Relatório 2 fisica experimental propagação erro

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Propagação de erros
Giovana Rodrigues Neves dos Santos – 11821ETE010, Laura Carvalho de Castro - 11821EEL015, Rodrigo Santana Soares - 11821EAU013, Vilson Camilo Borges de Moraes Neves – 11821EEL001
Faculdade de Engenharia Elétrica (FEELT) – Eng. Elétrica – Universidade Federal de Uberlândia 
Av. João Naves de Ávila, 2121 – Santa Mônica – 38400-902 – Uberlândia – MG - Brasil
E-mail: vilsonborges98@gmail.com
Resumo. Neste relatório, apresentaremos os cálculos erros que são obtidos em experimentos físicos realizados. Reitero, para os exemplos a seguir, não foram feitas medições, apenas cálculos de incertezas propagadas.
Introdução
Em ciências em geral, sempre que precisamos comprovar uma determinada teoria, usamos o artifício experimental para que seja comprovado. Desse modo, para que possamos entender o que esses resultados experimentais significam, precisamos usar da estatística.
A priori, foram recebidos os dados do experimentos, então fizemos apenas uma análise estatística com os resultados. Entretanto, como esses fenômenos analisados são na verdade funções dependentes de uma ou mais variáveis, mostraremos a seguir uma técnica para o cálculo desses erros.
Teoria
Experimento 1:
Na imagem (1), uma arruela onde será calculado o volume médio dela após a dedução da expressão matemática que calcula o volume, ele será calculado pelos diâmetros interno e externo e a altura. Além disso será calculado o erro no volume;
imagem 1: Arruela:
Experimento 2:
Para o segundo experimento, nos foi dado os valores obtidos da altura em um movimento de queda livre, cujo objetivo era obter uma estimativa da gravidade naquele determinado local. É dada por:
Imagem 2: Movimento de queda livre.
Equação 2: Equação da altura em movimento de queda livre:
Então, temos:
Equação 3: Equação da gravidade em um movimento de queda livre:
Onde:
h: altura medida;
g: calculada no local;
t: tempo de queda.
Média
É a soma dos resultados medidos no experimento dividido pelo número de medições realizadas. A média nos mostra um resultado que “substitui” todos os outros medidos afim de descrever um padrão. Além disso, a média é necessária para fazer os cálculos do Desvio Padrão e o Desvio padrão da Média, que serão mencionados nos parágrafos a seguir.
Equação 4: Média;
Onde:
N: É o número de experimentos realizados;
Xi: É cada um valor medido no experimento.
Desvio padrão
É uma medida de dispersão que indica o quão os resultados da amostra variaram -que no nosso caso são as medições- em relação a sua média:
Equação 5: Desvio padrão;
Desvio padrão da Média
A média pode ser considerada o melhor valor que precisamos. Conforme mais medidas sejam feitas, mais precisa será a média desse conjunto de medidas. Assim, o desvio padrão da média diminui com . Desse modo, Realizar mais medições irá ocasionar em um aumento na precisão na grandeza em que se deseja conhecer. O desvio padrão da média quantifica o erro estatístico pois quanto mais medições maior menor será o erro, que será o desvio padrão da média.
Equação 6 – Desvio padrão da média:
Erro total 
Quando adotamos um modelo experimental científico, estamos sempre sujeitos a certos tipos de erros que dependerão do tipo de experimento. Esses erros (ou incertezas) não podem ser eliminados utilizando instrumentos mais precisos, apenas podemos elaborar estratégias para minimizar o erro. O resultado de uma medida física tem duas componentes: Um valor numérico -que é o menor valor possível da grandeza medida- e a incerteza associada com essa estimativa.
 Dessa forma, temos uma grandeza quantificada advinda de instrumentos de medição, que são descobertos após inúmeras medições. Outro erro que podemos ter, vem dos cálculos estatísticos quando por exemplo uma medida se distorce muito em relação as outras, que estão sendo expressas pela média, nesse caso, podemos formular o erro no experimento em um único valor com a seguinte equação:
Equação 7 – Erro total:
Temos ainda, o cálculo da grandeza X, que nada mais é do que um desconto ou soma da média pelo erro total encontrado: podemos verifica-lo com a seguinte equação:
Equação 8:
Obs: Toda nomenclatura definida acima, será adequada em todo relatório, a menos que seja previamente nomeada em alguma parte devido a erros do software.
Propagação de erros
Iniciemos a teoria do cálculo de propagação com a seguinte suposição: Vamos medir a grandeza W na qual é depente das outras grandezas x, y e z, ou seja, w=(x,y,z). O valor experimental de W é o valor médio, . A incerteza da grandeza w=(x,y,z) deve ser uma função das incertezas das variaveis x,y e z. Se a incerteza total na variável x é , em y é e em z é , então a incerteza de em W é dada por:
Equação 9: Equação geral da propagação de erros:
Ainda da equação (9), podemos deduzir alguns casos particulares, são eles:
- Adição ou subtração .
- Potência (n: número inteiro) :
Procedimento Experimental
Em primeira análise, nos foram dados os valores medidos para cada experimento. Para tanto, vamos tratar cada um específico:
Experimento 1:
Tabela 01: dados para cálculo do volume da arruela
Para tanto, precisamos determinar , que são as médias dos valores medidos do diâmetro externo, diâmetro interno e a altura, respectivamente. Em seguida, calculamos as incertezas totais, que são necessárias para o cálculo da propagação de erro. Encontramos uma formula para o volume que dependam . Assim, podemos encontrar o volume V e a incerteza dele .
Para cálculo da média, desvio padrão, desvio da média e erro total (que depende dos primeiros), sequem passos a seguir:
Média
Como sabemos da matemática estatística, o cálculo da média é um processo bem simples e podemos usar da equação (4) para calcular a média . Porém, afim de simplificar os nossos cálculos, utilizamos de uma calculadora científica para realizar os cálculos de maneira mais direta e rápida. A máquina utilizada foi uma Cassio fx-82MS, porem qualquer modelo pode ser utilizado, entretanto, o processo de cálculo aqui foi feito por esse equipamento.
Procedimento:
Primeiramente, precisamos assegurar que os dados a serem gravados na calculadora sejam os que desejamos calcular a média, para tanto, precisamos limpar a memória da calculadora clicando em SHIFT e em seguida MODE. Ao abrir o menu é só clicar na opção 3 ALL;
Agora que a memória está apagada, o próximo passo é colocar a calculadora no modo cálculo estatístico. Para isso, vamos clicar no botão MODE e no menu escolhemos a opção 2 SD;
Agora estamos prontos para gravar os dados na memória. Para tal, precisamos digitar o valor no visor e clicar na tecla M+. Como verificação, para cada valor adicionado, ira aparecer em uma sequência X1, X2, X3,..., XN. Caso algum valor seja digitado incorretamente, refazer desde o passo 1;
O próximo passo nos da o valor da média, para isso basta clicar SHIFT e 2. Logo abrirá o menu e clicando em 1 nos da o valor da média .
Desvio Padrão
Para o cálculo do desvio padrão usamos da equação (5) descrita acima como um modelo matemático adequado, entretanto, também utilizamos da calculadora científica Cassio fx-82MS e fazemos os três primeiros procedimentos citados acima para a média, mas na hora de representar o desvio façamos o seguinte:
Para imprimir o desvio na tela, basta clicar em SHIFT e em seguida 2. No menu que abrirá, clicamos na opção 3 SX que nos da o valor do desvio padrão σ.
Desvio padrão da média
Após calcular o valor do desvio padrão, o desvio padrão da média é calculado de acordo com a equação (6), logo, basta mantermos o resultado do desvio padrão na nossa calculadora e simplesmente fazer a divisão desse valor pela raiz quadrada do número de experimentos. Ou seja, para N=5, pegamos o desvio dado para esse valor e dividimos por . 
O Erro Total, é simplesmente calculado de acordo com a equação (7), dependendo do desvio padrão e do erro instrumental.
Experimento 2:
O experimento 2 consiste em determinar o valor experimental da gravidade g a partir
de um experimento de queda livre indicado pela imagem (2). O experimento foi repetido várias vezes e foi determinado:
Dessa forma, usamos da equação (4) e encontramos o erro na gravidade.
Resultados e Discussão
Experimento 1:
Sabemos que para esse experimento precisamos apenas usar os valores para calcula o erro propagado. Assim:
Sabemos que 
O problema consiste em calcular a incerteza na determinação de g e escrever o resultado final como: .
Contudo, aparentemente se trata do planeta terra ou outro corpo celeste cuja gravidade se aproxima da medida na terra, tendo em vista que a gravidade na terra é .
Para o experimento 2, temos os dados dispostos na tabela (1), assim, o primeiro passo foi calcular os erros totais dos diâmetros e a altura. Para isso, calculamos a média e os desvios, segue: σ1 = 0,34cm, e o erro total foi:
Logo, o erro total em d1 é 0,14cm.
Agora para d2, tem se :
σ1 = 0,83cm, 
E para h, tem se:
, e 
Encontrando equação para calcular o volume 
Temos que:
Substituindo os valores médios para calcular a média do volume temos:
Para o cálculo da propagação de erro, temos que usar a equação 4, assim temos:
Assim temos que 
Conclusão
Da matemática, a estatística é de extrema importância para análises de resultados de medições que são feitas em ciências em geral. Portanto, concluímos que esses experimentos serviram para nos situar com relação a importância da análises probabilísticas afim de entender eventos repetitivos como os da experimentação.
Referencias
P. L. Meyer (1983); Probabilidade: Aplicações à Estatística, segunda edição, Livros técnicos e Científicos Editora.