Assíntotas Horizontais e Verticais na Matemática

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Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Ass´ıntotas
Horizontais e
Verticais
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 6
Matema´tica I - GAN 00150
Ricardo Fuentes Apolaya
ricardof16@yahoo.com.br
Departamento de Ana´lise
Nitero´i, 2013
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
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Ass´ıntotas
Horizontais e
Verticais
Exemplo 1
Exemplo 2
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Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 6
Suma´rio
1 Ass´ıntotas Horizontais e Verticais
2 Exemplo 1
3 Exemplo 2
4 Exemplo 3
5 Exemplo 4
6 Exemplo 5
7 Exemplo 6
Matema´tica I
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Horizontais e
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1 Ass´ıntotas Horizontais e Verticais
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1 Ass´ıntotas Horizontais e Verticais
2 Exemplo 1
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Suma´rio
1 Ass´ıntotas Horizontais e Verticais
2 Exemplo 1
3 Exemplo 2
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1 Ass´ıntotas Horizontais e Verticais
2 Exemplo 1
3 Exemplo 2
4 Exemplo 3
5 Exemplo 4
6 Exemplo 5
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Ass´ıntotas
Horizontais e
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1 Ass´ıntotas Horizontais e Verticais
2 Exemplo 1
3 Exemplo 2
4 Exemplo 3
5 Exemplo 4
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Ass´ıntotas
Horizontais e
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Exemplo 1
Exemplo 2
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Suma´rio
1 Ass´ıntotas Horizontais e Verticais
2 Exemplo 1
3 Exemplo 2
4 Exemplo 3
5 Exemplo 4
6 Exemplo 5
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Ass´ıntotas
Definic¸a˜o
A reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→a f (x) = ±∞, limx→a+ f (x) = ±∞, limx→a− f (x) = ±∞
Definic¸a˜o
A reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→+∞ f (x) = b, limx→−∞ f (x) = b
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Horizontais e
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Exemplo 3
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Ass´ıntotas
Definic¸a˜o
A reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→a f (x) = ±∞, limx→a+ f (x) = ±∞, limx→a− f (x) = ±∞
Definic¸a˜o
A reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→+∞ f (x) = b, limx→−∞ f (x) = b
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Ass´ıntotas
Definic¸a˜o
A reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical de f,
se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→a f (x) = ±∞, limx→a+ f (x) = ±∞, limx→a− f (x) = ±∞
Definic¸a˜o
A reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→+∞ f (x) = b, limx→−∞ f (x) = b
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Ass´ıntotas
Definic¸a˜o
A reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→a f (x) = ±∞, limx→a+ f (x) = ±∞, limx→a− f (x) = ±∞
Definic¸a˜o
A reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→+∞ f (x) = b, limx→−∞ f (x) = b
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Ass´ıntotas
Definic¸a˜o
A reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→a f (x) = ±∞,
lim
x→a+
f (x) = ±∞, lim
x→a−
f (x) = ±∞
Definic¸a˜o
A reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→+∞ f (x) = b, limx→−∞ f (x) = b
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Definic¸a˜o
A reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→a f (x) = ±∞, limx→a+ f (x) = ±∞,
lim
x→a−
f (x) = ±∞
Definic¸a˜o
A reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→+∞ f (x) = b, limx→−∞ f (x) = b
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Definic¸a˜o
A reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→a f (x) = ±∞, limx→a+ f (x) = ±∞, limx→a− f (x) = ±∞
Definic¸a˜o
A reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→+∞ f (x) = b, limx→−∞ f (x) = b
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A reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→a f (x) = ±∞, limx→a+ f (x) = ±∞, limx→a− f (x) = ±∞
Definic¸a˜o
A reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
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x→+∞ f (x) = b, limx→−∞ f (x) = b
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A reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→a f (x) = ±∞, limx→a+ f (x) = ±∞, limx→a− f (x) = ±∞
Definic¸a˜o
A reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal de f,
se verifica pelo
menos um dos limites:
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x→+∞ f (x) = b, limx→−∞ f (x) = b
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A reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→a f (x) = ±∞, limx→a+ f (x) = ±∞, limx→a− f (x) = ±∞
Definic¸a˜o
A reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
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x→+∞ f (x) = b, limx→−∞ f (x) = b
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Definic¸a˜o
A reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→a f (x) =±∞, limx→a+ f (x) = ±∞, limx→a− f (x) = ±∞
Definic¸a˜o
A reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→+∞ f (x) = b,
lim
x→−∞ f (x) = b
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A reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→a f (x) = ±∞, limx→a+ f (x) = ±∞, limx→a− f (x) = ±∞
Definic¸a˜o
A reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→+∞ f (x) = b, limx→−∞ f (x) = b
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Ass´ıntotas
Definic¸a˜o
A reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→a f (x) = ±∞, limx→a+ f (x) = ±∞, limx→a− f (x) = ±∞
Definic¸a˜o
A reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal de f, se verifica pelo
menos um dos limites:
lim
x→+∞ f (x) = b, limx→−∞ f (x) = b
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Exemplo 1
Exemplo
Ache as ass´ıntotas de f (x) =
2x2 + 5x − 8
x + 3
.
lim
x→−3+
f (x) = lim
x→−3+
2x2 + 5x − 8
x + 3
=
−5
0+
= −∞
Logo, a reta x = −3 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= lim
x→+∞
2x + 5− 8 1
x
1 + 3
1
x
= +∞
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Ache as ass´ıntotas de f (x) =
2x2 + 5x − 8
x + 3
.
lim
x→−3+
f (x) = lim
x→−3+
2x2 + 5x − 8
x + 3
=
−5
0+
= −∞
Logo, a reta x = −3 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= lim
x→+∞
2x + 5− 8 1
x
1 + 3
1
x
= +∞
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2x2 + 5x − 8
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f (x) = lim
x→−3+
2x2 + 5x − 8
x + 3
=
−5
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= −∞
Logo, a reta x = −3 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= lim
x→+∞
2x + 5− 8 1
x
1 + 3
1
x
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f (x)
= lim
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x + 3
=
−5
0+
= −∞
Logo, a reta x = −3 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= lim
x→+∞
2x + 5− 8 1
x
1 + 3
1
x
= +∞
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2x2 + 5x − 8
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f (x) = lim
x→−3+
2x2 + 5x − 8
x + 3
=
−5
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= −∞
Logo, a reta x = −3 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= lim
x→+∞
2x + 5− 8 1
x
1 + 3
1
x
= +∞
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2x2 + 5x − 8
x + 3
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f (x) = lim
x→−3+
2x2 + 5x − 8
x + 3
=
−5
0+
=
−∞
Logo, a reta x = −3 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= lim
x→+∞
2x + 5− 8 1
x
1 + 3
1
x
= +∞
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2x2 + 5x − 8
x + 3
.
lim
x→−3+
f (x) = lim
x→−3+
2x2 + 5x − 8
x + 3
=
−5
0+
= −∞
Logo, a reta x = −3 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= lim
x→+∞
2x + 5− 8 1
x
1 + 3
1
x
= +∞
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2x2 + 5x − 8
x + 3
.
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x→−3+
f (x) = lim
x→−3+
2x2 + 5x − 8
x + 3
=
−5
0+
= −∞
Logo, a reta x = −3 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= lim
x→+∞
2x + 5− 8 1
x
1 + 3
1
x
= +∞
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2x2 + 5x − 8
x + 3
.
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f (x) = lim
x→−3+
2x2 + 5x − 8
x + 3
=
−5
0+
= −∞
Logo, a reta x = −3 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→+∞ f (x)
= lim
x→+∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= lim
x→+∞
2x + 5− 8 1
x
1 + 3
1
x
= +∞
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2x2 + 5x − 8
x + 3
.
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f (x) = lim
x→−3+
2x2 + 5x − 8
x + 3
=
−5
0+
= −∞
Logo, a reta x = −3 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= lim
x→+∞
2x + 5− 8 1
x
1 + 3
1
x
= +∞
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Exemplo
Ache as ass´ıntotas de f (x) =
2x2 + 5x − 8
x + 3
.
lim
x→−3+
f (x) = lim
x→−3+
2x2 + 5x − 8
x + 3
=
−5
0+
= −∞
Logo, a reta x = −3 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= lim
x→+∞
2x + 5− 8 1
x
1 + 3
1
x
= +∞
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Exemplo
Ache as ass´ıntotas de f (x) =
2x2 + 5x − 8
x + 3
.
lim
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f (x) = lim
x→−3+
2x2 + 5x − 8
x + 3
=
−5
0+
= −∞
Logo, a reta x = −3 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= lim
x→+∞
2x + 5− 8 1
x
1 + 3
1
x
= +∞
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Exemplo 1
Exemplo
Ache as ass´ıntotas de f (x) =
2x2 + 5x − 8
x + 3
.
lim
x→−3+
f (x) = lim
x→−3+
2x2 + 5x − 8
x + 3
=
−5
0+
= −∞
Logo, a reta x = −3 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= limx→+∞
2x + 5− 8 1
x
1 + 3
1
x
= +∞
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Exemplo
De outro lado,
lim
x→−∞ f (x) = limx→−∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= lim
x→−∞
2x + 5− 8 1
x
1 + 3
1
x
= −∞
Assim, f na˜o tem ass´ıntotas horizontais.
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Ass´ıntotas
Horizontais e
Verticais
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 6
Exemplo 1
Exemplo
De outro lado,
lim
x→−∞ f (x) = limx→−∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= lim
x→−∞
2x + 5− 8 1
x
1 + 3
1
x
= −∞
Assim, f na˜o tem ass´ıntotas horizontais.
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De outro lado,
lim
x→−∞ f (x)
= lim
x→−∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= lim
x→−∞
2x + 5− 8 1
x
1 + 3
1
x
= −∞
Assim, f na˜o tem ass´ıntotas horizontais.
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De outro lado,
lim
x→−∞ f (x) = limx→−∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= lim
x→−∞
2x + 5− 8 1
x
1 + 3
1
x
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x→−∞ f (x) = limx→−∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= lim
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2x + 5− 8 1
x
1 + 3
1
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De outro lado,
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x→−∞ f (x) = limx→−∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= lim
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2x + 5− 8 1
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1
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De outro lado,
lim
x→−∞ f (x) = limx→−∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= lim
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2x + 5− 8 1
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1
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De outro lado,
lim
x→−∞ f (x) = limx→−∞
2x2 + 5x − 8
x + 3
= lim
x→−∞
2x + 5− 8 1
x
1 + 3
1
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Exemplo 1
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Exemplo
Ache as ass´ıntotas de f (x) =
2x
x − 1 .
lim
x→1+
f (x) = lim
x→1+
2x
x − 1 =
2
0+
= +∞
Logo, a reta x = 1 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1−
2x
x − 1 =
2
0−
= −∞
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Ache as ass´ıntotas de f (x) =
2x
x − 1 .
lim
x→1+
f (x) = lim
x→1+
2x
x − 1 =
2
0+
= +∞
Logo, a reta x = 1 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1−
2x
x − 1 =
2
0−
= −∞
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Ache as ass´ıntotas de f (x) =
2x
x − 1 .
lim
x→1+
f (x) = lim
x→1+
2x
x − 1 =
2
0+
= +∞
Logo, a reta x = 1 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1−
2x
x − 1 =
2
0−
= −∞
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Ache as ass´ıntotas de f (x) =
2x
x − 1 .
lim
x→1+
f (x)
= lim
x→1+
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x − 1 =
2
0+
= +∞
Logo, a reta x = 1 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1−
2x
x − 1 =
2
0−
= −∞
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Ache as ass´ıntotas de f (x) =
2x
x − 1 .
lim
x→1+
f (x) = lim
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2x
x − 1
=
2
0+
= +∞
Logo, a reta x = 1 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1−
2x
x − 1 =
2
0−
= −∞
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Ache as ass´ıntotas de f (x) =
2x
x − 1 .
lim
x→1+
f (x) = lim
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2x
x − 1 =
2
0+
=
+∞
Logo, a reta x = 1 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1−
2x
x − 1 =
2
0−
= −∞
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Ache as ass´ıntotas de f (x) =
2x
x − 1 .
lim
x→1+
f (x) = lim
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2x
x − 1 =
2
0+
= +∞
Logo, a reta x = 1 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1−
2x
x − 1 =
2
0−
= −∞
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2x
x − 1 .
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2
0+
= +∞
Logo, a reta x = 1 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
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2
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= −∞
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2x
x − 1 .
lim
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0+
= +∞
Logo, a reta x = 1 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
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f (x) = lim
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2
0−
= −∞
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2x
x − 1 .
lim
x→1+
f (x) = lim
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2
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= +∞
Logo, a reta x = 1 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
lim
x→1−
f (x)
= lim
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2
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2x
x − 1 .
lim
x→1+
f (x) = lim
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2
0+
= +∞
Logo, a reta x = 1e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
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x→1−
f (x) = lim
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2x
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=
2
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= −∞
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2x
x − 1 .
lim
x→1+
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2
0+
= +∞
Logo, a reta x = 1 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
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x→1−
f (x) = lim
x→1−
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2
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=
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2x
x − 1 .
lim
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0+
= +∞
Logo, a reta x = 1 e´ ass´ıntota vertical de f.
Tambe´m, temos que
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x − 1 .
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f (x) = lim
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lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x
x − 1 = limx→+∞
2
1− 1
x
= 2
Logo, y = 2, e´ uma ass´ıntota horizontal.
Tambe´m,
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x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x
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2
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Logo, y = 2, e´ uma ass´ıntota horizontal.
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x→+∞ f (x) = limx→+∞
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x→+∞ f (x)
= lim
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2
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x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x
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= lim
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2
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x − 1 = limx→+∞
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2
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1− 1
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1− 1
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2
1− 1
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lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
2x2
(x − 2)(x + 2) =
8
0+(4)
=+∞
Logo, a reta x = 2 e´ ass´ıntota vertical de f.
De forma similar,
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
2x2
(x − 2)(x + 2) =
8
0−(4)
= −∞
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Ass´ıntotas
Horizontais e
Verticais
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 6
Exemplo 3
Exemplo
Ache as ass´ıntotas de f (x) =
2x2
x2 − 4 .
lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
2x2
(x − 2)(x + 2) =
8
0+(4)
= +∞
Logo, a reta x = 2 e´ ass´ıntota vertical de f.
De forma similar,
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
2x2
(x − 2)(x + 2) =
8
0−(4)
= −∞
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Exemplo
Ache as ass´ıntotas de f (x) =
2x2
x2 − 4 .
lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
2x2
(x − 2)(x + 2) =
8
0+(4)
= +∞
Logo, a reta x = 2 e´ ass´ıntota vertical de f.
De forma similar,
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
2x2
(x − 2)(x + 2) =
8
0−(4)
= −∞
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Exemplo
Ache as ass´ıntotas de f (x) =
2x2
x2 − 4 .
lim
x→2+
f (x)
= lim
x→2+
2x2
(x − 2)(x + 2) =
8
0+(4)
= +∞
Logo, a reta x = 2 e´ ass´ıntota vertical de f.
De forma similar,
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
2x2
(x − 2)(x + 2) =
8
0−(4)
= −∞
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Ache as ass´ıntotas de f (x) =
2x2
x2 − 4 .
lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
2x2
(x − 2)(x + 2)
=
8
0+(4)
= +∞
Logo, a reta x = 2 e´ ass´ıntota vertical de f.
De forma similar,
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
2x2
(x − 2)(x + 2) =
8
0−(4)
= −∞
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Exemplo
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2x2
x2 − 4 .
lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
2x2
(x − 2)(x + 2) =
8
0+(4)
=
+∞
Logo, a reta x = 2 e´ ass´ıntota vertical de f.
De forma similar,
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
2x2
(x − 2)(x + 2) =
8
0−(4)
= −∞
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Exemplo
Ache as ass´ıntotas de f (x) =
2x2
x2 − 4 .
lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
2x2
(x − 2)(x + 2) =
8
0+(4)
= +∞
Logo, a reta x = 2 e´ ass´ıntota vertical de f.
De forma similar,
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
2x2
(x − 2)(x + 2) =
8
0−(4)
= −∞
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8
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= +∞
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De forma similar,
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(x − 2)(x + 2) =
8
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8
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8
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De forma similar,
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=
8
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De forma similar,
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= +∞
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De forma similar,
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lim
x→−2−
f (x) = lim
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8
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lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
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x2 − 4 = limx→+∞
2
1− 4
x2
= 2
Logo, y = 2, e´ uma ass´ıntota horizontal.
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(x − 2)(x + 2) =
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Logo, y = 2, e´ uma ass´ıntota horizontal.
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x→−2−
f (x) = lim
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Logo, y = 2, e´ uma ass´ıntota horizontal.
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f (x)
= lim
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Logo, y = 2, e´ uma ass´ıntota horizontal.
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=
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Logo, y = 2, e´ uma ass´ıntota horizontal.
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f (x) = lim
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(x − 2)(x + 2) =
8
(−4)0− =
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x→+∞ f (x) = limx→+∞
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2
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Logo, y = 2, e´ uma ass´ıntota horizontal.
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= lim
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x→+∞ f (x) = limx→+∞
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Exemplo 3
Exemplo
Tambe´m,
lim
x→−∞ f (x) = limx→−∞
2x2
x2 − 4
= lim
x→−∞
2
1− 4
x2
= 2
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Ass´ıntotas
Horizontais e
Verticais
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
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Exemplo
Tambe´m,
lim
x→−∞ f (x) = limx→−∞
2x2
x2 − 4 = limx→−∞
2
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= 2
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x→−∞ f (x) = limx→−∞
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Tambe´m,
lim
x→−∞ f (x) = limx→−∞
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2
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= 2
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Horizontais e
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Exemplo 1
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Exemplo
Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
2x√
x2 + 4
, mostrando as
ass´ıntotas.
Como x2 + 4 ≥ 4, ∀x ∈ R, f na˜o tem ass´ıntotas verticais.
Por outro lado,
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x√
x2 + 4
= lim
x→+∞
2√
1 +
4
x2
= 2
f tem ass´ıntota horizontal y = 2.
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Exemplo 2
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Exemplo
Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
2x√
x2 + 4
, mostrando as
ass´ıntotas.
Como x2 + 4 ≥ 4, ∀x ∈ R, f na˜o tem ass´ıntotas verticais.
Por outro lado,
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x√
x2 + 4
= lim
x→+∞
2√
1 +
4
x2
= 2
f tem ass´ıntota horizontal y = 2.
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Exemplo 2
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Exemplo
Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
2x√
x2 + 4
, mostrando as
ass´ıntotas.
Como x2 + 4 ≥ 4, ∀x ∈ R, f na˜o tem ass´ıntotas verticais.
Por outro lado,
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x√
x2 + 4
= lim
x→+∞
2√
1 +
4
x2
= 2
f tem ass´ıntota horizontal y = 2.
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Exemplo
Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
2x√
x2 + 4
, mostrando as
ass´ıntotas.
Como x2 + 4 ≥ 4, ∀x ∈ R, f na˜o tem ass´ıntotas verticais.
Por outro lado,
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x√
x2 + 4
= lim
x→+∞
2√
1 +
4
x2
= 2
f tem ass´ıntota horizontal y = 2.
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Exemplo
Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
2x√
x2 + 4
, mostrando as
ass´ıntotas.
Como x2 + 4 ≥ 4, ∀x ∈ R, f na˜o tem ass´ıntotas verticais.
Por outro lado,
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x√
x2 + 4
= lim
x→+∞
2√
1 +
4
x2
= 2
f tem ass´ıntota horizontal y = 2.
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Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
2x√
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, mostrando as
ass´ıntotas.
Como x2 + 4 ≥ 4, ∀x ∈ R, f na˜o tem ass´ıntotas verticais.
Por outro lado,
lim
x→+∞ f (x)
= lim
x→+∞
2x√
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= lim
x→+∞
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1 +
4
x2
= 2
f tem ass´ıntota horizontal y = 2.
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Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
2x√
x2 + 4
, mostrando as
ass´ıntotas.
Como x2 + 4 ≥ 4, ∀x ∈ R, f na˜o tem ass´ıntotas verticais.
Por outro lado,
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x√
x2 + 4
= lim
x→+∞
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1 +
4
x2
= 2
f tem ass´ıntota horizontal y = 2.
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2x√
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, mostrando as
ass´ıntotas.
Como x2 + 4 ≥ 4, ∀x ∈ R, f na˜o tem ass´ıntotas verticais.
Por outro lado,
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x√
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= lim
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1 +
4
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= 2
f tem ass´ıntota horizontal y = 2.
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Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
2x√
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, mostrando as
ass´ıntotas.
Como x2 + 4 ≥ 4, ∀x ∈ R, f na˜o tem ass´ıntotas verticais.
Por outro lado,
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x√
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= lim
x→+∞
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1 +
4
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= 2
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2x√
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, mostrando as
ass´ıntotas.
Como x2 + 4 ≥ 4, ∀x ∈ R, f na˜o tem ass´ıntotas verticais.
Por outro lado,
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x√
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= lim
x→+∞
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1 +
4
x2
= 2
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Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
2x√
x2 + 4
, mostrando as
ass´ıntotas.
Como x2 + 4 ≥ 4, ∀x ∈ R, f na˜o tem ass´ıntotas verticais.
Por outro lado,
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x√
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= lim
x→+∞
2√
1 +
4
x2
= 2
f tem ass´ıntota horizontal y = 2.
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Exemplo
Fazemos
√
x2 = −x ⇔ x = −
√
x2, temos que,
lim
x→−∞ f (x) = limx→−∞
2x√
x2 + 4
= lim
x→−∞
−2√
1 +
4
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= −2
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x2 = −x ⇔ x = −
√
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lim
x→−∞ f (x) = limx→−∞
2x√
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= lim
x→−∞
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1 +
4
x2
= −2
f tem ass´ıntota horizontal y = −2.
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Fazemos
√
x2 = −x ⇔ x = −
√
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lim
x→−∞ f (x) = limx→−∞
2x√
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1 +
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Fazemos
√
x2 = −x ⇔ x = −
√
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lim
x→−∞ f (x)
= lim
x→−∞
2x√
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x2 = −x ⇔ x = −
√
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Fazemos
√
x2 = −x ⇔ x = −
√
x2, temos que,
lim
x→−∞ f (x) = limx→−∞
2x√
x2 + 4
= lim
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1 +
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= −2
f tem ass´ıntota horizontal y = −2.
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√
x2 = −x ⇔ x = −
√
x2, temos que,
lim
x→−∞ f (x) = limx→−∞
2x√
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= lim
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= −2
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√
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√
x2, temos que,
lim
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√
x2 = −x ⇔ x = −
√
x2, temos que,
lim
x→−∞ f (x) = limx→−∞
2x√
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= lim
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Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
√
x + 3
x
, x > 0,
mostrando as ass´ıntotas.
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
√
x + 3
x
=
√
3
0+
= +∞
Logo, a reta x = 0 e´ ass´ıntota vertical de f. Tambe´m, temos
que
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
√
x + 3
x
= lim
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√√√√1 + 3
x
1
= 1
f tem ass´ıntota horizontal y = 1.
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Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
√
x + 3
x
, x > 0,
mostrando as ass´ıntotas.
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
√
x + 3
x
=
√
3
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= +∞
Logo, a reta x = 0 e´ ass´ıntota vertical de f. Tambe´m, temos
que
lim
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= 1
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√
x + 3
x
, x > 0,
mostrando as ass´ıntotas.
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x→0+
f (x) = lim
x→0+
√
x + 3
x
=
√
3
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= +∞
Logo, a reta x = 0 e´ ass´ıntota vertical de f. Tambe´m, temos
que
lim
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√
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x
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x
1
= 1
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√
x + 3
x
, x > 0,
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x→0+
f (x)
= lim
x→0+
√
x + 3
x
=
√
3
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= +∞
Logo, a reta x = 0 e´ ass´ıntota vertical de f. Tambe´m, temos
que
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√
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x
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x
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= 1
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√
x + 3
x
, x > 0,
mostrando as ass´ıntotas.
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x→0+
√
x + 3
x
=
√
3
0+
= +∞
Logo, a reta x = 0 e´ ass´ıntota vertical de f. Tambe´m, temos
que
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√
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x
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√
x + 3
x
, x > 0,
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lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
√
x + 3
x
=
√
3
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= +∞
Logo, a reta x = 0 e´ ass´ıntota vertical de f. Tambe´m, temos
que
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√
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x
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√
x + 3
x
, x > 0,
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lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
√
x + 3
x
=
√
3
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= +∞
Logo, a reta x = 0 e´ ass´ıntota vertical de f.
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que
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√
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x
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x
1
= 1
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√
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x
, x > 0,
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x→0+
f (x) = lim
x→0+
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x
=
√
3
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= +∞
Logo, a reta x = 0 e´ ass´ıntota vertical de f. Tambe´m, temos
que
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= lim
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√
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x
, x > 0,
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x→0+
√
x + 3
x
=
√
3
0+
= +∞
Logo, a reta x = 0 e´ ass´ıntota vertical de f. Tambe´m, temos
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x
, x > 0,
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lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
√
x + 3
x
=
√
3
0+
= +∞
Logo, a reta x = 0 e´ ass´ıntota vertical de f. Tambe´m, temos
que
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x
= lim
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= 1
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Exemplo 5
Exemplo
Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
√
x + 3
x
, x > 0,
mostrando as ass´ıntotas.
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
√
x + 3
x
=
√
3
0+
= +∞
Logo, a reta x = 0 e´ ass´ıntota vertical de f. Tambe´m, temos
que
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
√
x + 3
x
= lim
x→+∞
√√√√1 + 3
x
1
= 1
f tem ass´ıntota horizontal y = 1.
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Ass´ıntotas
Horizontais e
Verticais
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 6
Exemplo 5
Exemplo
Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
√
x + 3
x
, x > 0,
mostrando asass´ıntotas.
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
√
x + 3
x
=
√
3
0+
= +∞
Logo, a reta x = 0 e´ ass´ıntota vertical de f. Tambe´m, temos
que
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
√
x + 3
x
= lim
x→+∞
√√√√1 + 3
x
1
= 1
f tem ass´ıntota horizontal y = 1.
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Exemplo
Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
√
x + 3
x
, x > 0,
mostrando as ass´ıntotas.
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
√
x + 3
x
=
√
3
0+
= +∞
Logo, a reta x = 0 e´ ass´ıntota vertical de f. Tambe´m, temos
que
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
√
x + 3
x
= lim
x→+∞
√√√√1 + 3
x
1
= 1
f tem ass´ıntota horizontal y = 1.
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Exemplo 6
Exemplo 6
Exemplo
Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
2x2 + 6
2x2 − 4x , mostrando as
ass´ıntotas.
Como
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 6
2x2 − 4x = limx→+∞
2 + 6
1
x2
2− 4 1
x
= 1
Logo, y = 1 e´ uma ass´ıntota horizontal de f.
Observe que, tambe´m
lim
x→−∞ f (x) = 1
Matema´tica I
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Exemplo 1
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Exemplo
Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
2x2 + 6
2x2 − 4x , mostrando as
ass´ıntotas.
Como
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 6
2x2 − 4x = limx→+∞
2 + 6
1
x2
2− 4 1
x
= 1
Logo, y = 1 e´ uma ass´ıntota horizontal de f.
Observe que, tambe´m
lim
x→−∞ f (x) = 1
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Exemplo
Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
2x2 + 6
2x2 − 4x , mostrando as
ass´ıntotas.
Como
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 6
2x2 − 4x = limx→+∞
2 + 6
1
x2
2− 4 1
x
= 1
Logo, y = 1 e´ uma ass´ıntota horizontal de f.
Observe que, tambe´m
lim
x→−∞ f (x) = 1
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Exemplo
Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
2x2 + 6
2x2 − 4x , mostrando as
ass´ıntotas.
Como
lim
x→+∞ f (x)
= lim
x→+∞
2x2 + 6
2x2 − 4x = limx→+∞
2 + 6
1
x2
2− 4 1
x
= 1
Logo, y = 1 e´ uma ass´ıntota horizontal de f.
Observe que, tambe´m
lim
x→−∞ f (x) = 1
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2x2 + 6
2x2 − 4x , mostrando as
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Como
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 6
2x2 − 4x
= lim
x→+∞
2 + 6
1
x2
2− 4 1
x
= 1
Logo, y = 1 e´ uma ass´ıntota horizontal de f.
Observe que, tambe´m
lim
x→−∞ f (x) = 1
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2x2 + 6
2x2 − 4x , mostrando as
ass´ıntotas.
Como
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 6
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2 + 6
1
x2
2− 4 1
x
= 1
Logo, y = 1 e´ uma ass´ıntota horizontal de f.
Observe que, tambe´m
lim
x→−∞ f (x) = 1
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2x2 + 6
2x2 − 4x , mostrando as
ass´ıntotas.
Como
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 6
2x2 − 4x = limx→+∞
2 + 6
1
x2
2− 4 1
x
= 1
Logo, y = 1 e´ uma ass´ıntota horizontal de f.
Observe que, tambe´m
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Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
2x2 + 6
2x2 − 4x , mostrando as
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Como
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 6
2x2 − 4x = limx→+∞
2 + 6
1
x2
2− 4 1
x
= 1
Logo, y = 1 e´ uma ass´ıntota horizontal de f.
Observe que, tambe´m
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Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
2x2 + 6
2x2 − 4x , mostrando as
ass´ıntotas.
Como
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 6
2x2 − 4x = limx→+∞
2 + 6
1
x2
2− 4 1
x
= 1
Logo, y = 1 e´ uma ass´ıntota horizontal de f.
Observe que, tambe´m
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Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f (x) =
2x2 + 6
2x2 − 4x , mostrando as
ass´ıntotas.
Como
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
2x2 + 6
2x2 − 4x = limx→+∞
2 + 6
1
x2
2− 4 1
x
= 1
Logo, y = 1 e´ uma ass´ıntota horizontal de f.
Observe que, tambe´m
lim
x→−∞ f (x) = 1
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Exemplo 1
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Exemplo
O denominador pode ser escrito da forma
2x2 − 4x = 2x(x − 2), deduzimos que as poss´ıveis ass´ıntotas
verticais sa˜o x = 2 e x = 0.
lim
x→0+
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0+
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = +∞.
1
−2 = −∞
lim
x→0−
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0−
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = −∞.
1
−2 = +∞
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Exemplo
O denominador pode ser escrito da forma
2x2 − 4x = 2x(x − 2), deduzimos que as poss´ıveis ass´ıntotas
verticais sa˜o x = 2 e x = 0.
lim
x→0+
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0+
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = +∞.
1
−2 = −∞
lim
x→0−
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0−
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = −∞.
1
−2 = +∞
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O denominador pode ser escrito da forma
2x2 − 4x = 2x(x − 2),
deduzimos que as poss´ıveis ass´ıntotas
verticais sa˜o x = 2 e x = 0.
lim
x→0+
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0+
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = +∞.
1
−2 = −∞
lim
x→0−
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0−
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = −∞.
1
−2 = +∞
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Exemplo
O denominador pode ser escrito da forma
2x2 − 4x = 2x(x − 2), deduzimos que as poss´ıveis ass´ıntotas
verticais sa˜o x = 2 e x = 0.
lim
x→0+
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0+
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = +∞.
1
−2 = −∞
lim
x→0−
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0−
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = −∞.
1
−2 = +∞
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O denominador pode ser escrito da forma
2x2 − 4x = 2x(x − 2), deduzimos que as poss´ıveis ass´ıntotas
verticais sa˜o x = 2 e x = 0.
lim
x→0+
2x2 + 6
2x(x − 2)
= lim
x→0+
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = +∞.
1
−2 = −∞
lim
x→0−
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0−
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = −∞.
1
−2 = +∞
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Exemplo
O denominador pode ser escrito da forma
2x2 − 4x = 2x(x − 2), deduzimos que as poss´ıveis ass´ıntotas
verticais sa˜o x = 2 e x = 0.
lim
x→0+
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0+
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2
= +∞. 1−2 = −∞
lim
x→0−
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0−
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = −∞.
1
−2 = +∞
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O denominador pode ser escrito da forma
2x2 − 4x = 2x(x − 2), deduzimos que as poss´ıveis ass´ıntotas
verticais sa˜o x = 2 e x = 0.
lim
x→0+
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0+
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = +∞.
1
−2
= −∞
lim
x→0−
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0−
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = −∞.
1
−2 = +∞
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O denominador pode ser escrito da forma
2x2 − 4x = 2x(x − 2), deduzimos que as poss´ıveis ass´ıntotas
verticais sa˜o x = 2 e x = 0.
lim
x→0+
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0+
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = +∞.
1
−2 = −∞
lim
x→0−
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0−
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = −∞.
1
−2 = +∞
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O denominador pode ser escrito da forma
2x2 − 4x = 2x(x − 2), deduzimos que as poss´ıveis ass´ıntotas
verticais sa˜o x = 2 e x = 0.
lim
x→0+
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0+
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = +∞.
1
−2 = −∞
lim
x→0−
2x2 + 6
2x(x − 2)
= lim
x→0−
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = −∞.
1
−2 = +∞
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O denominador pode ser escrito da forma
2x2 − 4x = 2x(x − 2), deduzimos que as poss´ıveis ass´ıntotas
verticais sa˜o x = 2 e x = 0.
lim
x→0+
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0+
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = +∞.
1
−2 = −∞
lim
x→0−
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0−
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2
= −∞. 1−2 = +∞
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O denominador pode ser escrito da forma
2x2 − 4x = 2x(x − 2), deduzimos que as poss´ıveis ass´ıntotas
verticais sa˜o x = 2 e x = 0.
lim
x→0+
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0+
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = +∞.
1
−2 = −∞
lim
x→0−
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0−
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = −∞.
1
−2
= +∞
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O denominador pode ser escrito da forma
2x2 − 4x = 2x(x − 2), deduzimos que as poss´ıveis ass´ıntotas
verticais sa˜o x = 2 e x = 0.
lim
x→0+
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0+
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = +∞.
1
−2 = −∞
lim
x→0−
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0−
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = −∞.
1
−2 = +∞
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O denominador pode ser escrito da forma
2x2 − 4x = 2x(x − 2), deduzimos que as poss´ıveis ass´ıntotas
verticais sa˜o x = 2 e x = 0.
lim
x→0+
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0+
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = +∞.
1
−2 = −∞
lim
x→0−
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→0−
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 = −∞.
1
−2 = +∞
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Exemplo 1
Exemplo 2
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Exemplo
lim
x→2+
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→2+
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 =
14
4
. +∞ = +∞
lim
x→2−
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→2−
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 =
14
4
.−∞ = −∞
As retas x = 0, x = 2 sa˜o ass´ıntotas verticais de f.
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lim
x→2+
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→2+
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 =
14
4
. +∞ = +∞
lim
x→2−
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→2−
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 =
14
4
.−∞ = −∞
As retas x = 0, x = 2 sa˜o ass´ıntotas verticais de f.
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Exemplo
lim
x→2+
2x2 + 6
2x(x − 2)
= lim
x→2+
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 =
14
4
. +∞ = +∞
lim
x→2−
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→2−
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 =
14
4
.−∞ = −∞
As retas x = 0, x = 2 sa˜o ass´ıntotas verticais de f.
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Ass´ıntotas
Horizontais e
Verticais
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 6
Exemplo 6
Exemplo
lim
x→2+
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→2+
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2
=
14
4
. +∞ = +∞
lim
x→2−
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→2−
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 =
14
4
.−∞ = −∞
As retas x = 0, x = 2 sa˜o ass´ıntotas verticais de f.
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Ass´ıntotas
Horizontais e
Verticais
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 6
Exemplo 6
Exemplo
lim
x→2+
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→2+
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 =
14
4
. +∞
= +∞
lim
x→2−
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→2−
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 =
14
4
.−∞ = −∞
As retas x = 0, x = 2 sa˜o ass´ıntotas verticais de f.
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Ass´ıntotas
Horizontais e
Verticais
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 6
Exemplo 6
Exemplo
lim
x→2+
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→2+
2x2 + 6
2x
.
1
x − 2 =
14
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. +∞ = +∞
lim
x→2−
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→2−
2x2 + 6
2x
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1
x − 2 =
14
4
.−∞ = −∞
As retas x = 0, x = 2 sa˜o ass´ıntotas verticais de f.
Matema´tica I
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Ricardo
Fuentes
Apolaya
Ass´ıntotas
Horizontais e
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Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 6
Exemplo 6
Exemplo
lim
x→2+
2x2 + 6
2x(x − 2) = limx→2+
2x2 + 6
2x
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x − 2 =
14
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. +∞ = +∞
lim
x→2−
2x2 + 6
2x(x − 2)
= lim
x→2−
2x2 + 6
2x
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