Lista 05 Estudo da Reta Geometria Analitica FURG

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Lista de Exerc´ıcios 5 Estudo da Reta
1. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa pela origem dos eixos coordenados e e´
paralela a` reta s :

x = 2− 3t
y = 1
z = −1 + 2t
.
2. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pelo ponto A(5,−3, 2) e e´ paralela ao
eixo Oz.
3. Determine os pontos em que a reta definida pelos pontos P (−1, 1, 3) e Q(4,−2, 1) corta os
planos coordenados.
4. Verificar se as retas r e s sa˜o paralelas nos seguintes casos:
a) r : X = P + t(3,−4, 2) e s : x+ 2
3
=
y − 3
−4 =
z − 1
2
b) r : x− 1 = 3y − 6−4 =
3z − 3
2
e s :

x = 4 + 6t
y = 1− 8t
z = 2 + 4t
c) r :

x = 2− 4m
y = 3 + 2m
z = 1 +m
e s : X = (2, 3, 1) + t(−2, 1, 2)
5. Determine as equac¸o˜es sime´tricas e o comprimento da mediana AM do triaˆngulo ABC com
A(−3,−1, 4), B(2, 4, 5) e C(0,−2, 1).
6. Verifique se os pontos A(3,−2, 1) e B(−1, 2, 0) pertencem a` reta r determinada pelos pontos
C(2, 1,−1) e D(4,−5, 3).
7. Verificar se as retas r :

x = −1 + 3t
y = 3− t
z = 2 + 2t
e s :
x− 2
6
= z−1; y = 4 sa˜o coplanares, e determinar
a intersec¸a˜o, se houver.
8. Determine a equac¸a˜o vetorial da reta r que passa por P(1,−2, 3), intercepta a reta s : x− 2
3
=
y − 1
2
= z + 1 e cujo vetor diretor e´ ortogonal ao vetor ~w = (1,−3, 1).
9. Determine o ponto O’, sime´trico da origem O dos eixos coordenados, em relac¸a˜o a` reta
s : 2− x = y + 1 = 2− z
2
.
10. Determine os aˆngulos que a reta definida pelos pontos A(3,−3, 2) e B(4,−1, 0) forma com os
eixos coordenados.
11. Determine o aˆngulo que a reta r : (x, y, z) = (2, 0, 1)+t(−1,−2,−2) forma com a reta definida
pelos pontos A(4, 0,−1) e B(−2,−3, 1).
12. Determine as equac¸o˜es sime´tricas da reta definida pelos pontos A e B, sendo A(2,−1, 4) e B
a intersec¸a˜o das retas r1 :
x− 1
2
=
y − 3
4
=
z − 1
−2 e r2 :

x = 3t
y = 1 + 2t
z = 2 + t
.
FURG 1 Geometria Anal´ıtica
Lista de Exerc´ıcios 5 Estudo da Reta
13. Dados os pontos me´dios M(2, 1, 3), N(5, 3,−1) e P(3,−4, 0) dos lados de um triaˆngulo ABC,
determine as equac¸o˜es parame´tricas do lado deste triaˆngulo, cujo ponto me´dio e´ o ponto M.
14. Determine o ponto de intersec¸a˜o entre a reta r que passa pelos pontos A(−2,−2, 0) e B(6, 6, 2)
e a reta s que passa pelo ponto C(−1, 2,−2) e e´ paralela ao plano xOz.
15. Verifique se as retas r1 e r2 sa˜o paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas. Caso sejam
concorrentes, encontre o ponto de intersec¸a˜o.
a) r1 :

x = −4− t
y = 2 + 2t
z = 2t
e r2 :
{
y = 5− 2x
z = 8− 2x
b) r1 :
x− 2
4
=
y + 1
−4 =
z − 1
−1 e r2 :

x = t
y = 2 + t
z = 1 + 3t
c) r1 :
{
x = 4− 5z
y = 2
e r2 :
x+ 3
−2 = y − 3 =
z − 4
3
d) r1 :

x = −1− 3t
y = −3 + 5t
z = 3 + 2t
e r2 :
x+ 4
6
=
y − 2
−10 =
z − 5
−4
RESPOSTAS: 1) r : x = −3t; y = 0; z = 2t. 2) x = 5; y = −3. 3) A(132 ,−72 , 0), B(23 , 0, 73) e
C(0, 25 ,
13
5 ). 4) a. paralelas; b. paralelas; c. na˜o paralelas. 5) r :
x+3
4 =
y+1
2 =
z−4
−1 e |
−−→
AM| = √21.
6) A ∈ r e B /∈ r. 7) coplanares e r ∩ s = P (−4, 4, 0). 8) r : (x, y, z) = (1,−2, 3) + t(17, 9, 10). 9)
O’
(
1
3 ,
5
3 ,
2
3
)
. 10) α = arccos 13 ;β = arccos
2
3 ; γ = arccos
2
3 . 11) θ = arccos
8
21 . 12) r :
x−2
−2 =
y+1
2 =
z−4
−2 . 13) x = 4t; y = −6 + 14t; z = 4− 2t; t ∈ [0, 1]. 14) (2, 2, 1). 15) a. paralelas; b. reversas; c.
concorrentes em (−1, 2, 1); d. coincidentes.
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