SISTEMAS LINEARES - INTERPRETAÇÕES ALGÉBRICA E GRÁFICA

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COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ Portal Professor / Interpretações Algébrica e Gráfica de Sistemas Lineares / 2009 
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA www.cap.ufrj.br/matematica 
 
 
 
Sistemas Lineares no CAp UFRJ: Interpretações Algébrica e Gráfica 
 
O que o aluno poderá aprender com esta aula 
� Interpretar algebricamente e graficamente um sistema linear com duas incógnitas. 
� Compreender que um conceito matemático pode ter mais de uma representação. 
� Utilizar o software Winplot para representar gráficos. 
 
Duração das atividades 
04 aulas de 50 minutos 
 
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno 
� Compreender que uma equação linear com duas incógnitas possui infinitas soluções. 
� Gráficos de equações lineares (ou, pelo menos, gráficos de funções afins). 
� Resolução de sistemas lineares. 
 
 
Estratégias e recursos da aula 
Professor, quanto mais recursos para se entender um conceito, melhor. A proposta aqui é 
apresentar duas interpretações para os sistemas lineares com duas incógnitas: uma 
algébrica e outra gráfica. Assim, o estudante pode ter uma visão mais ampla e 
compreender melhor o conceito estudado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sistema Possível e Determinado (SPD) 
 
Um sistema linear é possível e determinado quando possui uma única solução. 
 
Um par ordenado (a,b) é solução de um sistema linear com duas incógnitas quando é 
solução de cada equação que compõe o sistema. 
 
Exemplo: 
 
 
 é uma das infinitas soluções da equação , já que 
 
 é uma das infinitas soluções da equação , já que 
 
Porém, o sistema linear possui apenas uma solução, que é o par 
ordenado . 
 
Graficamente, a solução do sistema linear é o ponto de interseção entre 
as retas correspondentes às equações do sistema. 
 
 
2x + 3y = 5 
x¡ 4y = ¡14 
O ponto é a solução do sistema. 
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Sistema Possível e Indeterminado (SPI) 
 
Um sistema linear é possível e indeterminado quando possui infinitas soluções. 
 
Exemplo: 
 
 
As infinitas soluções da equação , são também soluções da equação 
, já que a 2ª equação é igual à primeira multiplicada por 3. (Você lembra 
que o conjunto solução de uma equação não muda quando multiplicamos ou dividimos a 
equação por qualquer número real diferente de zero?) 
 
Logo, o sistema linear possui infinitas soluções. 
 
Solução geral: 
 
Algumas soluções: , , 
 
Graficamente, a solução do sistema linear é composta por todos os 
pontos de interseção entre as retas correspondentes às equações do sistema. Como as 
duas equações representam a mesma reta, elas têm infinitos pontos em comum (todos 
os pontos da reta). 
 
 
2x + 3y = 5 ou 6x + 9y = 15 
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Sistema Impossível (SI) 
 
Um sistema linear é impossível quando não possui solução. 
 
Exemplo: 
 
 
Não existe nenhuma solução em comum entre as infinitas soluções da equação 
e as infinitas soluções da equação 2x + 2y = 9. 
 
Logo, o sistema linear não possui solução. 
 
Solução: 
 
 
Graficamente, as retas correspondentes às equações do sistema linear são 
paralelas, por isso não há pontos em comum entre elas. 
 
 
x + y = 5 
2x + 2y = 9 
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Nota: Se for possível, trabalhar a interpretação gráfica dos sistemas com o auxílio de um 
software. O software usado para construir os gráficos desta aula foi o Winplot. 
 
 
Avaliação 
A avaliação dever ser feita durante as aulas, observando as atividades realizadas em sala 
de aula e/ou laboratório de informática. 
 
Pode ser feita uma avaliação escrita solicitando também que os alunos escrevam o que 
entenderam sobre a relação entre as interpretações algébrica e gráfica de um sistema 
linear, dando exemplos.