de estabilidadc 
c de erro estacionario para sistemas de controlc lincares, continuos c invariantes 
no tern flO. 
SUMARIO ( D' AZZO, CAPITULO 6 ) 
4.1 flltrodu y8.o 
4.2 Criterio de EswbiJidade de Routh 
4.3 Significados Fisico e Matematico 
4.4 Tiros de Sistemas de COlltl"Ole com Rel!"oayJo 
4.5 An~l1ise dos Tipos de Sistemas 
4.6 ConsUlnte de Erro E::tacionjrio 
4.7 Utilidacle dos Constantes de Erro Estacionario 
PR E-R EQ UISITOS 
- U 0-1 a UO-3 
4.1 INTRODUCAO 
S.10 seis as propriecl8dcs de fundamental imporulncia para os sistemas de 
can trolc com retroa<;50 : 
- cstabilidade; 
- crro cm regime permallente, existcncia c valor; 
- clcsemiJenho no lransill)rio; 
- controlahiliclade; 
- observabilid8clc e 
- scnsjbilicl8dc parJmCu-jc3_ 
68
 
4.2 CRITERlO DE ESTABILIDADE DE ROUTH 
A fun<;ao de transfercncia a malha fechada de urn siste1l18 de controlc 
com retroa<;ao ( rclayao de controlc ) possui a forma geral : 
C(s) P(s) P(s) 
--=--= (6.1 )
R(r) 0(5) b b /l - 1 b I./l\ ., ~ /l 5 -I- n _ I 5 + ... -I- 15 -I- )0 
R\s) E\s) Cls) _ 
- Gl s)+
-
~ 
8ls) 
Hls) .... 
fig G.l Diagr:lm:l dc Blocos E1cmcntar. 
Q(s) = a c a equa<;ao caractcristica (6.2). 
A estabiJidade da resposta c(t) ex.ige q lie todas as raizes da eq uayao 
caractcristica ( p610s da rcla<;ao de controlc ) pos5uam parte real neg8(iva. 
o crilcrio dc eSlabllidadc de ROUlh estabelccc lim melodo simples de 
determina<;ao do numero de raizes de Q(s) com pane real pOSiliv<l, scr-. a 
nccessidadc de determinar exprcssamente essas raizcs. 
o crileria de ROUlh indica a ex.islcncia e a quanlidacle de palos cia relayao 
de cOl1trolc ( pc)los de malha fcchada ) situJdos no semiplano direito do plano s. 
o criterio de Routh, portanto, permitc apenas concluir sc 0 sistema C 
csui\cl ou inst3\'el. 
Se 0 (ermo 6 0 for nulo, divide-sepor 5 a expressao ale oblcr lima equa(,:<lo 
na forma (0.2). 
0" wcl'icicnlcs hI sao IlLlll1CIOS I'cais, C Ladas 3S pOlcncias dc S, de .\" J 
so, dc\cll1 CSl;lr prcsenlcs na cqua<;Jo caractcrislica. 
69
 
AS eocfieientes bi sao dispostos no algoritmo de Routh da seguinte maneira : 
As eonstantes da tereeira linha, C" C2, C3, cle., sao calculaclas com 0 auxilio 
das duas linhas anteriores, .In e .In-I. 
bn _ I • b n - 2 (6.3) 
/)/I-J 
b n _ I . b /I - 4 - b'I . b n - 5 (6.4) 
! 
b n - J 
b n _ 1 .!J /I -C> - bn . b n - 7 (6.5)b _ 
n 1 
Este procedimento conlinua ::llc que tudos os demais elementos Ci scjum 
nulos. 
As eonstanles d;-t quarLa linha, ell, el2, d3, etc., s50 calculaclas com 0 auxilio 
clas du:.Js linhas Jnteriorcs, .In-I es Jl - 2 . 
/ C1 . h,1- 3 - b,[- I' C-,_ (C).6)(I -__ ('I 
(6.7)
 
Estc procedimento continua ate que todos os demais elementos di sejam 
nu!os. 
o rcstantc das linhas c gerado de maneira analoga. 0 dispositivo 
complcto possui forma triangular. As duas ultimas linhas, SiC sa , possuel11 um 
unico termo cada. 
Criterio de Routh 
" 0 numero de raizes cia equac;:ao caracteristica com parte seal positiva c 
igual ao numero elas mudanc;:as de sinal dos termos da primeira coluna ". 
Estabilidaele do SistemJ de Controlc 
o sistema scr[l estilvcl se toelos as termos da primeira caluna tiverem 0
 
mcsmo sinal.
 
JExempla I : Q(s) = 55 + S4 + IOs3 + 72s2 + I52s + 240 = 0 (6.9) 
.'1 5 10 152
 
S4 72 240
 
S3 
-62 -88
 
S2 70,6 240
 
Sl 122,6 
sa 2'-10 
Hj (luas Illudanps de sin~ll na primeira colunC1. H~l, partanto, eluas raizc::> 
Ja cquac;ao car8cteristica no ::icmiplano s cia dircita. 
o "istC!ll~l C, pOl'tanto. inst~l\cl. 
71 
Este algoritmo nao fornece os valorcs das raizes, nem distinguc se sao 
reais ou complexas. 
Fatorando Q(s) obtcm-se as cinco raizes : 
5 2,3 = - 1 ± j j3 54,5 = + 2 + j4 
eorema 1 - Divisao de uma linha 
II
 Os coeficientes de qualquer linha podem ser lllultipJicaclos Oll divididos 
par um numcro positivo scm que haja troca de sinais na primeirc caluna ". . 
Excmplo 2 : Q(5) = 56 + 355 + 254 + 95 3 + SS2 + 125 + 20 = 0 (6.10) 
2 5 20
 
3 9 12 dividindo por 3
 
.1 3 4
 
54 
-I 20
 
S3 4 24 dividindo pOl' 4
 
6
 
52 7 20
 
51 3,14 multiplicando par 7
 
22
 
SO 20
 
72
 
~ 
rimeira coluna 
J 
II Quando 0 primeiro termo de uma linha c igual a zero e os demais n50 
sao todos nulos, as seguintes mctodos podem scr utilizados : 
I)	 Fazer na equac;iio original 5 = Ilx c resolver para as raizes de x com parte real 
positiva. a nUl11ero de raizcs x com parte real positiva sera 0 meSI110 que 0 de 
raizes 5 com parte real positiva. 
2)	 Multiplicar Q(s) par (s + I), que introduz uma raiz adicional negativa. 
Formar, entao, 0 algoritmo de Routh para 0 novo polinomio". 
Exemplo 3 : Q(5) = S4 + 53 + 2.1'2 + 25 + 5 = 0	 (6.1 [) 
S4 
S3 
S2 
51 
I1)	 s - ­ X 
x 4 
x 3 
x 2 
Xl 
XO 
2 5 
2 
0 5 
') 
Q(x) - 5x4 + 2x 3 + 2x2 + X + I = 0	 (6.12) 
_.\1.	 \ 
I~."-1 _ 
­5	 2 ~ ~ )~ ~ -
-
rl£. )- =+-)
1'-;(, 
f'.I~ll	 
- !... 
2 - ~ 
" , .~ ~ " ..., 
-2	 \:7-c) -- ~ 
I. 
-I 
I
" 
,~	 be.- zt ~)~ ()!...5	 ... 
­\ i-l;.. 
2	 Hj d LIas trocas de sinal na primeira coluna. 
Q(s) tCI11, portanto, duas raizcs com parte rca] positiv:l. 
a sistema c insulvel. 
(,	 j . ,))\) l -( Il	 . ) -=- ,./-)\-1- -+ l 
i ~ Y::-- +- ' i.L 4- 'l ~:):)(~	 :L ,.. .::L1,	 
-\-L +
73 
\ 
--
+
--.Q 
I I':C '3 ) / ~ 
~ 3 7 
2 4 5 
2 9 
-10 10 
51 I I
 
10 Conclusoes idcnticas as de I).
 
Teorerha 3 - Ocorrencia de uma linl~ 
I -; 
~7 
/ "Quando todos os coeficiel1tes de uma linha sao iguais a zero, procedc-sc 
cIa forma seguinte : 
I) Formar uma equa~ao auxiliar a partir da linha que precedc a linha nub. 
2) Complctar a tabela de Routh substituindo os coeficientes nulos pelos da 
dcri\'ad~ da equa~ao auxiliar". 
As ralzes cIa equa~ao auxiliar sao tal11bcl11 ralzes da equa~ao original. 
Ocorrcm aos pares c sao sil11ctricas em re\ayao <[ origem. 
/ 
Exem plo 4 : Q( 5 ) = 54 + 25 3 + 115 2 + 185 + 18 = 0 (6.13) 
II 18 
2 18 
9 
2 18 
9 Lin ha precedel1 tc ( 52) 
o Linha nula (5 I) 
2 
EqUJyJO auxiliar S2 + 9 = 0 
DerivJcJa cia CQUCly80 Juxiliar 25 = 0 
74
 
As raizes da equayao auxiliar, que tambem anulam a equa9ao original, 
sao: 
s = ±j3 
Como nao hOU\fe troca de sinal na primeira coluna, entao nao ha raizes 
de Q(s) = a no semiplano dircito. 0 sistema C, portanto, esulvel. 
Eg uUyao caracteristica incluindo ganho K 
A fun9ao de transfercncia a malha fechada ( rcla9llo de controle ) pode 
nao apresentar urn denominador fatorado explicitamente. 
Exemplo: 
C(s) K(s +2) 
.., (6.16) R(s) s (s + S) (s- + 2 s + 5) + K ( s + 2) 
o valor de K determina a localizaryao dos palos da rclaryao de controlc 
(raizes da equaryao caracterlstica ) e, em COl1scq i.icncia, a estabilidade do sistem::. 
A faixa de valores de K para a qual 0 sistema c estavcl pode ser obtida 
com 0 emprego do algoritlTIo (Ie Routh. 
Exemplo 5: Q(sr~s4 + 7s 3 + !5s 2 + (2S + K)s + 2K = a (6.17) 
15 2K 
7 
80 - K 14K 
2S + K 
(SO - K.) (25 + K) 
80 - K 
- 98[( 
14K 
s' 
14K> a 
80 - K > 0 
P( [() = (80 K) (2S + K) 
K > 0 
K < 80 
98K = - 1\./2 - 43K + 2000 
P(K) o Ullzes: K1 28,12 e K2 - 71,12 
75 
---P-.~ 
d P( K) = _ 2K _ 43 = 0 K = 21,5
dK 
P( - 21,5) = 2462 => f(= 21,5 cponto de maxima. 
Portanto, K < 28,12 
Para 0 sistema scr esutvel: 0 < f( < 28,12 
4.3 SIGNIFICADOS FisICO E MATEMATICO 
Entradas Paclronizadas 
TIPO DE ENTRADA r( t) R(s) 
DEGRAU Ro U_I(t) Ro - s 
RAMPA R1 t 1'-1 (t) R1-52 I 
~ 
PARABOLA t
2 
U-l(t)R,­
-