Cônicas e coordenadas polares

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NOTAS DE AULA - GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
CÔNICAS E POLARES 
 
 
 
ERON E ISABEL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SALVADOR – BA 
2007 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 2 
 
Conteúdo destas notas 
 
 
Cônicas 
Translação dos eixos coordenados 
Rotação dos eixos coordenados 
Parábola 
Elipse 
Hipérbole 
Equação geral das cônicas 
Lista de Exercícios 
 
 
Coordenadas Polares 
Equações polares equivalentes 
Equação polar versus equação cartesiana 
Reta e circunferência 
Gráficos de curvas em coordenadas polares 
Lista de exercícios 
 
 
Referências bibliográficas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 3 
 
TRANSLAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS. Translação é a 
operação de mover os eixos coordenados no plano 
coordenado para uma posição diferente, de forma que os 
novos eixos sejam paralelos aos antigos e semelhantemente 
orientados. 
 
Veja um exemplo na figura ao lado, exibindo um círculo 
com centro transladado (deslocado) para o ponto O′ . 
 
 
x
y
 x′
 y′
 h
 k
 O
 O′
 
 
Podemos obter uma relação entre os eixos coordenados xOy e x O y′ ′ ′ . Observando a figura, vemos 
que, para um dado ponto ( , )P x y (em coordenadas x e y ) podemos escrever 
 
 
 
x x h x x h
y y k y y k
′ ′= + = − 
⇒ 
′ ′= + = − 
 
 
 
chamadas equações de translação. 
x
y
 x′
 y′
 h
 k
 O
 O′
 ( , )P x y
 x
 y
 
 
 
Exemplos: 
 
1 – Por meio de translação, escreva as coordenadas do 
ponto ( 2,5)P − em relação à nova origem (3, 1)O′ − . 
 
Solução. Queremos escrever as coordenadas do ponto 
P em relação a um novo sistema de coordenadas 
x O y′ ′ ′ . Como 
( , ) (3, 1) 3 e 1O h k O h k′ ′= − ⇒ = = − 
 
e ( 2,5) 2 e 5P x y− ⇒ = − = . 
 
Utilizando as equações de translação 
x x h
y y k
′= +

′= +
. 
Temos 
2 3 5
 
5 1 6
x x
y y
′ ′
− = + = − 
⇒ 
′ ′= − = 
. 
 
Portanto, ( 5,6)P − são as coordenadas do ponto P em 
relação ao sistema x O y′ ′ ′ . 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
 P
 O′
 O
 x′
 y′
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 4 
 
2 – Por meio de uma translação dos eixos coordenados, transforme a equação 
2 2 2 6 6 0x y x y+ + − + = para a nova origem ( 1,3)O′ − . 
 
Solução. Utilizando as equações de translação 
x x h
y y k
′= +

′= +
. Temos 
1
3
x x
y y
′= −

′= +
. Substituindo na equação 
da curva, teremos 
( ) ( ) ( ) ( )2 21 3 2 1 6 3 6 0x y x y′ ′ ′ ′− + + + − − + + = 
Assim, ( ) ( )2 2 4x y′ ′+ = , circunferência de raio 2 e centro 
na origem O’. 
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
 O
 O′ x′
 y′
 
 
 
3 – Calcule as coordenadas da nova origem O’(h,k) à qual se deve transladar os eixos para que na 
equação da circunferência 2 2 4 2 4 0x y x y+ − + − = desapareçam os termos do 1º grau. 
 
Solução. Substituindo as equações de translação 
x x h
y y k
′= +

′= +
 na equação dada, temos: 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
( ' ) ( ' ) 4( ' ) 2( ' ) 4 0
' ' 2 4 ' 2 2 ' 4 2 4 0
x h y k x h y k
x y h x k y h k h k
+ + + − + + + − =
+ + − + + + + − + − =
 
Desejamos que 2 4 0 2
2 2 0 1
h h
k k
− = = 
⇒ 
+ = = − 
, de modo que O’(2, – 1) é a nova origem à qual os eixos 
serão transladados. Substituindo os valores de h e k, temos a nova equação: 
( ) ( )2 2 2 2' ' 2 ( 1) 4 2 2( 1) 4 0x y+ + + − − ⋅ + − − = ⇒ ( ) ( )2 2' ' 9x y+ = , circunferência de raio 3 e centro 
no ponto O’(2, – 1) 
 
 
Outro método prático de se obter esta equação e a nova origem é “completar os quadrados” da 
equação dada, como segue: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
4 2 4 0 4 2 4 0 4 4 4 2 1 1 4 0
2 1 9 0 2 1 9
x y x y x x y y x x y y
x y x y
+ − + − = ⇒ − + + − = ⇒ − + − + + + − − =
− + + − = ⇒ − + + =
 
Neste caso, 
' 2 2
' 1 1
x x h
y y k
= − = 
⇒ 
= + = − 
 e assim, ( ) ( )2 2' ' 9x y+ = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 5 
ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS. 
Considere o sistema xOy e suponha que 
queremos “girar” de um ângulo θ . 
 
A partir da figura ao lado, temos as seguintes 
relações 
 
cos
cos ( )
 
sen ( )
sen
x
x r Ir
y y r II
r
β β
ββ
′
= ′ =
⇒ 
′ ′ =
=

 
x
y
 P
 β x′
 y′
 x
 y
 r
 θ
 O O′≡
 
cos( )
cos( ) ( )
 
sen( ) ( )
sen( + )
x
x r IIIr
y y r IV
r
θ β θ β
θ βθ β

+ = = +
⇒ 
= +
=

 
 
Lembrando que: cos( ) cos cos sen senθ β θ β θ β+ = − 
 sen( ) sen cos sen cosθ β θ β β θ+ = + 
 
Da equação (III) temos que: cos senx x yθ θ′ ′= − 
 
Da equação (IV) temos que: sen cosy x yθ θ′ ′= + 
 
Assim, após uma rotação de um ângulo θ (positivo, a partir do eixo x no sentido anti-horário) 
temos as equações que relacionam qualquer ponto ( , )P x y de coordenadas no sistema xOy com 
suas coordenadas no sistema x O y′ ′ ′ . Chamadas equações de rotação: 
 
cos sen cos sen
 ou, equivalentemente, 
sen cos sen cos
x x y x x y
y x y y x y
θ θ θ θ
θ θ θ θ
′ ′ ′= − = + 
 
′ ′ ′= + = − + 
 
 
Podemos escrever estas equações na forma matricial. 
 
Exemplos 
 
1 – Determinar as coordenadas do ponto (0,3)P′ em relação ao sistema de coordenadas xOy 
rotacionado de um ângulo de 60º. 
Solução. Observe que (0,3)P′ tem coordenadas 0x′ = 
e 3y′ = . Assim, 
 
cos sen 0cos(60 ) 3sen(60 )
 
sen cos 0sen(60 ) 3cos(60 )
x x y x
y x y y
θ θ
θ θ
′ ′= − = − 
⇒ 
′ ′= + = +
o o
o o
 
 
Portanto, 3 3
2
x
−
= e 
3
2
y = são as coordenadas do 
ponto P′ em relação ao sistema xOy . 
x
y
 60o
 x′
 y′
 O O′≡ 3 3
2
−
 3
2
 P′
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 6 
2 – Transforme a equação dada em outra por meio uma rotação do ângulo indicado: 
2 5 3 0
5
arctg
2
x y
θ
+ − =

  
=  
 
. 
Solução. 5 5arctg tg
2 2
θ θ = ⇒ =
 
. Assim, 5sen cos
2
θ θ= . Como 2 2sen cos 1θ θ+ = , temos que 
2
cos
29
θ = e, portanto, 5sen
29
θ = . Logo, 
2 5
cos sen 29 29
 
sen cos 5 2
29 29
x x y
x x y
y x y y x y
θ θ
θ θ

′ ′= −′ ′= − 
⇒ 
′ ′= +  ′ ′= +

 
Substituindo na equação dada nos dá: 
 
29 3x′ = (reta vertical paralela ao eixo y′ ). 
 
2 5 3 0 (em ) equivale a 29 3 (em )x y xOy x x O y′ ′ ′ ′+ − = =
 
x
y
 x′
 y′
 
 
3 – Transforme a equação dada em outra desprovida do termo misto x y′ ′ : 2 22 4 0x xy y− + − = . 
 
Solução. Sabemos que 
cos sen
sen cos
x x y
y x y
θ θ
θ θ
′ ′= −

′ ′= +
, substituindo na equação dada temos 
 
( ) ( )cos sen sen cosxy x y x yθ θ θ θ′ ′ ′ ′= − + , o que implica em 
 
( )2 2 2 2 2( ) cos sen cos sen ( ) cos senxy x x y yθ θ θ θ θ θ′ ′ ′ ′= + − − 
 
Para que o termo misto x y′ ′ seja eliminado é necessário que 
2 2cos sen cos sen 
4
piθ θ θ θ θ= ⇒ = ⇒ = . Daí, 
2 2
2 2
2 2
2 2
x x y
y x y

′ ′= −



′ ′= +
 
 
que, por sua vez, nos fornece 2 (1)x y y′− = − . 
 
Como ( )22 22 4 0 4x xy y x y− + − = ⇒ − = (2), 
 substituindo (1) em (2), temos ( )22 4y′− = e então 
2y′ = ± , o que representa duas retas paralelas ao eixo 
x′ (eixo x rotacionado de 45º). 
x
y
 x′ y′
 45o
 2y′ =
 2y′ = −
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 7 
Eliminação, por meio de uma rotação, do termo misto de 2º. grau. Vejamos como transformar a 
equação 
2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + = (*) 
 
em outra equação desprovida de termo misto ' 'x y . Isto consiste em determinar o ângulo de rotação 
tal que a equação (*) seja transformada, após uma rotação, em uma equação do tipo 
 
2 2
'( ') '( ') ' ' ' ' ' 0A x C y D x E y F+ + + + = . 
 
Para vermos isto, considere a rotação 
cos sen
sen cos
x x y
y x y
θ θ
θ θ
′ ′= −

′ ′= +
 aplicada sobre (*), teremos então uma 
equação do tipo 2 2'( ') ' ' ' '( ') ' ' ' ' ' 0A x B x y C y D x E y F+ + + + + = , onde 
2 2
' cos sen(2 ) sen
2
BA A Cθ θ θ= + + ' ( )sen(2 ) cos(2 )B C A Bθ θ= − + 
2 2
' sen sen(2 ) cos
2
BC A Cθ θ θ= − + ' cos senD D Eθ θ= + 
' cos senE E Dθ θ= − 'F F= 
 
Como o objetivo é eliminar o termo ' 'x y , devemos ter ' 0B = , ou seja, 
 
( )sen(2 ) cos(2 ) 0C A Bθ θ− + = 
tg(2 ) B
A C
θ =
−
 (condição para obter θ ). 
 
Observações: 
1) Note que se 0B = então tg(2 ) 0θ = , daí, 2 0
2
k piθ = + . Como estamos considerando 
0,
2
piθ  ∈   
, teremos 0θ = e não haverá rotação. 
2) Se A C= e 0B ≠ temos que tg(2 )θ não está definida. Assim, 2 , 
2 2
k kpi piθ = + ∈� , o que 
nos dá 
4
piθ = . 
3) A rotação não afeta o valor do termo independente da equação. 
 
Exemplo – Dada a equação 2 217 12 8 100 0x xy y+ + − = , determine cosθ e senθ para que ' 'x y 
não exista. 
Solução. Observe que 17A = , 12B = , 8C = . Logo, tg(2 ) B
A C
θ =
−
 ⇒ 
12 4
tg(2 )
17 8 3
θ = =
−
. 
Portanto, podemos escrever: 4sen(2 ) cos(2 )
3
θ θ= (1). Substituindo (1) na relação fundamental da 
trigonometria: 2 2sen (2 ) cos (2 ) 1θ θ+ = , temos 4sen(2 )
5
θ = e 3cos(2 )
5
θ = . Sabemos que 
2 2 2cos(2 ) cos sen 2cos 1θ θ θ θ= − = − . Assim, 2 5cos
5
θ = . E, por sua vez, 5sen
5
θ = . 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 8 
CÔNICAS. Uma seção cônica, ou simplesmente, uma cônica é uma curva obtida interceptando-se um 
cone (de duas folhas) por um plano que não passa pelo vértice, chamado plano secante. 
 
• Se o plano secante é paralelo a uma geratriz do cone, a cônica é uma parábola. 
 
• Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta só uma das duas folhas do cone, a 
cônica é uma elipse. 
 
• Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta ambas as folhas do cone, a cônica é 
uma hipérbole. 
 
 
 
 
Parábola Elipse Hipérbole 
 
 
 
 
PARÁBOLA. Seja F um ponto fixo e d uma reta fixa em 
um mesmo plano α com F d∉ . Ao conjunto de todos os 
pontos eqüidistantes de F e d dá-se o nome de parábola. 
 
Podemos escrever do seguinte modo, 
 
{ }; ( , ) ( , )P d P F d P dα= ∈ =P . 
 
 
 
(reta diretriz)
d
 
 (foco)F
 P
 
 
Elementos principais da parábola 
 
• Foco ( F ): ponto fixo 
• Reta diretriz ( d ): reta fixa 
• Eixo focal ( . .e f ): reta perpendicular à reta diretriz passando pelo foco. 
• Vértice (V ): intersecção do eixo focal com a parábola (ponto médio entre F e d ). 
• Corda: segmento de reta ligando dois pontos distintos da parábola. 
• Corda focal: corda que passa pelo foco. 
• Raio focal: segmento de reta ligando um ponto da parábola com o foco. 
• Lactus Rectum ( LR ): corda focal perpendicular ao eixo focal. 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 9 
 F V
 corda
 Lactus Rectum
 � corda focal←
 vértice
 eixo focal
 foco
 d reta diretriz
 
 
 
Equações da parábola 
 
1) Considere uma parábola com vértice em (0,0)V ; eixo 
focal coincidindo com o eixo y e concavidade voltada 
para cima. Seja ( , )P x y um ponto qualquer desta parábola 
e considere ( , ) 2d F d p= . Temos então que: 
 
Equação da parábola 2: 4x py=P 
Coordenadas do foco (0, )F p 
Equação do eixo focal . . : 0e f x = 
Equação da diretriz: :d y p= − 
Medida do lactus rectum: 4LR p= 
 
x
y
 0p >
 F
 



 



 
p
 
p
 V
 d
 LR
 
 
Observação. Nas mesmas hipóteses de 1), se 0p < , a concavidade estará voltada para baixo. 
Consequentemente alguns valores e coordenadas dos elementos no quadro acima podem mudar. 
 
 
 
2) Uma parábola com vértice em (0,0)V ; eixo focal 
coincidindo com o eixo x e concavidade voltada para 
direita. Teremos: 
 
Equação da parábola 2: 4y px=P 
Coordenadas do foco ( ,0)F p 
Equação do eixo focal . . : 0e f y = 
Equação da diretriz: :d x p= − 
Medida do lactus rectum: 4LR p= 
 
x
y
 0p >
 F V
 d
 LR
 
 
p
678
 
 
p
678
 
 
Observação. Nas mesmas hipóteses de 2), se 0p < , a concavidade estará voltada para esquerda. 
Consequentemente alguns valores e coordenadas dos elementos no quadro acima podem mudar. 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 10 
3) Se ( )0 0,V x y (translação de eixos), eixo focal 
paralelo ao eixo y e a concavidade está voltada 
para cima ou para baixo. Mostra-se que a parábola 
tem equação dada por 
( ) ( )20 04: x x p y y− = −P 
 
As coordenadas e os elementos são determinados 
via equações de translação.Teremos então 
0 0
0 0
 
x x x x x x
y y y y y y
′ ′− = = + 
⇒ 
′ ′
− = = + 
, 
obtendo 
( )2 4x py′ ′= . 
x
y
 0p >
 F
 



 



 
p
 
p
 V
 d
 LR
 y′
 x′
 0x
 0y
 
 
4) Se ( )0 0,V x y , eixo focal paralelo ao eixo x e a concavidade está voltada para direita ou 
esquerda. Mostra-se que a parábola tem equação dada ( ) ( )20 04: y y p x x− = −P . O comentário do 
item 3) vale para este item, observando as modificações necessárias. 
 
 
Exemplos 
 
1 – Determine a equação e o gráfico da parábola que tem foco (3, 4)F e diretriz : 1 0d x − = . 
 
Solução. Dos elementos dados: foco (3, 4)F e diretriz 
: 1d x = , podemos produzir o seguinte esboço inicial (veja 
figura ao lado). 
 
Da qual inferimos que 2 2 1p p= ⇒ = , 
o eixo focal tem equação . . : 4e f y = (paralelo ao eixo 
coordenado x ), 
as coordenadas do vértice são (2,4)V 
e a parábola só pode ter concavidade voltada para a direita. 
 
Assim, a equação desta parábola é do tipo 
( ) ( )20 04y y p x x− = − . 
 
Portanto, a equação desta parábola é dada por 
( ) ( )24 4 2y x− = − . 
 
 
O gráfico “final” está mostrado ao lado. 
 
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
 F
 : 1d x =
 
 
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
 F
 : 1d x =
 V
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 11 
2 – Obtenha a expressão canônica da parábola 24 1x x y+ − = e determine as coordenadas do 
vértice. 
 
Solução. Neste caso temos uma parábola transladada para um sistema de eixos cuja origem coincide 
com o vértice da parábola. Apliquemos o método prático de “completar os quadrados”. 
 
2 2 21 1 1 14 1 4 1 4 1
4 4 64 64
x x y x x y x x y   + − = ⇒ + − = ⇒ + + − − =   
   
 
2 2
2
quadrado perfeito
1 1 1 1 1 1 1 174 1 4 1 
4 64 64 8 16 8 4 16
x x y x y x y
 
       
+ + − − = ⇒ + − = + ⇒ + = +       
       
 
1442443
. 
 
Daí, temos 
21 1 174
8 16 16
x y    + = +    
    
. 
 
 Neste caso, 
1
8
17
16
x x
y y

′ = +

 ′ = +

 , 
 onde 1 17,
8 16
V  − − 
 
 e ( )2 14
16
x y ′ ′=  
 
. 
 
x
y
 x′
 y′
 1
8
−
 17
16
−
 
 
 
3 – Determine a equação e o gráfico da parábola que tem foco ( 1,1)F − e vértice (0,0)V . 
 
Solução. Dos elementos dados: foco ( 1,1)F − e vértice 
(0,0)V , temos a seguinte figura ao lado. 
 
Sabemos que ( , )d F V p= , então uma primeira informação 
que podemos obter é que 2 2 21 1 2 2p p= + = ⇒ = . 
 
Para uma parábola, quando o vértice está situado na origem, o 
foco deve estar situado sobre um dos eixos coordenados, 
então, a partir da informação dada podemos dizer que houve 
uma rotação do sistema xOy de um ângulo que devemos 
determinar. 
−3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
2
3
x
y
 V
 F
 eixo focal
 
 
Em x Oy′ ′ temos a concavidade voltada para cima e eixo focal coincidente com o eixo Oy′ . Assim, 
a equação (reduzida) desta parábola é do tipo 2( ) 4x py′ ′= . Assim, 2( ) 4 2 (*)x y′ ′= . 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 12 
Como o eixo focal coincide com Oy′ (eixo Oy 
rotacionado) podemos utilizar as coordenadas do 
foco para obter o ângulo θ de rotação. 
Logo, 2cos sen
2
θ θ= = . 
 
Utilizando as equações (“de volta”) da rotação: 
 
cos sen
sen cos
x x y
y x y
θ θ
θ θ
′ = +

′ = − +
 
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 V
 F
 eixo focal
 x′
 y′
 θ
 θ
 
Substituindo seno e cosseno : 
2 2
2 2
2 2
2 2
x x y
y x y

′ = +



′ = − +
 que, por sua vez, substituídos na equação (*) 
nos dá 
2
2 2 2 24 2
2 2 2 2
x y x y
   
+ = − +      
   
. Daí, a equação desta parábola no sistema xOy é 
dada por 2 22 8 8 0x xy y y x+ + − + = . 
 
 
4 – Determine a equação e o gráfico da parábola que tem 
foco (0,2)F e vértice (1,1)V . 
 
Solução. A partir dos elementos dados, podemos deduzir 
que houve uma translação e uma rotação (ou vice-versa) 
do sistema xOy . 
Como ( , )d F V p= , podemos “ver” que 
2 2(1 0) (1 2) p− + − = . Logo, 2p = . −3 −2 −1 1 2 3
−1
1
2
3
4
x
y
 V
 F
 x′
 y′
 θ
 
 
No sistema x O y′ ′ ′ temos a concavidade voltada para cima e eixo focal coincidente com o eixo 
O y′ ′ . Assim, a equação (reduzida) desta parábola é do tipo 2( ) 4x py′ ′= . Assim, 
2( ) 4 2 (*)x y′ ′= . 
 
Rotação: observe que 2cos sen
2
θ θ= = . 
cos sen
sen cos
x x y
y x y
θ θ
θ θ
′ = +

′ = − +
 ⇒ 
2 2
2 2
2 2
2 2
x x y
y x y

′ = +



′ = − +
. Desenvolvendo os cálculos teremos a equação 
no sistema xOy dada por 2 22 8 8 0x xy y y x+ + − + = (*). 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 13 
Translação: Como o vértice está em (1,1)V , as equações de translação são dadas por 1
1
x x
y y
= −

= −
. 
Desta forma, substituindo essas equações em (*) temos a equação da parábola no sistema xOy : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 1 1 8 1 8 1 0x x y y y x− + − − + − − − + − = , ou melhor, 
2 22 12 4 4 0x xy y y x+ + − + + = 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3
−1
1
2
3
4
x
y
 V
 F
 x′
 y′
 θ
 
 
 
 
ELIPSE. Definimos como elipse ao lugar geométrico de um ponto que se move em um plano de 
maneira que a soma de suas distâncias a dois pontos fixos, no referido plano, é sempre igual a uma 
constante maior do que a distância entre os dois pontos fixos. 
 
Podemos, ainda, escrever isto do seguinte modo: 
Dados dois pontos fixos 1 2,F F α∈ , temos que a elipse 
é o conjunto 
 
{ }1 2 1 2; ( , ) ( , ) 2 ( , ) 2P d P F d P F a d F F cα= ∈ + = > =E 
 
 1F 2F
 P
 
2
 
c
1442443
 
 
Elementos principais da elipse 
 
• Focos ( 1 2 e F F ): pontos fixos. 
• Eixo focal ( . .e f ): reta que passa pelos focos. 
• Segmento focal: segmento de reta 1 2F F . 
• Eixo normal ( . .e n ): reta perpendicular ao eixo focal passando pelo centro. 
• Vértices ( 1 2 1 2, , e V V B B ): intersecções dos eixos focal e normal com a elipse. 
• Centro (C ): ponto médio do segmento focal. 
• Eixo maior ( EM ): segmento de reta 1 2V V . 
• Eixo menor ( . .e m ): segmento de reta 1 2B B . 
• Corda: segmento de reta ligando dois pontos distintos da elipse. 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 14 
• Corda focal: corda quepassa por um dos focos. 
• Lactus Rectum ( LR ): corda focal perpendicular ao eixo focal passando por um dos focos. 
 
 1B
 2B
 1V 2V 1F 2F C
 LR LR
 
. .e n
 
. .e f
 EM
 
. .e m
 
 
 
Equações da elipse 
 
1) Considere uma elipse com centro em (0,0)C e eixo focal coincidindo com o eixo x . Seja 
( , )P x y um ponto qualquer desta elipse e seja 1 2( , ) 2d F F c= . 
 
 
A equação da elipse é dada por 
 
2 2
2 2: 1
x y
a b
+ =E 
 
 onde 2 2 2a b c= + . 
 
x
y
 1B
 2B
 1V 2V 1F 2F C
 
. .e f
 ( , )P x y
 
 
c
1442443 
c
1442443
 
 
a644474448
 
 
a644474448
 
b



 
b



 
 
Temos, ainda: 
 
• Coordenadas dos focos 1 2( ,0) e ( ,0)F c F c− . 
• Coordenadas dos vértices 1 2( ,0), ( ,0)V a V a− , 1(0, )B b e 2 (0, )B b− , consequentemente, a 
medida do eixo maior é igual a 2a e a medida do eixo menor é 2b . 
• Equação do eixo focal . . : 0e f x = . 
• Medida do lactus rectum: 
22bLR
a
= . 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 15 
2) Considere uma elipse com centro em (0,0)C e eixo focal 
coincidindo com o eixo y . 
 
Então a equação da elipse é dada por 
 
2 2
2 2: 1
y x
a b
+ =E 
onde 2 2 2a b c= + . 
 
x
y
 1B 2B
 1V
 2V
 1F
 2F
 C
 
. .e f
 ( , )P x y
 
 
b
142 43 
b
14243
 
a






 
a






 
 
 
3) Se uma elipse tem centro 0 0( , )C x y 
(translação) e o eixo focal é paralelo ao eixo x , 
sua equação é dada por: 
 
( ) ( )2 20 0
2 2: 1
x x y y
a b
− −
+ =E 
 
onde 2 2 2a b c= + . 
 
x
y
 
. .e f
 x′
 y′
 0x
 0y C 1V 2V
 1F 2F
 1B
 2B
 
Assim como na parábola transladada, uma das formas de determinar as coordenadas e os elementos 
é utilizar as equações de translação. Teremos então 
 
0 0
0 0
 
x x x x x x
y y y y y y
′ ′− = = + 
⇒ 
′ ′
− = = + 
 
 
Obtendo então 
2 2
2 2
( ) ( )
: 1x y
a b
′ ′
+ =E . 
 
 
4) Se uma elipse tem centro 0 0( , )C x y (translação) e o 
eixo focal é paralelo ao eixo y , sua equação é dada por: 
 
( ) ( )2 20 0
2 2: 1
y y x x
a b
− −
+ =E 
 
onde 2 2 2a b c= + . 
 
 
x
y
 C
 1V
 2V
 1F
 2F
 1B 2B x′
 y′
 0x
 0y
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 16 
Excentricidade. É a razão entre c e a , ou seja, ce
a
= . Note que, como c a< temos 0 1e< < . 
Se a b= temos que a elipse se reduz a uma circunferência e, portanto, 0e = . 
Se a = c temos que a elipse se reduz ao segmento retilíneo 1 2F F e, portanto, e = 1. 
 
 
Exemplos 
 
1 – Determine a equação e o gráfico da elipse que tem focos 1 2(3,8) e (3, 2)F F e medida do eixo 
maior igual a 10. 
 
Solução. Como 2 med( ) 10a EM= = , temos que 5a = . 
1 2( , ) 2d F F c= , temos 2 6c = e, portanto, 3c = . Sabemos que, 
para a elipse, 2 2 2a b c= + , daí 2 2 25 3 4b b= + ⇒ = . 
 
O centro é o ponto médio do segmento 1 2F F , logo, (3,5)C e 
como o eixo focal é paralelo ao eixo y , a equação desta elipse 
é do tipo ( ) ( )
2 2
0 0
2 2: 1
y y x x
a b
− −
+ =E . Assim, 
 
( ) ( )2 2
2 2
5 3
: 1
5 4
y x− −
+ =E . −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
y
 1F
 2F
 1V
 2V
 C x′
 y′
 
 
 
2 – Determine a equação e o gráfico da elipse que tem focos 1 2( 2, 4) e ( 6,4)F F− − e medida do 
lactus rectum igual a 6. 
 
Solução. Como 
22
med( ) 6b LR
a
= = , temos que 2 3b a= (I). 1 2( , ) 2d F F c= , temos 2 4c = e, 
portanto, 2c = (II). De 2 2 2a b c= + e de (I) e (II): 2 23 4 3 4 0a a a a= + ⇒ − − = , que implica 
4a = . Substituindo em (I) temos 2 12b = . 
 
O centro tem coordenadas ( 4, 4)C − e como o eixo 
focal é paralelo ao eixo x , a equação desta elipse é 
do tipo ( ) ( )
2 2
0 0
2 2: 1
x x y y
a b
− −
+ =E . Assim, 
 
( ) ( )2 24 4
: 1
16 12
x y+ −
+ =E . 
 
−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
 1F 2F 1V 2V C x′
 y′
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 17 
3 – Considere a cônica de equação 2 231 10 3 21 144: x xy y+ + =C . Determine todos os elementos 
e esboce o gráfico desta cônica. 
 
Solução. Observe que na equação de C está presente o termo misto xy , tentaremos eliminá-lo 
através de rotação. Comparando a equação de C com 2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + = temos 
31A = , 10 3B = e 21C = . Sabemos que tg(2 ) B
A C
θ =
−
, logo, 10 3tg(2 ) 3
10
θ = = . Isto implica 
que ( )2 arctg 3θ = , ou seja, 6piθ = . O que nos dá: 1sen 2θ = e 3cos 2θ = . Então, temos que 
 
3 1
cos sen 2 2
 
sen cos 1 3
2 2
x x y
x x y
y x y
y x y
θ θ
θ θ

′ ′= −
′ ′= − 
⇒ 
′ ′= + 
′ ′= +
 
Substituindo estas expressões na equação de C , temos 
 
2 2
3 1 3 1 1 3 1 331 10 3 21 144
2 2 2 2 2 2 2 2
x y x y x y x y
      
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− + − + + + =            
      
 
 
Depois de alguns cálculos, vemos que ( ) ( )
2 2
: 1
9 4
y x′ ′
+ =C é a equação de uma elipse no sistema 
x Oy′ ′ . 
 
 
 
Deste modo: 3a = , 2b = , 5c = e eixo focal coincide com 
Oy′ , seja, . . : 0e f x′ = . Daí, em relação a x Oy′ ′ , temos: 
 
Centro: ( )0,0C′ 
Focos: ( )1 0, 5F ′ e ( )2 0, 5F ′ − 
Vértices: ( )1 0,3V ′ , ( )2 0, 3V ′ − , ( )1 2,0B ′ − e ( )2 2,0B ′ 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
 x′
 y′
 ( ) ( )2 2
: 19 4
y x′ ′
+ =C
 1F
 2F
 1B 2B
 1V
 2V
 C
 
 
Vamos utilizar as equações de rotação para obter, em relação ao sistema xOy , as coordenadas de 
cada elemento determinado em x Oy′ ′ . 
3 1
2 2(*) 
1 3
2 2
x x y
y x y

′ ′= −



′ ′= +
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 18 
Por exemplo, ( )0,0C′ indica (*)
3 10 00 02 2
 
0 01 30 0
2 2
x
x x
y y
y

= ⋅ − ⋅
′ = = 
→ =  
′ = = 
= ⋅ + ⋅
, ou seja, ( )0,0C . 
Eixo focal . . : 0e f x′ = , implica em 
13 10
22 2(*) 
31 30 22 2
x yx y
y yy y
 
′= −′= ⋅ −  
= 
 
′=′= ⋅ + 
 de modo que 1
3
x
y
= − , ou 
seja, 3y x= − é a equação do eixo focal no sistema xOy . 
 
Com este procedimento, determinamos todos os outros elementos em relaçãoao sistema xOy . 
Assim, 
 
Equação de 2 231 10 3 21 144: x xy y+ + =C . 
 
Parâmetros: 3a = , 2b = , 5c = . 
 
Centro: ( )0,0C 
Eixo focal: 3y x= − 
Focos: 1
5 15
,
2 2
F
 
−
  
 
 e 2
5 15
,
2 2
F
 
−  
 
 
Vértices: 1
3 3 3
,
2 2
V
 
−
  
 
, 2
3 3 3
,
2 2
V
 
−  
 
, ( )1 3, 1B − − e 
( )2 3,1B 
−4 −3 −2 −1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
 30o
 
. : 3e f y x= −
 
x
 
y
 1F
 2F
 1V
 2V
 C
 1B
 2B
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 19 
HIPÉRBOLE. Definimos como hipérbole ao lugar geométrico de um ponto que se move em um 
plano de maneira que o valor absoluto da diferença de suas distâncias a dois pontos fixos, no 
referido plano, é sempre igual a uma constante positiva menor do que a distância entre os dois 
pontos fixos. 
 
 
 
Podemos, ainda, escrever isto do seguinte modo: Dados 
dois pontos fixos 1 2,F F α∈ , temos que a hipérbole é o 
conjunto 
 
{ }1 2 1 2; ( , ) ( , ) 2 ( , ) 2P d P F d P F a d F F cα= ∈ − = < =H 
 
 1F 2F
 ( , )P x y
 
 
2 c
1 4 442 4 4 43
 
 
 
Elementos principais da hipérbole 
 
• Focos ( 1 2 e F F ): pontos fixos. 
• Eixo focal ( . .e f ): reta que passa pelos focos. 
• Vértices ( 1 2 e V V ): intersecções do eixo focal com a hipérbole. 
• Centro (C ): ponto médio do segmento de reta 1 2F F . 
• Eixo normal ( . .e n ): reta perpendicular ao eixo focal passando pelo centro. 
• Eixo transverso ( ET ): segmento de reta 1 2V V . 
• Eixo conjugado ( . .e c ): segmento de reta 1 2B B . 
• Corda: segmento de reta ligando dois pontos distintos da hipérbole. 
• Corda focal: corda que passa por um dos focos. 
• Lactus Rectum ( LR ): corda focal perpendicular ao eixo focal passando por um dos focos. 
 
 1F 2F 1V 2V
 1B
 2B
 
. .e n
 
. .e f
 
. .e c
 C
 ET
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 20 
 
Equações da hipérbole 
 
1) Considere uma hipérbole com centro em (0,0)C e eixo focal coincidindo com o eixo x . Seja 
( , )P x y um ponto qualquer desta hipérbole e seja 1 2( , ) 2d F F c= . 
 
 
A equação da hipérbole é dada por 
 
2 2
2 2: 1
x y
a b
− =H 
 
 onde 2 2 2c a b= + . 
 
x
y
 
 
a
142 43
 
 
a
142 43
 
 
c644474448
 
b



 
b



 
 
c644474448
 2F 1F 1V 2V
 1B
 2B
 
. .e f
 1s 2s
 
 
Temos, ainda: 
• Coordenadas dos focos 1 2( ,0) e ( ,0)F c F c− . 
• Coordenadas dos vértices 1 2( ,0) e ( ,0)V a V a− , consequentemente, a medida do eixo 
transverso é igual a 2a . 
• Embora não haja intersecção com o eixo y os dois pontos 1(0, )B b− e 2 (0, )B b são 
extremos do eixo conjugado, consequentemente, a medida do eixo conjugado é igual a 2b . 
• Equação do eixo focal . . : 0e f x = . 
• Medida do lactus rectum: 
22bLR
a
= . 
• A excentricidade da hipérbole é dada por ce
a
= , como c a> , temos que 1e > . 
• As retas assíntotas tem equações 1 :
b
s y x
a
= e 2 :
b
s y x
a
= − . 
 
2) Considere uma hipérbole com centro em (0,0)C e eixo 
focal coincidindo com o eixo y . 
 
Então a equação da hipérbole é dada por 
 
2 2
2 2: 1
y x
a b
− =H 
onde 2 2 2c a b= + . 
 
x
y
 2F
 1F
 1V
 2V
 1B 2B
 
. .e f
 1s
 2s
 
a



 
 
b
123
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 21 
3) Se uma hipérbole tem centro 0 0( , )C x y 
(translação) e o eixo focal é paralelo ao eixo x , 
sua equação é dada por: 
 
( ) ( )2 20 0
2 2: 1
x x y y
a b
− −
− =H 
 
onde 2 2 2c a b= + . 
 
x
y
 0x
 0y x′
 y′
 C
 
 
Assim como na parábola e elipse transladadas, uma das formas de determinar as coordenadas e os 
elementos é utilizar as equações de translação. Teremos então 
 
0 0
0 0
 
x x x x x x
y y y y y y
′ ′− = = + 
⇒ 
′ ′
− = = + 
 
Obtendo 
2 2
2 2
( ) ( )
: 1x y
a b
′ ′
− =H . 
4) Se uma hipérbole tem centro 0 0( , )C x y 
(translação) e o eixo focal é paralelo ao eixo y , 
sua equação é dada por: 
 
( ) ( )2 20 0
2 2: 1
y y x x
a b
− −
− =H 
 
onde 2 2 2c a b= + . 
 
x
y
 0x
 0y x′
 y′
 C
 
 
 
Observações 
 
1) Dizemos que uma hipérbole é eqüilátera ou retangular se o eixo transverso e conjugado tem 
o mesmo comprimento, isto é, se a b= . 
2) Dizemos que duas hipérboles são conjugadas se o eixo transverso de uma delas coincide 
com o eixo conjugado da outra. 
 
 
Exemplos 
 
1 – O centro de uma hipérbole está na origem, seu eixo transverso está sobre o eixo x e uma de 
suas assíntotas tem equação 2
5
y x= . Determine a equação e o gráfico dessa hipérbole sabendo que 
o ponto (6, 2)P pertence à mesma. 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 22 
Solução. Como o centro é (0,0)C e seu eixo focal coincide com o eixo x a equação dessa 
hipérbole é do tipo 
2 2
2 2: 1
x y
a b
− =H . Como 2
5
y x= é assíntota, temos 2
5
b
a
= , isto é, 2
5
b a= (I). 
(6, 2)P ∈H , isto quer dizer que 
2 2
2 2
6 1 1
a b
− = . Daí, 2 2 2 236 4b a b a− = (II). 
Substituindo (I) em (II): 
2 2
2 22 236 4
5 5
a a a a
   
− =   
   
 ⇒ 2 11a = . Logo, 2 44
25
b = . Portanto, a 
equação procurada é dada por 
 
 
2 2
: 14411
25
x y
− =H 
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
 
2 – Considere a cônica de equação 224 7 36 0: xy y− + =C . Determine todos os elementos e 
esboce o gráfico desta cônica. 
 
Solução. Mais uma vez, queremos eliminar o termo misto xy através de rotação. Comparando a 
equação de C com 2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + = temos 0A = , 24B = e 7C = − . Daí, 
tg(2 ) B
A C
θ =
−
 ⇒ 
24
tg(2 )
7
θ = . Então, 24sen(2 ) cos(2 )
7
θ θ= (I). Substituindo (I) em 
2 2sen (2 ) cos (2 ) 1θ θ+ = , temos 24sen(2 )
25
θ = e 7cos(2 )
25
θ = . Sabemos que 
2 2 2cos(2 ) cos sen 2cos 1θ θ θ θ= − = − . Assim, 4cos
5
θ = e 3sen
5
θ = . 
4 3
cos sen 5 5
 
sen cos 3 4
5 5
x x y
x x y
y x y y x y
θ θ
θ θ

′ ′= −′ ′= − 
⇒ 
′ ′= +  ′ ′= +

substituindo estas expressões na equação de C . 
Temos, 
24 3 3 4 3 424 7 36 0
5 5 5 5 5 5
x y x y x y    ′ ′ ′ ′ ′ ′− + − + + =    
    
 
 
Depois de alguns cálculos,vemos que ( ) ( )2 2: 9 16 36 0x y′ ′− + =C , o que nos dá 
 
( )
( )
( )2 2
2 2: 123/ 2
y x′ ′
− =C é a equação de uma hipérbole no sistema x Oy′ ′ . 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 23 
Deste modo: 1,5a = , 2b = , 2,5c = e eixo focal coincide 
com Oy′ , ou seja, . . : 0e f x′ = . Daí, em relação a x Oy′ ′ , 
temos: 
 
Centro: ( )0,0C′ 
Focos: 1
50,
2
F  ′  
 
 e 2
50,
2
F  ′ − 
 
 
Vértices: 1
30,
2
V  ′  
 
 e 2
30,
2
V  ′ − 
 
 
Extremos do eixo conjugado: ( )1 2,0B ′ − e ( )2 2,0B ′ 
Assíntotas: 1
3
:
4
s y x′ ′ ′= e 2
3
:
4
s y x′ ′ ′= − 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
 x′
 y′
 1F
 2F
 1V
 2V
 C
 
. .e f
 
 
Vamos utilizar as equações de rotação para obter, em relação ao sistema xOy , as coordenadas de 
cada elemento determinado em x Oy′ ′ . 
4 3
5 5(*) 
3 4
5 5
x x y
y x y

′ ′= −

 ′ ′= +

 
Por exemplo, ( )0,0C′ indica (*)
4 30 00 05 5
 (*) 
0 3 4 00 0
5 5
x
x x
y yy

= −′ = = 
→ =  
′ = = 
= +

, ou seja, ( )0,0C . 
Eixo focal . . : 0e f x′ = , implica em 
4 3 30
5 5 5(*) (*) 
3 4 40
5 5 5
x y x y
y y y y
 
′ ′= ⋅ − = −  
= 
 ′ ′= ⋅ + =
  
 de modo que, 4
3
y x= − é a 
equação do eixo focal no sistema xOy . Desse modo, temos 
 
Equação de 224 7 36 0: xy y− + =C . 
 
Parâmetros: 1,5a = , 2b = , 2,5c = . 
 
Centro: ( )0,0C 
Eixo focal: 4
3
y x−= 
Focos: 1
3
, 2
2
F −  
 
 e 2
3
, 2
2
F  − 
 
 
Vértices: 1
9 6
,
10 5
V −  
 
 e 2
9 6
,
10 5
V −  
 
 
Extremos do eixo conjugado: 1 8 6,5 5B
− − 
 
 
 e 2
8 6
,
5 5
B   
 
 
Assíntotas: 1
24
:
7
s y x= e 2 : 0s y = 
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
 x′
 y′
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 24 
 
Equação geral das cônicas 
 
Dado em um plano α um sistema ortogonal de coordenadas e dada a equação 
 
2 2( , ) 0 (*)G x y Ax Bxy Cy Dx Ey F= + + + + + = 
 
Com 2 2 2 0A B C+ + ≠ , chama-se cônica ao conjunto dos pontos ( , )P x y de α tais que (*) se 
verifica. 
 
 
Exemplos de cônicas 
 
a) Um conjunto vazio: 2 2( , ) 1 0G x y x y= + + = 
b) Um ponto: 2 2( , ) 0G x y x y= + = 
c) Uma reta: ( )22 2( , ) 2 0G x y x xy y x y= + + = + = 
d) Reunião de duas retas paralelas: ( ) ( ) 2 2( , ) 1 2 0G x y x y x y x xy y x y= + + + = + + + + = 
e) Reunião de duas retas concorrentes: ( ) ( ) 2 2( , ) 0G x y x y x y x y= + − = − = 
f) Elipse: 2 2( , ) 2 1 0G x y x y= + − = 
g) Hipérbole: 2 2( , ) 1 0G x y x y= − − = 
h) Parábola: 2( , ) 0G x y x y= − = 
i) Circunferência: 2 2( , ) 1 0G x y x y= + − = 
 
 
Estes casos esgotam todas as possibilidades da equação (*). Nem sempre é fácil reconhecer uma 
cônica (principalmente elipse, hipérbole e parábola) e esboçar seu gráfico. Podemos seguir o 
roteiro. 
 
i) Procure eliminar por meio de uma translação os termos de 1º. grau. 
 
ii) Procure eliminar o termo misto através de uma rotação. 
 
Ademais, temos o seguinte: 
 
I) Se 2 4 0B AC− < , a cônica pode ser: conjunto vazio, ponto, circunferência ou elipse. 
 
II) Se 2 4 0B AC− = , a cônica pode ser: conjunto vazio, reta, reunião de duas retas paralelas ou 
parábola. 
 
III) Se 2 4 0B AC− > , a cônica pode ser: reunião de duas retas concorrentes ou hipérbole. 
 
A expressão 2 4B AC∆ = − é chamada de discriminante e, a depender de seu sinal, dizemos que a 
equação em (*) é do tipo elíptica, parabólica ou hiperbólica. 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 25 
 
Lista de exercícios – Cônicas 
 
 
 
1. Por meio de uma translação conveniente dos eixos, transforme as equações que seguem em 
equações do 2º grau, sem os termos do 1º grau: 
a. 0324162 22 =+−++ yxyx Resp.: 04''2 22 =−+ yx 
b. 02981823 22 =+−++ yxyx Resp.: 06'2'3 22 =−+ yx 
c. 0102 =−+− yxxy Resp.: 08'' =−yx 
d. 032 =+−− yxxy Resp.: 05''4 =+yx 
 
2. Por meio de uma translação dos eixos coordenados, transforme as equações dadas para a nova 
origem indicada: 
a. )3,1(';066222 −==+−++ Oyxyx Resp.: 04'' 22 =−+ yx 
b. )5,1(';0251084 22 −==−−−− Oyxyx Resp.: 04''4 22 =−− yx 
c. 3 4 13 0; ' ( 4,3)xy x y O− + − = = − Resp.: 01'' =−yx 
 
3. Mediante uma rotação de eixos, elimine o termo xy nas equações: 
a. 024 22 =−++ yxyx Resp.: 02''3 22 =−− yx 
b. 01245 22 =−++ yxyx Resp.: 01''6 22 =−+ yx 
c. 033332 22 =+−+++ yxyxyx Resp.: 24 ' 2 ' 3 0x y− + = 
 
4. Reduza a equação 0144655 22 =−+−++ yxxyyx à forma 0'''' 22 =++ FCyAx . 
 
 Resp: 05''2''8 22 =−+ yx 
 
5. Determine a equação da parábola: 
 
a. com foco em F(-2,0) e com diretriz em x = 2; 
b. de concavidade voltada para cima que passa pelo ponto A(1,2) e cujo vértice é V(0,0); 
c. de vértice na origem, que passa pelo ponto (-3,2) e cujo eixo de simetria é o eixo dos x; 
d. com foco em F(2,4) e vértice em V(2,-2); 
e. com foco em F(1,3) e diretriz de equação y = – 1; 
f. com eixo de simetria paralelo ao eixo 0y, vértice V (1,3) e que passa pelo ponto (2,4); 
g. de eixo vertical cujo foco é F (-1, 3) e que passa pelo ponto (3,6); 
h. que tem o foco na origem e diretriz a reta 0532: =++ yxr ; 
i. cujo foco é F (0,1) e cuja diretriz é a reta r: 2x – y = 0; 
j. cujo foco é F(1,2) e o vértice coincide com a origem. 
 
Resp. a. xy 82 −= ; b. 02 2 =− yx ; c. 043 2 =+ xy ; d. ( ) ( )2242 2 +=− yx ; e. ( ) ( )181 2 −=− yx 
 f. 0422 =+−− yxx ; g. ( ) ( )241 2 −=+ yx e ( ) ( )7161 2 −−=+ yx ; 
 h. 02530201249 22 =−−−−+ yxxyyx ; i. 051044 22 =+−++ yxyyx 
 j. 0402044 22 =−−+− yxyxyx 
 
6. Determine o vértice, o foco e a diretriz da parábola ( ) ).8(42 2 −−=− yx 
 Resp: V(2,8), F (2,7), d: y – 9 = 0 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 26 
7. Obtenha o vértice e o foco da parábola cuja equação é: 
a. y² – 6y – 12x – 15 = 0 Resp.: V (-2,3), F(1,3) 
b. x² – 8x – 6y + 14 = 0 Resp.: 1 74, , 4,
3 6
V F   −   
   
 
8. Calcule a distância focal de uma elipse cujo eixo maior mede 10 e cujo eixo menor mede 8.
 Resp.: 6 
9. Calcule a excentricidade da elipse 4001625 22 =+ yx . Resp.: 
5
3
 
 
10. Determine os pontos de interseção da elipse 2549 22 =+ yx com os eixos coordenados. 
 Resp. 





−











−





2
5
,0,
2
5
,0,0,
3
5
,0,
35
 
11. Determine a equação canônica da elipse: 
 
a. com centro na origem, eixo focal sobre o eixo 0x, que passa pelo ponto )1,22(=A e de 
excentricidade 
2
1 ; Resp. 1
510
22
=+
yx
 
b. com centro na origem, focos no eixo das abscissas, que passa pelo ponto )1,15( −=A e 
seu semi-eixo menor é 2; Resp. 1
420
22
=+
yx
 
c. com focos em (-2,3) e (6,3) e vértice em (-3,3) e (7,3); Resp. ( ) ( ) 1
9
3
25
2 22
=
−
+
− yx
 
d. cujos focos estão sobre a reta y + 6 = 0, o ponto B = (3,-11) é um dos extremos do eixo 
menor e a excentricidade é igual a 
2
1
 Resp. ( ) ( ) 1
25
6
50
3 22
=
+
+
− yx
 
e. de equação 09845 22 =−++ yxyx Resp. 1
4
9
'
'
2
2
=+
y
x 
f. de equação 0223 22 =−++ yxyx Resp. 1'
5
4
' 2
2
=+ yx 
 
12. Determine a equação da hipérbole: 
a. com focos em F1(0, 8), F2 (0,–8) e vértices em (0,6), (0,–6); Resp. 1
2836
22
=−
xy
 
b. de centro na origem, eixo focal sobre o eixo dos x, cuja excentricidade é 5 e cuja 
distância focal é 4 5 ; Resp. 1
164
22
=−
yx
 
c. de centro na origem, eixo real sobre o eixo das ordenadas, que passa pelos pontos 
6 50,
5
P
 
  
 
 e ( )4,6Q ; Resp. 5y² – 9x² = 36 
d. com centro O’ = (–2, –1), um dos focos F
 
= (–2, 2) e cujo eixo real mede 4; 
 Resp. ( ) ( ) 1
5
2
4
1 22
=
+
−
+ xy
 
e. de eixos paralelos aos eixos coordenados, com focos em (1, 0) e (1, 4) e excentricidade 
igual a 3; Resp. ( ) ( ) 1
9
32
1
9
4
2 22
=
−
−
− xy
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 27 
f. com assíntotas 0114 =−+ yx , 0134 =−− yx e vértice (3, 1). Resp. ( ) ( ) 1
4
1
3
4
1 22
=
−
−
+ xy
 
13. Uma hipérbole tem um dos seus vértices em A = (3,0) e as equações de suas assíntotas são 
032 =− yx
 e 032 =+ yx . Determine a equação da hipérbole. Resp. 4x² – 9y² = 36 
 
14. Demonstre que a excentricidade de qualquer hipérbole eqüilátera é 2 . 
15. Determine as coordenadas do foco da hipérbole de equação 
( ) ( ) 1
2
2
7
1 22
=
−
−
− yx
. 
 Resp. F1(–2, 2), F2(4, 2) 
16. Determine as equações das assíntotas da hipérbole ( ) ( ) 1
9
1
16
2 22
=
+
−
− yx
. 
 Resp. 01043 =−− yx e 0243 =−+ yx 
 
17. Dada a hipérbole de equação 01843 2 =−+− xxyx , pede-se o centro, a equação canônica e o 
gráfico. Resp. O’(0, 2) e 1'''' 2
4
1
2
=− x
y
 
18. Determine uma equação de elipse com excentricidade 
3
1
=ε e cujos focos coincidem com os 
vértices da hipérbole 01991864916: 22 =+−−− yxyxH . Resp. ( ) ( )
2 22 1
1
128 144
x y− +
+ = 
 
19. Determine a equação da parábola P1 cujo vértice coincide com o vértice da parábola 
01644: 22 =+−− yxyP e cuja diretriz coincide com o eixo focal da hipérbole 
( ) ( ) 1
16
5
4
2
:
22
=
−
−
+ xyH . Resp. ( ) ( )22 8 3y x− = − − 
 
20. Determine a equação da parábola P cujo vértice coincide com o centro da hipérbole 
01914472 22 =−+−− yxyx e cuja diretriz coincide com o eixo focal da elipse 
( ) ( )2 21 2
: 1
4 1
x y
E
− +
+ = . Resp. ( ) ( )21 12 1x y− = − 
21. Determine uma equação de elipse de excentricidade igual a 3
2
 e com eixo maior coincidindo 
com o latus rectum da parábola de equação 2 4 8 28 0y y x− − + = . Resp. 
( ) ( )2 22 5 1
16 4
y x− −
+ = 
 
22. Identifique as seguintes cônicas: 
 
a. 0672 22 =+++−+ yxyxyx Resp. par de retas concorrentes 
b. 0131423103 22 =−−−+− yxyxyx Resp. hipérbole 
c. 041746892416 22 =+−−+− yxyxyx Resp. parábola 
d. 02610222 =++++ yxyx Resp. um ponto P(-1,-5) 
e. 033251425 22 =−+++− yxyxyx Resp. elipse 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 28 
f. 023644 22 =+++++ yxyxyx Resp. par de retas paralelas 
g. 0598161616 22 =−+−+ yxyx Resp. circunferência 
h. 02963811619 22 =+++++ yxyxyx Resp. conjunto vazio 
 
23. Uma ponte suspensa de 400 m de comprimento é 
sustentada por um cabo principal parabólico (veja 
a figura). O cabo principal está a 100 m acima da 
ponte nos extremos e 4 m acima da ponte em seu 
centro. Calcule o comprimento dos cabos de 
sustentação que são colocados a intervalos de 50 
m ao longo da ponte. (Sugestão: Utilize o sistema 
de coordenadas retangulares em que a ponte é o 
eixo x e a origem está no meio da ponte.) 
 
 
 
 Resp. Função altura: 23 4
1250
y x= + . 
 
 
 
24. Exceto por pequenas perturbações, um satélite se move ao redor da Terra em uma órbita 
elíptica, com um dos focos no centro da Terra. Suponha que no perigeu (o ponto da órbita 
mais próximo do centro da Terra) o satélite está a 400 km da superfície da Terra e que no 
apogeu (o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra) o satélite está a 600 km da 
superfície da Terra. Calcule o eixo menor e o eixo maior da órbita elíptica deste satélite, 
supondo que a Terra é uma esfera de 6371 km de raio. 
 
 Resp.: Eixo menor da órbita elíptica do satélite=13.740,54 km e eixo maior=13.742,00 km. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 29 
 
COORDENADAS POLARES. Introduziremos um novo sistema de coordenadas planas que, para certas 
curvas e problemas de lugar geométrico, apresenta algumas vantagens em relação às coordenadas 
retangulares, além de facilitar, em alguns casos, o cálculo de integrais (em outra disciplina). 
 
No sistema de coordenadas retangulares a localização de um ponto P do plano é dada através da 
distância de P a duas retas perpendiculares fixas denominadas de eixos coordenados. No sistema 
de coordenadas polares, as coordenadas de um ponto consistem de uma distância e da medida de 
um ângulo, em relação a um ponto fixo e a uma semi-reta fixa. 
 
Fixados um ponto O , denominado pólo ou origem e uma semi-reta de origem nesse ponto, 
denominada de semi-eixo polar podemos localizar qualquer ponto P do plano se conhecermos a 
sua distância ao pólo e o ângulo θ que o segmento OP faz com o semi-eixo polar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As coordenadas de um ponto P são representadas pelo par ( , )P r θ no qual 
• r é denominado raio vetor ou raio polar e corresponde à distância de P ao pólo. 
• θ é denominado ângulo vetorial ou ângulo polar ou argumento e corresponde ao ângulo de 
rotação do semi-eixo polar até o segmento OP . 
• 0θ > se a rotação for no sentido anti-horário. 
• 0θ < se a rotação for no sentido horário. 
• θ pode ser medido em graus ou radianos. 
 
Denominamos 
• eixo polar – a reta orientada que contém o semi-eixo polar. 
• eixo a 90º ou eixo ortogonal – a reta que passa pelo pólo e é ortogonal ao eixo polar. 
 
Exemplo: Marcar no sistema polar os seguintes pontos: 3,
4
P pi  
 
; 2,
3
Q pi− 
 
; ( )4,90ºR e ( )2,0ºS . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos considerar o raio vetor como distância orientada de um ponto P ao pólo O da seguinte 
maneira: 
• Se 0r < giramos o semi-eixo polar de ângulo θ e na semi-reta oposta marcamos r 
unidades, a partir do pólo. 
 
P 
r 
θ 
O 
semi-eixo polar 
pólo 
P 
pi/4 
-pi/3 
Q 
R 
S 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 30 
Exemplo: Marcar os pontos ( )2, 45ºP − ; ( )1, 30ºQ − − ; ( )2,180ºR − . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Representar 1 1, 6
P pi  
 
; 2
71,
6
P pi − 
 
; 3
51,
6
P pi− − 
 
; 4
111,
6
P pi−  
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
Observamos pelo exemplo anterior que um mesmo ponto P pode ser obtido por vários pares de 
coordenadas polares. De um modo geral, conhecidas as coordenadas de um ponto ( , )P r θ , r ∈� e 
θ em radianos, P também pode ser representado por ( ), 2r nθ pi+ ou ( ), 2r nθ pi pi− + + que resulta 
na única expressão ( )( 1) , , n r n nθ pi− + ∈� . A menos que P seja o pólo, esta expressão representa 
todas as possíveis coordenadas polares de P . 
 
 
Observações: 
 
1. No caso de coordenadas polares não existe uma correspondência biunívoca entre pares e 
pontos, como no caso das cartesianas. É justamente este fato que leva a resultados que, em 
alguns casos, diferem dos obtidos no sistema retangular. 
 
2. Dados ( )1 1 1,P r θ e ( )2 2 2,P r θ então 1 2 1 2 0P P r r= ⇔ = = ou n∃ ∈� tal que 2 1( 1)nr r= − 
e 2 1 nθ θ pi= + . 
 
3. Se P é o pólo, então ( )0,θ representa P qualquer que seja θ . 
 
4. Entre os infinitos pares de coordenadas polares de um ponto P diferente do pólo, existe um 
único par com raio vetor r positivo e [ [0,2θ pi∈ . A este par ( )0 0,r θ tal que 0 0r > e 
00 2θ pi≤ < denominamos par ou conjunto principal de coordenadas polares do ponto P . 
 
5. Convencionamos que o par principal do pólo é ( )0,0P . 
 
 
 
 
 
pi/4 
P 
−30° 
Q 
O 
R 
P1 
pi/6 
7pi/6 
P2 P3 
−5pi/6 
P4 
−11pi/6 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 31 
Exemplos: 
 
1) Determine mais três pares de coordenadas para os seguintes pontos: 
 
a) 3,
4
P pi  
 
. Solução. 1 3, 4
P pi− − 
 
; 2
53,
4
P pi − 
 
; 3
73,
4
P pi−  
 
. 
 
b) ( )1,Q pi . Solução. ( )1 1,0Q − ; ( )2 1,3Q pi ; ( )3 1,2Q pi− . 
 
2) Determine o par principal de coordenadas polares do ponto ( )2, 870P − o . 
Solução. O par principal ( )0 0,P r θ deve ter 0 0r > e 00 2θ pi≤ < . Assim, 870 2360 150− = − −o o o e 
150− o corresponde a 210o . Logo, as coordenadas principais do ponto são ( )2, 210o . 
 
 
Equações polares equivalentes. Uma equação polar é uma equação dada em coordenadas polares, 
isto é, que contém como variáveis os parâmetros que representam o raio e o ângulo vetorial do 
sistema polar. Assim, uma equação polar é escrita na forma ( , ) 0f r θ = . 
 
O lugar geométrico determinado por uma equação polar ( , ) 0f r θ = é formado por todos os pontos 
e somente aqueles que tiverem pelo menos um par de coordenadas polares que satisfaça a equação. 
Assim, é possível que um ponto ( )0 0,P r θ esteja no lugar geométrico sem que suas coordenadas 
satisfaçam a equação. 
 
 
Exemplos: 
1. A equação 2r = corresponde à circunferência de centro no pólo e raio 2. O ponto 
2,
2
P pi − 
 
 pertence à circunferência, mas não satisfaz a equação. Mas, este mesmo ponto 
tem coordenadas 32,
2
pi 
 
 
 que satisfaz a equação. Por outro lado, a equação 2r = − 
representa a mesma circunferência. As equações 2r = e 2r = − são ditas equivalentes. 
 
2. A equação 0θ = é a equação do eixo polar. As equações nθ pi= são equações equivalentes 
do eixo polar. 
 
 
Equação polar × Equação cartesiana. Dado um ponto P do plano tendo como coordenadas 
polares ( , )P r θ e coordenadas cartesianas ( , )P x y temos as seguintes relações entre , , e x y r θ . 
 
 
 
 
2 2 2
cos
sen
x r
y r
x y r
θ
θ
 =

=

+ =
 e 
2 2
tg y
x
r x y
θ =


= ± +
 
 
 
 
θ 
r 
P(x,y) 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 32 
Exemplos: 
 
1) Encontre o conjunto principal de coordenadas polares para o ponto ( )3,1P − . 
Solução. ( )23 1 2r = − + = e 1 1tg 2 33 3 pi piθ θ= = − ⇒ = +− . O conjunto principal de 
coordenadas é portanto 52,
6
pi 
 
 
. 
 
2) Encontre as coordenadas cartesianas do ponto 32,
4
P pi − 
 
. 
Solução. Temos que 
3 2
cos 2 cos 2 1
4 2
3 2
sen 2 sen 2 1
4 2
x r
y r
piθ
piθ
  
− 
= = = − = −        

 
−  
= = = − = −       
 
O ponto P tem, portanto, coordenadas cartesianas ( )1, 1P − − . 
 
 
3) Encontre uma equação polar para as curvas cujas equações cartesianas são 
a) 2 2 1x y+ = 
Solução. cosx r θ= e seny r θ= ⇒ ( ) ( )2 2cos sen 1r rθ θ+ = ⇒ 2 1r = . Portanto, 1r = e 
1r = − são equações polares equivalentes da circunferência de centro na origem e raio 1. 
 
b) 2 2 16x y− = 
Solução. cosx r θ= e seny r θ= ⇒ ( ) ( )2 2cos sen 16r rθ θ− = ⇒ ( )2 2 2cos sen 16r θ θ− = 
⇒ 2 cos(2 ) 16r θ = . 
 
c) 3y x= 
Solução. sen 3 cosr rθ θ= ⇒ tg 3θ = ou arctg(3)θ = . 
 
 
4) Encontre uma equação cartesiana das curvas cuja equação na forma polar é dada por: 
 
a) 2 2sen(2 )r θ= 
Solução. 2 2 2r x y= + e sen(2 ) 2sen cosθ θ θ= implicam em 
4 ( )22 2 2 22 22 2 2 2 44sen cos 4 4x y xyx y x y xyx yx y x yθ θ+ = = = ⇒ + =++ + . 
 
b) 6
2 3sen
r
θ
=
−
 
Solução. 6
2 3sen
r
θ
=
−
⇒ 2 3 sen 6r r θ− = ⇒ 2 22 3 6x y y± + − = ⇒ 2 24 5 36 36x y y− − = . 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 33 
Equação de algumas curvas em coordenadas polares 
 
 
1. Reta 
 
 
1.1 Reta que passa pelo pólo. 
 
A equação kθ = representa uma reta que passa pelo pólo. 
 
 
1.2 Caso geral 
 
Seja l uma reta e tracemos do pólo até l a normal ON , sendo ( , )N p ω o ponto de intersecção de 
l com a reta ON . 
 
Se ( , )P r θ é um ponto sobre l então cos( )r pθ ω− = é a equação polar da reta l . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alguns Casos Particulares 
 
Reta perpendicular ao eixo polar 
 
cosr pθ = ( 0)p > – Reta à direita do pólo 
 
cosr pθ = − ( 0)p > – Reta à esquerda do pólo 
 
 
 
 
Reta perpendicular ao eixo a 90°senr pθ = ( 0)p > – Reta acima do eixo polar 
 
senr pθ = − ( 0)p > – Reta abaixo do eixo polar 
 
 
 
 
 
θ O 
N O N 
 
O 
N 
 
N 
r 
P(r, θ) 
N(p,w) 
w 
 θ − w p 
O 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 34 
2 Circunferência 
 
 
2.1 Circunferência com centro no pólo 
 
A equação da circunferência com centro no pólo e raio a é r a= ou r a= − . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 Circunferência com centro ( )0 0,C r θ e raio a . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando a lei dos cossenos temos 0 0 0
2 2 2 2 cos( )a r r rr θ θ= + − − (I) que é chamada equação padrão 
da circunferência. 
 
 
Casos particulares 
 
 
Circunferência passa pelo pólo e tem centro no eixo polar. 
 
Neste caso ( ),0C a o , 0a > . Substituindo em (I): 2 2 cosr ra θ= . Uma vez que, para 0r = o ponto 
é o pólo, que pertence à circunferência, podemos simplificar e obter 2 cosr a θ= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Centro à direita do pólo Centro à esquerda do pólo 
 
 
 
C O 
2 cosr a θ=
 
C O 
2 cosr a θ= −
 
O 
P(r, θ) 
θo 
C 
a 
r 
ro 
θ − θo 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 35 
Circunferência passa pelo pólo e tem centro no eixo a 90°. 
 
Neste caso ( ),90C a o , 0a > . Substituindo em (I) temos 2 2 senr ra θ= . Uma vez que para 0r = o 
ponto é o pólo que pertence à circunferência podemos simplificar e obter 2 senr a θ= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro acima do eixo polar Centro abaixo do eixo polar 
 
 
 
3. Algumas curvas clássicas em coordenadas polares 
 
3.1) 2 2cosr θ= + (cardióide) 3. 2) 3cos(2 )r θ= (rosácea) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3) 2 4cos(2 )r θ= (lemniscata) 3.4) r θ= (Espiral de Arquimedes) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
O 
2 senr a θ=
 
C 
O 
2 senr a θ= −
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 36 
Gráficos em coordenadas polares 
 
 
Circunferências. Considerando 2a = . 
 
r a= 2 cosr a θ= 2 senr a θ= 
 
 
 
 
 
Limaçons. Considerando 3a = e 2b = ( )a b> . 
 
cosr a b θ= + cosr a b θ= − 
 
 
 
 
 
senr a b θ= + senr a b θ= − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 37 
Considerando 2a = e 3b = ( )a b< . 
 
 
cosr a b θ= + cosr a b θ= − 
 
 
 
 
 
senr a b θ= + senr a b θ= − 
 
 
 
 
 
Considerando 2a = . 
 
( )1 cosr a θ= + ( )1 cosr a θ= − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 38 
 
( )1 senr a θ= + ( )1 senr a θ= − 
 
 
 
 
 
 
Rosáceas 
 
Considerando 2a = , 3n = ( n ímpar). 
 
cos( )r a nθ= sen( )r a nθ= 
 
 
 
 
Considerando 2a = , 4n = ( n par). 
 
cos( )r a nθ= sen( )r a nθ= 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 39 
Espirais 
 
Considerando 2a = . 
 
a
r
θ
= ( 0)θ > ar
θ
= ( 0)θ < 
 
 
 
 
 
a
r e θ= ( 0,1)a = r aθ= ( 1)a = 
 
 
 
 
r θ= r θ= − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 40 
Lista de Exercícios – Coordenadas polares 
 
 
1. Utilizando um papel de coordenadas polares, posicione os pontos no plano, dadas suas 
coordenadas polares: 2,
3
A pi  
 
, B(-3, 
2
pi ), C(-5, 
4
3pi ), D(6, 
4
3pi ), E(1,5, -
3
4pi
 ), F(-2, 315º), 
G(4, -
3
pi ), H(- 2 , -
6
pi ), I(-3, 15º). 
 
2. Dados os pontos P1(3, 5pi/3), P2(-3, 330o), P3(-1, -pi/3), P4(2, -315o), P5(0, 53o), P6(0, epi) e 
P7(1,3), determine: 
2.1. a representação gráfica de cada um desses pontos no plano polar; 
2.2. três outros conjuntos de coordenadas polares para os pontos P3 e P4; 
2.3. as coordenadas retangulares dos pontos P1, P5 e P7; 
2.4. quais desses pontos coincidem com o ponto P(3, 2310o); 
 
3. 3.1)Um ponto se move de maneira que, para todos os valores de seu ângulo vetorial, seu raio 
vetor permanece constante e igual a 4. Identifique o gráfico do lugar geométrico de P. 
3.2) Um ponto se move de maneira que, para todos os valores de seu raio vetor, seu ângulo 
vetorial permanece constante e igual a 45o. Identifique e faça o gráfico do lugar geométrico 
de P. 
 
4. Um triângulo eqüilátero possui como vértices o pólo e o ponto A(4,0). Determinar as 
coordenadas do outro vértice. (dois casos). 
 
5. Um quadrado com centro na origem tem como um dos vértices o ponto A(3, 60º). 
Determinar as medidas dos lados e as coordenadas dos outros vértices. 
 
6. Verifique se o ponto P pertence à curva C, quando: 
6.1) P(-1, pi/6) e C: r2 – 2cos2θ = 0 6.2) P(-1, pi/2) e C: r(1 – 3senθ) = 4 
6.3) P(4, pi/2) e C: r = 4sen3θ 6.4) P(0, pi/11) e C: r – 3cosθ + rsenθ = 0 
 
7. Transforme a equação retangular dada em sua forma polar. 
7.1) 2x – y = 0 7.2) x2 + y2 – 2y = 0 7.3) xy = 2 7.4) x2 – 4y = 4 
 
8. Transforme a equação polar dada em sua forma retangular (cartesiana). 
8.1) r cosθ – 2 = 0 8.2) 
θ+
=
cos21
4
r 8.3) r = 2 sec2 
2
θ
 8.4) r2 = 4 cos2θ 
 
9. Determine os pontos do eixo polar distando 5 unidades do ponto P(4, 4pi/3). 
 
10. Determine a equação polar da reta r que passa pelo ponto P(3, 60o), sabendo que o segmento 
OP é normal à reta r. 
 
11. Determine a equação polar da reta r que passa ponto P(-2, 330o) e que: 
11.1) é paralela ao eixo a 90o. 
11.2) é perpendicular ao eixo polar. 
11.3) é paralela à reta s: θ = pi/6. 
11.4) é perpendicular à reta t : ( )φ+φ=ρ
sencos
2
21
. 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 41 
11.5) passa pelo ponto Q(1, -30o). 
11.6) passa pelo ponto R(4, 210o). 
 
12. Determine uma equação polar do círculo concêntrico com o círculo C1: 
07sen4cos342 =+φρ+φρ−ρ e cujo raio é o dobro do raio de C1. 
 
13. Esboce o gráfico das curvas cujas equações polares são: 
a) r = 2 secθ b) r2 = -2sen2θ c) r = 3 – 4cosθ 
d) r = 4senθ e) r2 = 8cos2θ f) r = 2sen3θ 
g) r = 2θ h) r = 4 + 2senθ i) r = 4cos2θ 
 
14. Determine as intersecções das curvas C1 e C2 analiticamente: 
 14.1) C1: r = 2 + 2cosθ e C2: θ = pi/4 14.2) C1: r = 3 e C2: r = 6sen2θ 
 
 
Respostas: 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 2.2) P3(1, 120º); P3(1, 480º); P3(-1, 300º); P4( 2 , 45º); P4(- 2 , -135º); P4(- 2 , 225º) 
 2.3) P1(3/2, -3 3 /2); P5(0,0); P7(cos3, sen3) 
 2.4) P2 
3) 3.1) círculo: r = 4 
 3.2) reta: θ = 45º 
4) (4, 60º) ou (4, -60º) 
5) B 




 pi
6
5
 ,3 , C 




 pi
3
4
 ,3 , D 




 pi
6
11
 ,3 
6) 6.1) Sim 6.2) Não 6.3) Não 6.4) Não 
7) a) θ = arctg2 b) r = 2senθ c) r2sen2θ = 4 d) r2cos2θ – 4rsenθ = 4 
8) 8.1) x = 2 8.2)3x2 – y2 – 16x + 16 = 0 
 8.3) 8x + y2 – 16 = 0 8.4) x2 + y2 = 2 22 yx − ; x2 ≥ y2 
9) A(-2 + 13 , 0) e B(-2 – 13 , 0) 
10) 3 = r cos(θ - 60º) 
 
 
B 
H
A 
C 
D 
E 
G
I 
F 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 42 
11) 11.1) r: 3 = r cos(θ – 180º) 
 11.2) r: 3 = r cos(θ – 180º) 
 11.3) r: 3 = r cos(θ – 120º) 
 11.4) r: 
2
62 +
 = r cos(θ – 135º) 
 11.5) r: θ = 150º 
 11.6) r: 
r
1
 = 
4
3
− cosθ + 
4
1
senθ 
12) r2 – 4 3 r cosθ + 4r senθ - 20 = 0 
13) a) reta 
 b) lemniscata 
 c) limaçon com laço 
 d) circunferência 
 e) lemniscata 
 f) rosácea de 3 pétalas 
 g) espiral de Arquimedes 
 h) limaçon 
 i) rosácea de 4 pétalas 
14) 14.1) {(0, pi/4), (2 + 2 , pi/4), (2 – 2 , 5pi/4)} 
 14.2) {(3, pi/12), (3, 5pi/12), (3, 13pi/12), (3, 17pi/12), (-3, 7pi/12), (-3, 19pi/12), 
 (-3, 11pi/12), (-3, 23pi/12)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 43 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
1. CAMARGO, I.; BOULOS, P. Geometria Analítica. 3ª ed. revisada e ampliada – São Paulo: 
Prentice Hall, 2005. 
 
2. STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica, Makron Books. 
 
3. CAROLI, A.; CALLIOLI, C. A.; FEITOSA, M. O. Matrizes, Vetores e Geometria Analítica, 
Ed. Nobel, 1991. 
 
4. VENTURINI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica, 8ª edição (atualizada) disponível 
no site www.geometriaanalítica.com.br . 
 
5. SANTOS, R. Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear, disponível no site 
www.mat.ufmg.br/~regi . 
 
6. LEHMANN, C. H. Geometria Analítica, Editora Globo. 
 
7. Professoras do Departamento de Matemática – UFBA. Apostilas Cálculo Vetorial, disponível 
no site www.dmat.ufba.br . 
 
8. THOMAS, G. B. Cálculo, vol I e II. Pearson Education, 2005. 
 
9. LEITHOLD, L. Cálculo com Geometria Analítica. Harbra, 1994. 
 
10. MUNEM, M. Cálculo. vol. 2. Rio de janeiro. Guanabara Dois Editora, 1978. 
 
11. http://www.mat.ufrgs.br/~calculo/calculo1.html veja link “Um estudo das cônicas”.