Lista 01 Vetores Geometria Analitica FURG SAP

Prévia do material em texto

Lista de Exerc´ıcios 1 Vetores
1. Decidir se sa˜o verdadeiras ou falsas as afirmac¸o˜es abaixo:
a) |10~u| = | − 10~u| = 10|~u|;
b) Se ~u = −3~v, enta˜o −3~u e 2~v sa˜o paralelos e de mesmo sentido;
c) Se ~u = ~v, enta˜o |~u+ ~v| = 2|~u|;
d) Se ~w = ~u+ ~v, enta˜o |~w| = |~u|+ |~v|;
e) Sejam ~u, ~v e ~w vetores na˜o-nulos. Se ~u+ ~v + ~w = ~v, enta˜o ~u = −~w;
f) Se |~v| = 10 enta˜o o versor de −3~v e´ − ~v30 ;
g) Se AB//CD e AC//BD, enta˜o
−→
AB =
−→
CD;
h) Sejam ~u, ~v e ~w vetores na˜o-nulos. Se ~u⊥~v e ~v⊥~w, enta˜o ~u+ ~v + ~w 6= ~0;
i) Se ~u+ ~v = −~u, enta˜o ~v = −2~u;
j) Seja
−→
AB⊥−→AC e |−→AB| = 2|−→AC|. Se M e´ o ponto me´dio do segmento BC, enta˜o os pontos A,
C e M formam um triaˆngulo retaˆngulo;
k) Se
−→
AB⊥−→AC e −→BD//−→AC, enta˜o os pontos A, B e D formam um triaˆngulo retaˆngulo;
l) Se
−→
AB⊥−→AC enta˜o o aˆngulo entre −→AC e −→CB e´ menor que 90◦.
2. Com base na figura, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A.
a)
−→
AB +
−→
AG +
−→
AH
b)
−→
AH +
−→
AD +
−→
BA
c) 2
−→
AH−−→AG +−→HJ
d)
−→
EK +
−−→
GQ−−→OR
e)
−→
CK− 2−−→NM−−→OH A
B C
D E
F
G
H
I
J K
L
M
N O
P Q R
3. Dados os vetores ~u e ~v, mostrados abaixo, representar graficamente:
a) ~u+ ~v
b) ~u− ~v
c) ~u+ 2~v
d) 3~u− 2~v
e)
~u
2
+
~v
3
u
v
4. Dados os vetores ~u, ~v e ~w mostrados na figura abaixo, determinar o aˆngulo formado entre os
vetores:
a) ~u e 2~w;
b) ~u e −~w;
c) ~u e −~v;
d) −2~v e −3~u. 120°30°
w
v
u
FURG Geometria Anal´ıtica
Lista de Exerc´ıcios 1 Vetores
5. Desenhe o sistema de coordenadas cartesiano no plano e marque treˆs pontos na˜o-colineares
quaisquer, O, A e B. A partir destes, construa os pontos:
a) M = O + 2(A−O);
b) N = O + (A−O) + (B −O);
c) Q = O + 13(A−O)− 12(B −O);
d) S = O − 3(B −A).
6. Desenhe o sistema de coordenadas cartesiano no plano e marque quatro pontos O, A, B e C
tais que treˆs quaisquer desses pontos na˜o estejam alinhados.
a) Construa os pontos A′ = O + 3(A−O), B′ = O + 3(B −O), C ′ = O + 3(C −O);
b) O que concluimos ao comparar os triaˆngulos ABC e A′B′C ′?
7. Seja r uma reta orientada no plano com origem no ponto O. Sejam A e B pontos de r e
suponha que a abscissa de A seja a = 2; e a de B, b = −3. Calcule a abscissa do ponto C,
tal que
−→
CA+ 4
−→
OA− 2−−→BC = (3, 3).
8. Dados os vetores ~u = (3,−1) e ~v = (−1, 2), determinar o vetor ~x tal que:
a) 4(~u− ~v) + 13~x = 2~u− ~x;
b) 3~x− (2~v − ~u) = 2(4~x− 3~u).
9. Dados os vetores ~u = (2,−4), ~v = (−5, 1) e ~w = (−12, 6), determinar a1 e a2 tais que
~w = a1~u+ a2~v.
10. Sejam os pontos A(−5, 1) e B(1, 3). Determinar o vetor ~v = (a, b) tal que
a) B = A+ 2~v;
b) A = B + 3~v.
Contruir o gra´fico correspondente a cada situac¸a˜o.
11. Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor ~v = (−1, 3), sabendo que
sua extremidade esta´ em (3, 1)? Representar graficamente este segmento.
12. Dada a figura abaixo, calcule ~u+ ~v, sabendo que |~u| = 6 e |~v| = 10.
O
v
u
30°
30°
x
y
13. Qual o aˆngulo θ da figura abaixo, sabendo que ~v = (1,
√
3)?
FURG Geometria Anal´ıtica
Lista de Exerc´ıcios 1 Vetores
v
x
y
14. Expresse o vetor ~c = 12~i + 16~j como uma combinac¸a˜o linear dos vetores ~a = 4~i + 3~j e
~b = 2~i+ 5~j.
15. Encontre um vetor unita´rio de mesma direc¸a˜o e sentido do vetor ~v =~i−~j.
16. Encontre um vetor com 10 unidades de comprimento, na mesma direc¸a˜o e sentido oposto ao
vetor ~u = (−3, 4).
17. Diga quais sa˜o as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H em relac¸a˜o ao ponto O de
acordo com a base (~i,~j,~k.
O
A
B
C
D
E
F
G
H
i j
k
18. Desenhe o sistema de coordenadas cartesiano no espac¸o e o triaˆngulo formado pelos ve´rtices
A(3, 0, 0), B(0, 5, 0) e C(0, 0, 4)
19. Desenhe o sistema de coordenadas cartesiano no espac¸o e o retaˆngulo formado pelos ve´rtices
A(2,−2, 0), B(2,−2, 2), C(−2,−2, 2) e D(−2,−2, 0).
20. Desenhe o sistema de coordenadas cartesiano no espac¸o e o paralelogramo formado pelos
ve´rtices A(3, 1,−2), B(1, 2,−2), C(1, 5,−2) e D(3, 4,−2).
21. Calcule a distaˆncia de cada um dos pontos dados no exerc´ıcio 20 ao eixo das cotas.
22. Dado o ponto A(3, 2,−1), diga qual e´ o ponto B tal que −→AB seja ortogonal ao plano xy e
|−→AB| = 5.
23. Por qual ponto do plano xz corta a reta que passa pelo ponto A(2, 2, 2) e e´ paralela ao vetor
~v = (1, 1, 3)?
FURG Geometria Anal´ıtica
Lista de Exerc´ıcios 1 Vetores
24. Dado o ponto A(2,−1,−2), determine o ponto P tal que |−→AP| = 6 e −→AP seja paralelo e de
mesmo sentido que
−→
OA.
25. Determinar os valores de x tais que o triaˆngulo de ve´rtices A(−1, 2, 5), B(2, 1, 1) e C(x,−2, 3)
seja iso´celes, com os lados AC e BC iguais.
26. Determine o ponto do plano xz que e´ interceptado pelo segmento AB, sendo A(4, 2, 3) e
B(9,−3,−2).
27. Seja r a reta que passa pelos pontos A(5, 3, 4) e B(3, 1, 2). Qual o comprimento do segmento
da reta r que passa pelo quarto octante?
RESPOSTAS: 1) a. V; b. V; c. V; d. F; e. V; f. F; g. V; h. V; i. V; j. F; k. V; l.
F. 2) a.
−→
AO; b.
−→
AJ ; c.
−−→
AK; d.
−−→
AN ; e.
−→
AR. 4) a. 150◦; b. 30◦; c. 150◦; d. 30◦. 7) 13 . 8)
a.
(−152 , 152 ); b. (235 ,−115 ). 9) a1 = −1 e a2 = 2. 10) a. ~v = (3, 1); b. ~v = (−2,−23). 11)
(4,−2). 12) (−3 + 5√3, 5− 3√3). 13) θ =60◦. 14) ~c = 2~a+ 2~b. 15)
(
1√
2
,− 1√
2
)
. 16) (6,−8). 17)
A(0, 2, 0), B(0, 0, 2), C(−1,−1, 2), D(−1, 0, 1), E(0, 2,−2), F(2, 1,−2), G(3,−1,−1) e H(1,−1, 0).
21) d(A, z) =
√
10, d(B, z) =
√
5, d(C, z) =
√
26 e d(D, z) = 5. 22) B(3, 2,−6) ou B(3, 2, 4). 23)
(0, 0,−4). 24) P (6,−3,−6). 25) x = −23 . 26) (6, 0, 1). 27)
√
3.
FURG Geometria Anal´ıtica