SISTEMAS LINEARES - RESOLVENDO EQUAÇÕES MATRICIAIS NO EXCEL

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COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ Portal Professor / Resolvendo Equações Matriciais no Excel / 2009 
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA www.cap.ufrj.br/matematica 
 
 
Sistemas Lineares no CAp UFRJ: Resolvendo Equações Matriciais no Excel 
 
O que o aluno poderá aprender com esta aula 
� Escrever um sistema linear que corresponda a uma situação-problema. 
� Interpretar um sistema linear como uma equação matricial. 
� Resolver uma equação matricial com a ajuda do Excel. 
 
Duração das atividades 
04 aulas de 50 minutos 
 
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno 
� Operações com matrizes. 
� Sistemas de equações de 1º grau. 
 
Estratégias e recursos da aula 
Que professor de Matemática, mesmo sabendo fazer todas as contas que possa imaginar, 
não lança mão de uma calculadora ao precisar realizar cálculos complexos? Da mesma 
forma, mesmo que os jovens estudantes saibam operar com matrizes podem lançar mão 
do Excel para realizar algumas operações com matrizes e assim poder resolver sistemas 
rapidamente. Essa habilidade pode lhes ser útil algum dia. Assim como muitos 
desconhecem as funções das teclas MRC, M- ou M+ na calculadora, muitos desconhecem 
os recursos disponíveis nos softwares que lidam diariamente. O objetivo desta aula é 
colocar essas ferramentas à disposição dos estudantes, para o dia que venham a precisar 
delas. 
 
Vamos lá? 
 
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Considere as questões propostas no vestibular da Universidade Estadual do Rio de Janeiro: 
 
1) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas, por 4 pessoas; outras, por 
apenas 2 pessoas, num total de 38 fregueses. O número de mesas ocupadas por apenas 2 
pessoas é: 
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 
 
Essa questão pode ser expressa pelo sistema linear . 
(Q representa a quantidade de mesas ocupadas por quatro pessoas e D representa a 
quantidade de mesas ocupadas por duas pessoas.) 
 
Esse sistema pode ser facilmente resolvido por um dos métodos estudados ainda no 
ensino fundamental (adição ou substituição). 
 
Por exemplo, por substituição: Q = 12¡D 
 4(12¡D) + 2D = 38 
 48¡ 4D + 2D = 38 
 10 = 2D 
 D = 5 
 
Apesar de já termos resolvido o sistema, vamos ilustrar com essa mesma situação a 
resolução do sistema visto como uma equação matricial que pode ser resolvida com o 
auxilio do Excel. 
 
O sistema pode ser escrito como a seguinte equação matricial: 
 ·
1 1
4 2
¸ ·
Q
D
¸
=
·
12
38
¸
 ou AX = B, em que A=
·
1 1
4 2
¸
, X=
·
Q
D
¸
e B=
·
12
38
¸
. 
 
Para resolver a equação matricial AX = B, temos que fazer X = A¡1B. 
 
Portanto, 
·
Q
D
¸
=
·
1 1
4 2
¸
¡1 ·
12
38
¸
. 
 
O cálculo da inversa de uma matriz e de um produto de matrizes pode ser feito no 
Excel. 
 
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O objetivo desta aula não é treinar as operações com matrizes. As operações já devem 
ter sido ensinadas anteriormente. Aqui, queremos mostrar possíveis situações em que 
as operações com matrizes podem ser úteis e como utilizá-las de forma prática com os 
recursos que temos à nossa disposição. 
 
 
Começamos digitando os dados da matriz A e delimitando os campos relativos às outras 
matrizes envolvidas na questão. 
 
 
 
 
 
Para o cálculo da matriz A-1, você deve proceder da seguinte forma: 
 
1º - Selecione os campos relativos à matriz A-1. 
 
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2º - Clique em Inserir/Função, ou diretamente no ícone de Inserir Função, se já 
aparecer na barra de ferramentas. 
 
 
 
 
3º - Na janela que aparecerá, digite matriz no campo indicado e clique em Ir. 
 
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4º - Escolha a opção MATRIZ.INVERSO e clique em OK. 
 
 
5º - Aparecerá esta janela, com o cursor piscando no campo em branco. 
 
 
6º - Selecione as células correspondentes à matriz A. Os dados devem ficar conforme a 
figura a seguir. 
 
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7º - Clique em OK e logo em seguida pressione F2 e depois Ctrl+Shift+Enter. Só então 
aparecerá a matriz A-1. 
 
 
 
 
 
8º - Em seguida digite os dados da matriz B para que possamos calcular o produto entre as 
matrizes A-1 e B. 
 
 
 
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9º - Selecione as células relativas à matriz X e novamente clique em Inserir/Função, só 
que dessa vez clique em MATRIZ.MULT. Clique em OK. 
 
 
 
 
 
10º - Com o cursor em Matriz 1, selecione as células da primeira matriz que você deseja 
multiplicar (no nosso caso, a matriz A-1). Depois, com o cursor em Matriz 2, selecione as 
células da segunda matriz que você deseja multiplicar (no nosso caso, a matriz B). 
 
 
 
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11º - Clique em OK e digite F2 seguido de Ctrl+Shift+Enter. Aparecerá então a matriz 
X, que é matriz com a solução do sistema. 
 
 
 
 
 
 
Resumindo as operações matriciais que foram feitas, temos: 
 ·
1 1
4 2
¸ ·
Q
D
¸
=
·
12
38
¸
 ou AX = B, em que A=
·
1 1
4 2
¸
, X=
·
Q
D
¸
e B=
·
12
38
¸
 
 ·
Q
D
¸
=
·
1 1
4 2
¸
¡1 ·
12
38
¸
 ou X = A¡1B 
 ·
Q
D
¸
=
·
¡1 0; 5
2 ¡0; 5
¸ ·
12
38
¸
 ou X = A¡1B 
 ·
Q
D
¸
=
·
7
5
¸
 ou X =
·
7
5
¸
 
 
Q = 7 e D = 5 
 
 
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2) Um comerciante deseja totalizar a quantia de R$500,00 utilizando cédulas de um, cinco 
e dez reais, num total de 92 cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de 
dez reais sejam iguais. Neste caso, a quantidade de cédulas de cinco reais de que o 
comerciante precisará será igual a: 
a) 12 b) 28 c) 40 d) 92 
 
Essa questão pode ser expressa pelo sistema linear 
 
 ou 
 
que pode ser expresso pela seguinte equação matricial: 
 2
41 1 11 5 10
1 0 ¡1
3
5
2
4uc
d
3
5 =
2
4 92500
0
3
5. 
 
 
Com a ajuda do Excel, 
 
chegamosà solução 
2
4uc
d
3
5 =
2
44012
40
3
5. 
 
Avaliação 
A avaliação dever ser feita durante as aulas, observando as atividades realizadas em sala 
de aula e/ou laboratório de informática. 
Pode ser feita uma avaliação escrita com o objetivo de verificar se os alunos 
compreenderam as estratégias de resolução de uma situação problema a partir de um 
sistema linear envolvendo equações matriciais, sem a preocupação de realizar as 
operações matriciais.