PROVA DE CAUCULO NUMERICO

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Segunda Prova de Ca´lculo Nume´rico
Curso de Matema´tica (prova ı´mpar) – Prof. Tu´lio Carvalho
Instruc¸o˜es: Justifique suas respostas; para isto, escreva os passos intermedia´rios.
As letras a, b, x1, x2, x3, α, θ representam dados que esta˜o numa tabela, no final da prova.
Usar pelo menos quatro algarismos significativos.
1. O Sr. K.P. Lear (1609, Way of Astronomy) teve a ide´ia de que a Terra se move ao redor do Sol em
o´rbita el´ıtica, com o Sol em um dos focos. Depois de muitas observac¸o˜es e ca´lculos, ele obteve a tabela a
seguir, onde r e´ a distaˆncia da Terra ao Sol (em milho˜es de Km) e x e´ o aˆngulo entre a linha Terra-Sol e o
eixo principal da elipse.
x 0 pi/4 pi/2 3pi/4 pi
r 147 148 150 151 152
O Sr. Lear sabe que uma elipse pode ser escrita pela fo´rmula:
r =
ρ
1 + ¯ cosx
.
Com os valores da tabela ele pode agora estimar os valores de ρ e ¯. Ajude Mr. Lear a estimar os valores
de ρ e ¯, depois de um re-arranjo da fo´rmula acima.
2. A func¸a˜o de Debye aparece no ca´lculo do calor espec´ıfico a volume constante de certas substaˆncias. Ela
e´ dada por
D(x) = 3x−3
∫ x
0
t3
et − 1dt
Edite um programa que calcula o integrando, usando a regra de Simpson, obtendo assim D(x) nos pontos
listados abaixo. Para x = 0.5 a resposta correta e´ cerca de 0.4899.
x 0.5 x1 x2 x3
D(x)
Utilize estes valores para calcular D(5), agora usando um polinoˆmio interpolador de grau 3.
3. A integral el´ıtica de primeira espe´cie e´ definida por
K(θ, φ) =
∫ φ
0
dx√
1− sen2 θ sen2 x
Uma tabela parcial do valor desta func¸a˜o e´
φ\θ 50o 60o 70o 80o 90o
50o 0.9401 0.9647 0.9876 1.044 1.0107
55o 1.0500 1.0848 1.1186 1.1444 1.1542
60o 1.1643 1.2125 1.2619 1.3014 1.3117
65o 1.2833 1.3489 1.4199 1.4810 1.5065
70o 1.4068 1.4944 1.5959 1.6918 1.7354
75o 1.5345 1.6492 1.7927 1.9468 2.0276
80o 1.6660 1.8125 2.0119 2.2653 2.4362
Use interpolac¸a˜o quadra´tica para estimar K(a, b), a e b dados na tabela. Calcule diretamente esta integral
usando a regra de Simpson. Sugesta˜o: voceˆ deve transformar os aˆngulos para radianos.
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4. Conhecendo-se a tabela:
x 0.8 0.9 1.0 1.1 1.3 1.5
cos(x) 0.6967 0.6216 0.5403 0.4536 0.2675 0.0707
obtenha cos θ e tambe´m um limitante superior para o erro de truncamento, usando polinoˆmio de inter-
polac¸a˜o sobre 4 pontos.
5. E´ dada a tabela com a populac¸a˜o de Londrina desde 1950.
Ano 1950 1960 1970 1980 1991 1996 2000
Pop. 71412 134821 228101 301711 390100 412553 446822
Fac¸a um diagrama de dispersa˜o para intuir a curva que pode ajustar estes pontos. Identifique 1950 com 0,
1960 com 10, etc, e divida os valores da populac¸a˜o por 50000, para enta˜o fazer um ajuste.
Conclua obtendo uma estimativa para a populac¸a˜o no ano d.
6. Calcular
Γ(α) =
∫ ∞
0
e−xxα−1dx
para α dado na tabela 1, usando quadratura de Gauss sobre 4 pontos.
Tabela com os valores das varia´veis que constam nos exerc´ıcios.
Varia´veis θ (x1, x2, x3) a b d α
Carolina G. 1.104 (2.7,7.8,10) 54o 50o 1981 0.6
Bianca 0.854 (1.0,3.4,5.8) 78o 60o 1982 0.9
Jose´ Renato 0.888 (1.6,3.1,5.8) 72o 60o 1983 1.5
Vaˆnia 1.364 (1.1,4.2,9.0) 58o 70o 1984 1.6
E´rica 1.216 (2.9,4.4,6.0) 67o 50o 1985 0.5
Eduardo 1.022 (3.1,4.6,8.6) 57o 80o 1986 1.9
Jose 1.010 (1.7,4.6,6.1) 69o 90o 1987 1.7
Boa Sorte!
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Segunda Prova de Ca´lculo Nume´rico
Curso de Matema´tica (prova par) – Prof. Tu´lio Carvalho
Instruc¸o˜es: Justifique suas respostas; para isto, escreva os passos intermedia´rios.
As letras a, b, x1, x2, x3, α, θ representam dados que esta˜o numa tabela, no final da prova.
Usar pelo menos quatro algarismos significativos.
1. O nu´mero de nu´meros primos menores do que x e´ denotado por Π(x) e vale a tabela:
x 100 1000 10000 100000
Π(x) 25 68 1229 9592
a) Determinar a e b pelo me´todo dos mı´nimos quadrados, para os dados acima, usando a expressa˜o
Π(x) = a+ b
x
log10 x
b) Estimar o nu´mero de primos de 6 d´ıgitos usando o item anterior.
2. A func¸a˜o de Debye aparece no ca´lculo do calor espec´ıfico a volume constante de certas substaˆncias. Ela
e´ dada por
D(x) = 3x−3
∫ x
0
t3
et − 1dt
Edite um programa que calcula o integrando, usando a regra de Simpson, obtendo assim D(x) nos pontos
listados abaixo. Para x = 0.5 a resposta correta e´ cerca de 0.4899.
x 0.5 x1 x2 x3
D(x)
Utilize estes valores para calcular D(5), agora usando um polinoˆmio interpolador de grau 3.
3. A integral el´ıtica de primeira espe´cie e´ definida por
K(θ, φ) =
∫ φ
0
dx√
1− sen2 θ sen2 x
Uma tabela parcial do valor desta func¸a˜o e´
φ\θ 50o 60o 70o 80o 90o
50o 0.9401 0.9647 0.9876 1.044 1.0107
55o 1.0500 1.0848 1.1186 1.1444 1.1542
60o 1.1643 1.2125 1.2619 1.3014 1.3117
65o 1.2833 1.3489 1.4199 1.4810 1.5065
70o 1.4068 1.4944 1.5959 1.6918 1.7354
75o 1.5345 1.6492 1.7927 1.9468 2.0276
80o 1.6660 1.8125 2.0119 2.2653 2.4362
Use interpolac¸a˜o quadra´tica para estimar K(a, b), a e b dados na tabela. Calcule diretamente esta integral
usando a regra de Simpson. Sugesta˜o: voceˆ deve transformar os aˆngulos para radianos.
1
4. Dada a func¸a˜o y = senx tabelada:
x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
senx 0.9320 0.9636 0.9854 0.9975 0.9996
Calcule o polinoˆmio de interpolac¸a˜o de Newton. Calcule sen θ e um limitante superior para o erro.
5. E´ dada a tabela com a populac¸a˜o de Londrina desde 1950.
Ano 1950 1960 1970 1980 1991 1996 2000
Pop. 71412 134821 228101 301711 390100 412553 446822
Fac¸a um diagrama de dispersa˜o para intuir a curva que pode ajustar estes pontos. Identifique 1950 com 0,
1960 com 10, etc, e divida os valores da populac¸a˜o por 50000, para enta˜o fazer um ajuste.
Conclua obtendo uma estimativa para a populac¸a˜o no ano d.
6. Calcular
Ei(k) =
∫ ∞
k
e−x
x
dx ,
em que k e´ dado na tabela 1, usando quadratura de Gauss sobre quatro pontos.
Tabela com os valores das varia´veis que constam nos exerc´ıcios.
Varia´veis θ (x1, x2, x3) a b d k
Rafael 1.312 (2.8,3.2,8.0) 74o 55o 1995 23
Carolina V. 1.535 (4.9,5.4,7.8) 62o 60o 1997 7
Lu´ıs 1.283 (1.1,5.3,6.7) 83o 65o 1998 11
Vı´tor 1.512 (4.3,6.1,9.5) 57o 70o 1999 4
Joa˜o Roberto 1.464 (2.7,6.0,8.2) 54o 75o 2001 3
Miriane 1.309 (4.4,5.7,7.9) 88o 80o 2002 17
Boa Sorte!
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