Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UD-4 PROPRIEDADES DOS SISTE!\tIAS DE CONTROLE OBJETIYO Apresentar os tipos de sistemas e desenvolver os conceitos de estabilidadc c de erro estacionario para sistemas de controlc lincares, continuos c invariantes no tern flO. SUMARIO ( D' AZZO, CAPITULO 6 ) 4.1 flltrodu y8.o 4.2 Criterio de EswbiJidade de Routh 4.3 Significados Fisico e Matematico 4.4 Tiros de Sistemas de COlltl"Ole com Rel!"oayJo 4.5 An~l1ise dos Tipos de Sistemas 4.6 ConsUlnte de Erro E::tacionjrio 4.7 Utilidacle dos Constantes de Erro Estacionario PR E-R EQ UISITOS - U 0-1 a UO-3 4.1 INTRODUCAO S.10 seis as propriecl8dcs de fundamental imporulncia para os sistemas de can trolc com retroa<;50 : - cstabilidade; - crro cm regime permallente, existcncia c valor; - clcsemiJenho no lransill)rio; - controlahiliclade; - observabilid8clc e - scnsjbilicl8dc parJmCu-jc3_ 68 4.2 CRITERlO DE ESTABILIDADE DE ROUTH A fun<;ao de transfercncia a malha fechada de urn siste1l18 de controlc com retroa<;ao ( rclayao de controlc ) possui a forma geral : C(s) P(s) P(s) --=--= (6.1 ) R(r) 0(5) b b /l - 1 b I./l\ ., ~ /l 5 -I- n _ I 5 + ... -I- 15 -I- )0 R\s) E\s) Cls) _ - Gl s)+ - ~ 8ls) Hls) .... fig G.l Diagr:lm:l dc Blocos E1cmcntar. Q(s) = a c a equa<;ao caractcristica (6.2). A estabiJidade da resposta c(t) ex.ige q lie todas as raizes da eq uayao caractcristica ( p610s da rcla<;ao de controlc ) pos5uam parte real neg8(iva. o crilcrio dc eSlabllidadc de ROUlh estabelccc lim melodo simples de determina<;ao do numero de raizes de Q(s) com pane real pOSiliv<l, scr-. a nccessidadc de determinar exprcssamente essas raizcs. o crileria de ROUlh indica a ex.islcncia e a quanlidacle de palos cia relayao de cOl1trolc ( pc)los de malha fcchada ) situJdos no semiplano direito do plano s. o criterio de Routh, portanto, permitc apenas concluir sc 0 sistema C csui\cl ou inst3\'el. Se 0 (ermo 6 0 for nulo, divide-sepor 5 a expressao ale oblcr lima equa(,:<lo na forma (0.2). 0" wcl'icicnlcs hI sao IlLlll1CIOS I'cais, C Ladas 3S pOlcncias dc S, de .\" J so, dc\cll1 CSl;lr prcsenlcs na cqua<;Jo caractcrislica. 69 AS eocfieientes bi sao dispostos no algoritmo de Routh da seguinte maneira : As eonstantes da tereeira linha, C" C2, C3, cle., sao calculaclas com 0 auxilio das duas linhas anteriores, .In e .In-I. bn _ I • b n - 2 (6.3) /)/I-J b n _ I . b /I - 4 - b'I . b n - 5 (6.4) ! b n - J b n _ 1 .!J /I -C> - bn . b n - 7 (6.5)b _ n 1 Este procedimento conlinua ::llc que tudos os demais elementos Ci scjum nulos. As eonstanles d;-t quarLa linha, ell, el2, d3, etc., s50 calculaclas com 0 auxilio clas du:.Js linhas Jnteriorcs, .In-I es Jl - 2 . / C1 . h,1- 3 - b,[- I' C-,_ (C).6)(I -__ ('I (6.7) Estc procedimento continua ate que todos os demais elementos di sejam nu!os. o rcstantc das linhas c gerado de maneira analoga. 0 dispositivo complcto possui forma triangular. As duas ultimas linhas, SiC sa , possuel11 um unico termo cada. Criterio de Routh " 0 numero de raizes cia equac;:ao caracteristica com parte seal positiva c igual ao numero elas mudanc;:as de sinal dos termos da primeira coluna ". Estabilidaele do SistemJ de Controlc o sistema scr[l estilvcl se toelos as termos da primeira caluna tiverem 0 mcsmo sinal. JExempla I : Q(s) = 55 + S4 + IOs3 + 72s2 + I52s + 240 = 0 (6.9) .'1 5 10 152 S4 72 240 S3 -62 -88 S2 70,6 240 Sl 122,6 sa 2'-10 Hj (luas Illudanps de sin~ll na primeira colunC1. H~l, partanto, eluas raizc::> Ja cquac;ao car8cteristica no ::icmiplano s cia dircita. o "istC!ll~l C, pOl'tanto. inst~l\cl. 71 Este algoritmo nao fornece os valorcs das raizes, nem distinguc se sao reais ou complexas. Fatorando Q(s) obtcm-se as cinco raizes : 5 2,3 = - 1 ± j j3 54,5 = + 2 + j4 eorema 1 - Divisao de uma linha II Os coeficientes de qualquer linha podem ser lllultipJicaclos Oll divididos par um numcro positivo scm que haja troca de sinais na primeirc caluna ". . Excmplo 2 : Q(5) = 56 + 355 + 254 + 95 3 + SS2 + 125 + 20 = 0 (6.10) 2 5 20 3 9 12 dividindo por 3 .1 3 4 54 -I 20 S3 4 24 dividindo pOl' 4 6 52 7 20 51 3,14 multiplicando par 7 22 SO 20 72 ~ rimeira coluna J II Quando 0 primeiro termo de uma linha c igual a zero e os demais n50 sao todos nulos, as seguintes mctodos podem scr utilizados : I) Fazer na equac;iio original 5 = Ilx c resolver para as raizes de x com parte real positiva. a nUl11ero de raizcs x com parte real positiva sera 0 meSI110 que 0 de raizes 5 com parte real positiva. 2) Multiplicar Q(s) par (s + I), que introduz uma raiz adicional negativa. Formar, entao, 0 algoritmo de Routh para 0 novo polinomio". Exemplo 3 : Q(5) = S4 + 53 + 2.1'2 + 25 + 5 = 0 (6.1 [) S4 S3 S2 51 I1) s - X x 4 x 3 x 2 Xl XO 2 5 2 0 5 ') Q(x) - 5x4 + 2x 3 + 2x2 + X + I = 0 (6.12) _.\1. \ I~."-1 _ 5 2 ~ ~ )~ ~ - - rl£. )- =+-) 1'-;(, f'.I~ll - !... 2 - ~ " , .~ ~ " ..., -2 \:7-c) -- ~ I. -I I " ,~ be.- zt ~)~ ()!...5 ... \ i-l;.. 2 Hj d LIas trocas de sinal na primeira coluna. Q(s) tCI11, portanto, duas raizcs com parte rca] positiv:l. a sistema c insulvel. (, j . ,))\) l -( Il . ) -=- ,./-)\-1- -+ l i ~ Y::-- +- ' i.L 4- 'l ~:):)(~ :L ,.. .::L1, -\-L + 73 \ -- + --.Q I I':C '3 ) / ~ ~ 3 7 2 4 5 2 9 -10 10 51 I I 10 Conclusoes idcnticas as de I). Teorerha 3 - Ocorrencia de uma linl~ I -; ~7 / "Quando todos os coeficiel1tes de uma linha sao iguais a zero, procedc-sc cIa forma seguinte : I) Formar uma equa~ao auxiliar a partir da linha que precedc a linha nub. 2) Complctar a tabela de Routh substituindo os coeficientes nulos pelos da dcri\'ad~ da equa~ao auxiliar". As ralzes cIa equa~ao auxiliar sao tal11bcl11 ralzes da equa~ao original. Ocorrcm aos pares c sao sil11ctricas em re\ayao <[ origem. / Exem plo 4 : Q( 5 ) = 54 + 25 3 + 115 2 + 185 + 18 = 0 (6.13) II 18 2 18 9 2 18 9 Lin ha precedel1 tc ( 52) o Linha nula (5 I) 2 EqUJyJO auxiliar S2 + 9 = 0 DerivJcJa cia CQUCly80 Juxiliar 25 = 0 74 As raizes da equayao auxiliar, que tambem anulam a equa9ao original, sao: s = ±j3 Como nao hOU\fe troca de sinal na primeira coluna, entao nao ha raizes de Q(s) = a no semiplano dircito. 0 sistema C, portanto, esulvel. Eg uUyao caracteristica incluindo ganho K A fun9ao de transfercncia a malha fechada ( rcla9llo de controle ) pode nao apresentar urn denominador fatorado explicitamente. Exemplo: C(s) K(s +2) .., (6.16) R(s) s (s + S) (s- + 2 s + 5) + K ( s + 2) o valor de K determina a localizaryao dos palos da rclaryao de controlc (raizes da equaryao caracterlstica ) e, em COl1scq i.icncia, a estabilidade do sistem::. A faixa de valores de K para a qual 0 sistema c estavcl pode ser obtida com 0 emprego do algoritlTIo (Ie Routh. Exemplo 5: Q(sr~s4 + 7s 3 + !5s 2 + (2S + K)s + 2K = a (6.17) 15 2K 7 80 - K 14K 2S + K (SO - K.) (25 + K) 80 - K - 98[( 14K s' 14K> a 80 - K > 0 P( [() = (80 K) (2S + K) K > 0 K < 80 98K = - 1\./2 - 43K + 2000 P(K) o Ullzes: K1 28,12 e K2 - 71,12 75 ---P-.~ d P( K) = _ 2K _ 43 = 0 K = 21,5 dK P( - 21,5) = 2462 => f(= 21,5 cponto de maxima. Portanto, K < 28,12 Para 0 sistema scr esutvel: 0 < f( < 28,12 4.3 SIGNIFICADOS FisICO E MATEMATICO Entradas Paclronizadas TIPO DE ENTRADA r( t) R(s) DEGRAU Ro U_I(t) Ro - s RAMPA R1 t 1'-1 (t) R1-52 I ~ PARABOLA t 2 U-l(t)R, -2 R2 -53 I J As trcs cntradas padronizadas : - aproximam J. maioria dos sinais de comando; - constituelll-sc em meio de compara<;ao do descmpenho de difetentes sistemas; - sao de faciJ gera<;ao e - S30 suficicntell1ente severas rara testar 0 sistema. Em diferentes sistemas ;1 \ariavel controlada C(l) pode significar posi<;Jo, Yclocidacle, temperatura, gradicnlc de tempcratura, p['cssao, vl.1zao, acelera<;ao :Ja vaz30, tens30, corren te, nivel, ctc. 76 f" Geralmente as grandezas importantcs sao: - variavel controlada c(t) dc(t) - sua derivada primeira dt tflc( t) - sua dcrivada segunda dt 2 Cada uma dessas func;6es matematicas apresehta urn significado fisico prcciso. Uma vcz relacionados os blocos dos diagramas as func;6es de transfercnCia correspondentcs torna-se irrc!cvante, do ponto de vista da analise, q llal C 0 significado fisico da variavcl con trolada. 4.4 TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROLE COM RETROACAO c (s)R( s) E(s) G (s) Cts) Func;ao dc transfercncia a malha aberta : G(s) Formas dc G(s) : Ko (I + T1 s ) (I + T2 s ) . G(s) (6.18)([ + T s ) (1 + Tb S ) .a K[ (1 + T[s)(1 + T2 s) ... qG(s) = (6 .L) s (1 + Tn S ) (I + TIJ s ) .,. K2 (1 + T, s) (1 + T2 S ) .,.G(s) - (6.20) S2 (! + TQ S ) (I + Tb S ) .. Forma gencralizada de G(5) : fig 6.4 Sistema de Conlrole com Reiroa~ao Unil:iria. C(s) £(s) v (I 'I -L I 21\lIt T .ItS, ')2 5 + C(S) = K", C' (5) I 77 Grau do denominador: n = m + u ~ w + 1 aJ , a2. ... coeficien tes constan tes . . b l ,b2 • .•. - coeficientes constantes. m - constante de ganho de G(5).K· m = 0, 1,2, ... = tipo da fun~ao de transfercncia. G' (5) = Fun~ao de transfercncia clo canal cJireto com ganho unitario. A partir do momenta em que 0 sistema fisico c cxpresso matematicamente, a analise feita em 4.5 e 4.6 independc de sua natureza. Os tipos mais frequentes de sistema de contrale com retroa~ao se enq uadram nas tres categorias expressas pelas eq ua~6es (6.18) a (6.20). Os diversos tipos de sistema de cont[~ole aprescntam a propriedade de responder a uma excitac;ao constante com: - Tipo 0 - valor constantc ( posi~ao constantc ) da variavel controlada; - Tipo 1 - taxa de varia~ilo constante ( vclocidaclc constantc ) cia varia.vel controlada; Tipo' 2 - segunda dcrivada constante ( acelcrac;ao constante ) da vari:\vel con trolada. A classificac;:ao acima, pOl' si mesma, conduz it identificac;:ao do sistema a . partir cia func;:ilo de transfcrcllcia do canal dircto. 4.5 ANALISE DOS TIPOS DE SISTEMAS Lembretes : 1) Tcorema do valor final lim f(t) = lim s F(s) (6.22) {->ex> 5->0 2) Tcorcma da derivac;ao dm c(t) } SOl C(5) (6. ~3) d t m (condi~6cs iniciais l1ulas) A func;ao de transferencia do canal c1ireto, que define 0 tipo de sistema com retroac;ao uniuiria, pode scI' expressa sob a forma fatorada segundo as constantcs de tempo ligadas aos polos e zeros do canal dircto : C(s) KJn (1 + T l s) (1 + T2 s) . (6.24)C(s) £(s) snl( 1 + T s ) (1 + Tb s) .a Relayao entre a derivada cia res posta e 0 eno e:.tacionario : (6.25) Aplicando os teorcmas clo valor final e cla derivac;ao : e(t) ss lim e(t) = lim [s £(s) ] = [--;.;:;.0 5- 0 S (I + To s ) (I + Tb s) ... ( ) ] lim - srnC s s ~ 0 [ Km (I + TJ s ) ( I + T2 s) ... lim s [ sm C(s) ] = l~ lim s F(s) = Krn S -. 0 l\.m S ~ 0 d"'c(t)1 rlim j(t) = K 1mKm r -)oc.o m ' -~oo dr' dJnc(t)ss ( ss "steacly state" ) (6.28) Kill dt m dill c( t)ss (6.29) dt lil Quando a derivJda for constante em (6.29), tem-se : e(t)" = COl1stantc = Eo tim c(t)ss (6.30) K,lIEu = dt l11 Rc](lyao entre a excita<;:ao C 0 erro cstacionilrio : C(5) G(5)£(5) I C(s) G(s) I + G(5) H(s) R(s) 79 (6.32)1£(s)"..',. '. Como: H(s) 1= +G(s) R(s) Entrando com (6.24) em (6.32) : E(s) = ----'1'-- . R(s) . K (1 + T s) (1 + T2 s) ...m J1+ sm (1 + To s ) (1 + Tb s) ...E(s) --------------------R(s) sin (J + To s ) (1 + Tb s) ... + Ie (1 + T j s ) (1 + T2 s ) ... (6.33) Aplicando 0 teorelTlQ do valor final: . [ b s_)_._ ... ] R(s)~--sm-(~I~+-T-a~s)_(_1_+_T_ .. e(t)ss = lim s s ..... 0 sm (1 + Ta s ) (I + Tb s) ... + Km (1 + TIS) (1 + T2 S ) '" (6.34) o erro estacionario eSUt, agora, relacionado a excita~ao R(s). Este erro c a scguir analisaclo para tres tipos de sistema c para as trcs entradas padronizadas. 1) ITl = 0 - sistema tipo zero a) Excita~ao em degrau R(s) - Rs o s 0 (1 + Ta s)( I + Tb s) ... ]e(t)ss = jim s -0---------------------- [s ..... 0 S (1 + T s ) (I + Tb s) ... + /(0 (1 + T 1 s) (I + T2 S ) '" a Ra (6.35) e(!)ss = K = cOl1stante = Eo =1= 0 1 + () CONCLUSAO: Um sistema tipo "0" submeticlo (l cntrada constante proclLIz respo:3t<1 constante e sinal atuante tambcm constante. " (fOc(!);sAplicando (6.30) : 1\.0 Eo = --- = c(t),s = Cod!o A cxprcssao acima mostra que em sistcmas tipo "0" c neccss{trio LIm erro constantc, Eo ,para que sc produza LIma rcsposta constante desejada, Co. so Ro t -7- KoCo KoRoCo 1+ Ko t Ko Ro + Ko t fig 6.5 Rcsposta Estaeion;lria de 11111 Sistcma Tipo "0" a lima Entrada em Dcgrall. b) Excitayao em rampa R(5) 5° (1 + Tn 5)( 1 -I- Tv 5) ... ] R] e(t).u = lim s [ 0 s -·0 s (I + T a 5 ) ([ + Tb 5) ... + Ko (I + T 1 s) (I + T2 s ) ... 52 Ie(I)" ~--=l R)C(t) colltcm 0 termo --- I. + Ko CONCLUSAO: Um sistema cio tipo "0" submetido a entrada do tipo rampa produz como resposta outra rampa cic menor inclinayao, com erro que aumenta com tempo. Urn sistema do tipo "0" nao podc scguir uma entrada em rampa . REGIME --~~- PERMANENTE ... te(tl~At+B C(tl I.L:~ --'~ L Figllra : Rcsposta Estaciol1:'lria £Ie llm Sistema Ti(lo "0" a lIma Entrada cm Ibmpa. 81 c) Excita9ao em pad.bola R(s) sO (I + T s)( 1 -I- T s) '" a u ---- _-.-1 R~e(t)ss = Ii~. ':;" -j.-U '.: \.' )\ .1_ !.;'. ('[ -1- T <; \ ( ~ _ .. , : 1.:J \ - 1 ... .: \ .... + T2 5) ... J ..,) Um sistema do tipo "0" nJo pode seguir uma entr<:lda em parabola. e(t)ss 00 2) m - sistema tiro Ro a) Excitac;ao em dcgrau R(s) - 5 Um sistema do IIp::: segue UilI<l. cnLr[,da de \<dor COllSUlnte corn erro nulo. b) Excitac;ao em rampJ R(.\: )( < T ,.)s I ( 1 + Tr; S ; \ J +- ~. h ..... ... R[ c(t)ss = lim 5 r I / , 2 .1->0 _L -c' ) ( Il 5 ! I ! :'J S J + Th S) ... + /(1 ( ! + T: s) ( I + T). S) 1 S " -.J ,-----------------, I R. iI c(f:.-- :.o.-=: -;- = constantc = E, =!= 0 (6.42)Ii '-~ K] ~ II i _____...-1 Urn sistema (j ..Em sistemas do tipe 1 C n':':~:>\~lriu Lim erro C0r~:;, .. ; U','__I /...-- - ..' ..... produza uma rcspostCl em r~lmpa. A I __ REGIME . ~ PERMANENTE t Fig 6.6 Resposla Estacion:'iria dc Sistcma Tipo I a uma Entrada cm R:ul1pa. c) Excita<;ao em parabola R(5) = 51 ([ + Trz 5)( I + Tb 5) ... ] K) e( t).u =PTo 5 [ -5-1-(-[--1--,-T--5-)-(-1-+-T--5-)-.-oo-+-K-[-(-I-+-T-[-5-)-(-1-+-T--5-)-oo.- 5; a b 2 ' R2 e(t) contem 0 termo K t. , Urn sistema do tipo I nao pode seguir uma entrada em parabola. 3) ill = 2 - sistema tipo 2 Ro a) Excitac;;ao em degrau R(5) 5 l 52 (1 + Tn 5)( I + Ttl 5) 00. e(t)ss = lim 5 -2--------------------- J _~o s ~ 0 5 (1 + T 5 ) (1 + Tb 5) ... + K2 (I + T[ 5 ) (I + T2 -" ) ...a (6.49) Urn sistema do tipo 2 segue uma entrada de valor constante com erm nuto. ( r \ \! 1'G , ' 83 ~ b) Excitayao em rampa . R(5) = e(t)ss = lim 5 [ i_(_I_+_T_a_5_)(_I_+_Tb_5_)_... :_l _R_~ s -+ 0 i (I + T 5 ) (1 + Tb 5) ... + K2 (I + T1 5 ) (1 +. T2 .) ) _.. J 5a (6.53) Um sistema do tipo 2 segue uma entrada em rampa com erro nulo. c) Excitayao em parabola R(s) = S 2 (1+ Tas) (1 + Tb 5) ... ] e(t)ss = lim 5 [ s -+ 0 52 (I + Ta S ) (1 + Tb s) ,,_ + K2 (1 + T1 s) (1 + T2 s) .. , R2 (6.61)e(t)ss = -K = constante 2 . . Urn sistema do tipo 2 submetido a entrada em padbola produz uma re~posta em panlbola com sinal atLlante constante (Eo). Em sistemas do tipo 2 C neccssario urn erro constante, Eo , para q lle se produza uma resposta em parabola. rll) Fig G.7 Rcsposta Estacion:'lria tic lIlll Sistema Tipo 2 a II IIIa Entrada elll Par:il.Jola. \ ~ ({} ( , I Tabela 6.1 (D'AZZO, pag. 176) Propricdades' da rcsposta estacionaria de sistemas cst<iveis com retroac;ao unitaria. Sistema Derivadostipo m Dr~Dc~OR.u.,(1) K.R, R, Co R,lu.,(t) Dr" Dc1+ K. I + Co 1+ K. I - • ( ... R, I 2( I + K.) I - C,I C. o R, K, - C,I C. o o . 0 tJ - 0 7 tP 7 ,.~ = 0\ ..~ t-A~\ ly1/ K! + ! - (). N ~ - ~ 1 -~ =0 c '-::> iZ ~ ~-\. /)ll~\ .'. .~. K.R. . 2( I + K.) I" + C,I + C. R,I RI-B.!. , K, R,I' _ R, 2 K, R.I' ---:>- + C, I .. C, '( \ l r R.u .,(1) R.I' -r-u ,II) R,IU .,(1) R,IU ,(I) R.I 'yu ,(I) R.I'2 u .,(1) x o Or ~ Dc ~ 0 R, K, Dr =0<' = 1<, Dr" Dc o Dr=Dc=O o C-.- = Dc =R, D'r ~ D'e = R, Dr = Dc =R,t l ! \\'. 85 2 GAYAKWADjSOKOLOFF . "ANALOG AND DIGITAL CONTROL SYSTEMS" Input SY5tem Step Ramp Parabolictype en =constnnt e -4> 00o is e -+ 00 11 en = constant ej5 =constant Figure 5-6. Graphical characterization of the steady-state error for selected conditions of input and system type. 86 4.6 CONSTANTE DE ERRO ESTACIONA.RIO Uma importante especificaC;30 de desempenho de sistcma~; de contrale e a constante de erro estacionario. Ela traduz a capacidadc do sistema para manter a resposta com urn determirwdo valor e com erro minimo . . E, assim, uma medida de precis50, em regime permancntc, de sistemas de contrale estaveis com retraac;ao unitliria. As constantes de erro estacionario sao definidas para as trcs formas particularc~ de entrada: degrau, rampa, e parabola. As deduc;oes a seguir independem de qual seja 0 tipo do sistema. a) Constante de eno estacionario ao degrau Definic;ao : VALOR ESTACIONARIO DA RESPOSTA c(t)ss - VALOR ESTACIONARIO DO SINAL ATUANTE c(t);s S6 edefinida para a entrada em degrau r(t) = Ro1L,(t). Aplicando 0 teorema do valor final a resposta e ao sinal atuante : .., ~ . [ G(s) G(s)c(t)jj = lim sC(s) lim s ~o J lim [ Ro]j-+O j-+Oj-+O 1 + G(s) 1 + G(s) 1 1e( t)jj lim s£(s) lim [5 -Ro] = r1m [ RoJj-+Oj-+O 1 + G(s) 5 j -+ 0 I + G(s) G(s) lim s->O [ 1 + G(s) RaJ K = p [ RoJ1lim 5->0 1 + G(s) Kp = lim G(s) (6.7G)s->o Partindo de G(s) em (G.24) : Sistema tipo 0 Ko (I + T] s ) (I + T) s) ... K - lim ------------ p s->O sO(I + Tas)(l + Tbs) 87 Sistema tipo I K1 (I + T1 5) (I + T2 5) '" K = lim -----~----- K=oop p s -> 0 s\ I + T a s)(I + Tb 5) ... Sistema tipo 2 K2 (I + T1 5) (I + T2 s) '" /(p - lim ---------- /(=00 s -> 0 52( I + T 5 ) (1 5) ... p a + Tb b) Constantc de crro cstacionario it ramra Dcfiniyiio : K = VALOR ESTACIONARIO DA DERIVADA DA RESPOST-\ v VALOR ESTACIONARIO DO SINAL ATUANTE '-- ..-1 de(t)ss dtK = (G.80)v S6 C dcfinida para a entrada em rampa ret) = R1tu_l(t). A transformada de Laplace cia primeira derivada da rcsposUl C : -de(!) ] G(5) g; --;;r = 5 C(5) = 5 1 + G(s) R(s) (6.81)l Aplicando 0 teorema do valor final obtcm-se 0 valor em reg 1111 C pcrmancnte da dcrivada da resposta e do sinal atuante : dC(~;'u = lim s[sC(s)J = lim [52 G(s) R;] = lim [ G(s) 5 ..... 0 5->0 1 +G(s) 5- 5 ..... 0 1+ G(s) e(t)S5 = lim 5£(5) lim [5 R~ ]= lim [ I R'] (6.~:J) 5 ..... 0 5 ..... 0 1+ G(s) Sk 5 ..... 0 1+ C(s) .\ lim. r G(s) R ] 5 ..... 0'- I +G(s) I K = v lim r 1 2] 5 ..... oL 1 + G(s) 5 88 (6.84)K = lim sG(s)y 5-+0 Sistema tipo a Ko (1 --I- 1'1 s) (1 --I- 1'2 s) ... K = lim 5 ----------- [( = av v 5 -+ 0 sO(1 --I- 1' s ) (I --I- l'b s) ... a Sistema tipo 1 [(1 (1 --I- 1', s) (1 --I- 1'2 s) ... K = lim 5 ---------- y s -+ 0 s\ 1 --I- 1' s) (1 --I- 5) ... a Tb Sistema tipo 2 . [(2 (1 --I- T1 s) (1 --I- 1'2 5) ... K = 11m s -2---------- K=cov 5-+0 5 (I --I- Tas)(l --I- Tbs) ... v c) Constante de erra estacionaria ;:'\ parabola Defini<;iio : VALOR ESTACIONARIO ,DA SEG. DERIV. DA REsrOST0 VALOR ESTACIONARIO DO SINAL ATUANTE ~ I dr ") K = (().~9) n S6 Cdefinida para (1 entrada eIll parclbola r(t) A transformaua de Laplace cia segllncl~l (Icrivacla da rcsposL! C : ~,(~~( \ " lrn\\t~, '" t Aplicando 0 teorema do valor final obtem-se 0 valor de regime permanente da segunda derivada da resposta e do sinal atuante : 2 d c(t).u [? ] [3 G(s) R2 ] __ 11'm [G(S) ] --- = lim 5 s-C(s) = lim 5 ---- R2dt2 5->0 5->0 1+ G(s) 53 5->0 1+ G(s) 1 J e( t)ss - lim sEes) = lim [5 -R'] = 1"1m [ R, ] s->O s -) 0 I + G(s) 53 s -) 0 1 + G(s) 52 Ka Sistema tiro a 2 Ko ( I Ka lim s 5->0 soC I Sistema tipo 1 2K lim 5a 5->0 51 ( I Sistema tipo 2 2 K2 ( I Ka = lim 5 ?5 ..... 0 :JryY\(V\(~(;'N\ r\: , f> ~ t)~ },.{I' (6.94)Ka = lim s2G(s) 5->0 . [ C;(5) R2]IlIn .1'->0 1 + G(s) - ~; ]1" [ 11m 5->0 I+G(s) + T( 5) ( 1 + T2 5) Ka a + T 5 ) ( 1 + Tv s)a KtC 1 + TIs) ( 1 + T2 5) K 0a + Ta .s ) ( I + Tv 5) + TIs) ( 1 + K(I = K2 5-( 1 + T .s ) ( 1 +a 1\ 1. '1 90 Tabcla 6.4 Constantcs de crro estacionilrio para sistemas csu'lveis, H(s) = 1. TIPO DE SISTEMA 0 AO DEGRAU f(p /(0 A RAMPA /(" 0 APARABOU\ K,J () -I i I 1 00 K, 0 ') "- 00 00 /(2 Tabela 6.3 Dcfini<;50 das constantcs de erro estacionario para ~ist('mas C'stclvcis com retroa<;~o uniuiria. CONSTANTE DE ERRO AO: DEGRAU RAMPA PARABOLJ., ---. constante de eno de ( designa<;ao convencional ) : posi<;ao velociclade 3cclera<;Jo slm bolo /(p Kv /«, dcfini<;Jo cla constante de eno c(t)ss - e( t)55 dc( t)55 dl e( t)55 ,,':c(t)ss - dt 2 e(t)" valor dJ COl1stante de erro lim C(s) J -. 0 lim 5C(S) ; ., 0 lim .1:(7(5) .' .. II ~4 , _K17 tf\0~ h-<> ~~ "'- .... ! , , • ) - t( \((\1 tl .W ~ l " - 1 I , -\ 4.7 UTILIZACAO DAS CONSTANTES DE ERRO ESTACIONARIO EXEMPLO: Seja urn sistema de controle com retroayao unitaria do tipo 1. Dc acordo com (6.30), pagina 79 : de(t)ss CONSTANTE - emdt CONCLUSOES : a) Quanta maior K1 ,menor sera 0 sinal atuante Eo para mant..:r constante UIr.1 taxa de variac;uo da resposta. b) Aumentar K, implica mclhorar a sensibilidade do sistema. ' c) Aumentar K, acarreta maior velocidadc de resposta do sistema a um dctcrminado sinal atuante e(t). d) K, C, tambcm, uma caracteristica padronizada de descmpenl10 de sistemas (!c controlc. OBSERVA<:;OES: a) 0 valor de K1 Climitado por considerayoes de cstabilidade. b) A constante de erro ao degrau Kp Cinfinita. c) 0 erro estacionario c(t)ss correspondente c.l entrada em degrau c nulo. d) 0 valor de regime permanente da resposta c(t)ss eigual aexcitayao r(t), quando r(t) = constante ( entrada do tipo degrau ). Conelusocs e observayoes analogas as apresentadas podcm ser obtidas para sistemas de controle dos tipos 0 e 2 C0111 sellS par5metros Ko , ~)' Ka , K2 , e(t)ss, c(t)ss e r(t). EXCITAGAO POLINOMIAL Seja um sistema de controle com 'retroac;ao unitaria do tipo Ill. a) Excitay.1o da forma tin - I e(t)ss = 0 ',. 1~1J )\) \\ 0 :; 1.. ~O i'J. Q , j -:- t pode ser seguida co 92 ( IV"(' - t;; b) Excitayao da formatm pode scr scguida com crro cstacion<lrio constantc. e(t)ss = constantc c) Excitayao da forma tm + I nao podc scr scguida porquc 0 crro cstacionci.rio tcndc a infinito. e(t)ss = 00 I\L~ \F( o l...
Compartilhar