Prova Calculo Diferencial

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Maranhão
Bacharelado em Ciência & Tecnologia
Primeira Avaliação
21 ⋅09 ⋅2018
Disciplina: Cálculo Diferencial Professor: Arlane Vieira
Aluno(a): Matrícula:
1
Q1 (0,5 pt) Resolva a inequação
3x+2
2x−1 ≥ 3.
Q2 (0,5 pt) Simplifique a expressão(x+h)2−(x−h)2
h
.
Q3 (0,5 pt) Resolva a inequação
x
x2+ x+1 ≥ 1.
Q4 (0,5 pt) Fatore o polinômio x3+x2+x−14.
Q5 (0,5 pt) Resolva a inequação modular∣2x−1∣+ ∣3x+1∣ < ∣x−3∣.
Q6 (1,0 pt) Prove que ∣x+ y∣ = ∣x∣+ ∣y∣ se, e so-
mente se, xy ≥ 0.
Q7 (1,0 pt) Sejam x e y dois reais quaisquer,
com 0 < x < y. Prove que
3
√
y− x > 3√y− 3√x.
Q8 (1,0 pt) Determine o domínio e imagem
da função y =√2x−1
1−3x .
Q9 (1,0 pt) Esboce o gráfico das funções
f (x) = sin(x)
x
e g(x) = xsin(1
x
).
Q10 (0,5 pt) Sejam a um número real positivo
e m/n um número racional, com n ≥ 2. De-
finimos am/n = ( n√a)m. Mostre que
n√ap = mn√amp,
para todo p ≥ 0 inteiro.
Q11 (0,5 pt) Seja A a coleção dos números re-
ais x para os quais cos( x2) ≠ 0. Considere
o conjunto B ∶=R/A. Prove que, para todo
x ∈B,
sinx = 2tan x2
1+ tan2 x2 .
Q12 (1,0 pt) Sejam f (x) = 2x+1
x−1 e g(x) = x+1x−2.
Verifique se Im f ⊆Dg e determine a com-
posta h(x) = g( f (x)).
Q13 Para cada n ≥ 0 inteiro, seja In = [an,bn]
um intervalo fechado, com an e bn re-
ais. Dizemos que I0, I1, I2, . . . , In, . . . têm
a propriedade dos intervalos encaixantes
se:
(i) an e bn são positivos, para todo n ≥
0;
(ii) I0 ⊇ I1 ⊇ I2 ⊇⋯ ⊇ In ⊇⋯;
(iii) para todo r > 0 existir k ≥ 0 inteiro
tal que bk −ak < r.
Suponha que a sequência de intervalos
I0, I1, I2, . . . , In, . . . tenha a propriedade
dos intervalos encaixantes. Objetivo
deste problema é verificar que existe um
único número real positivo que pertence
à todos os intervalos I0, I1, I2, . . . , In, . . ..
1Para serem consideradas, todas as respostas devem ser objetivas e devidamente justificadas.
(a) (1,0 pt) Considere os conjun-
tos A ∶= {a0,a1, . . . ,an, . . .} e B ∶={b0,b1, . . . ,bn, . . .}. Prove que bn é
uma cota superior de A para cada
n ≥ 0. Conclua que A admite su-
premo.
(b) (1,0 pt) Seja α ∶= supA. Prove que
an ≤α ≤ bn para todo n ≥ 0. Conclua
que α ∈ In para todo n ≥ 0.
(c) (1,0 pt) Mostre que, para cada n ≥ 0,
an é uma cota inferior de B. Conclua
que B admite ínfimo.
(d) (1,0 pt) Seja β ∶= infB. Prove que
an ≤ β ≤ bn para todo n ≥ 0. Conclua
que β ∈ In para todo n ≥ 0.
(e) (1,0 pt) Mostre que β ≤ α. Conclua
que β−α ≤ bn−an para todo n ≥ 0.
(f) (1,0 pt) Use a hipótese (iii) para con-
cluir que α =β.
Q14 (0,5 pt) Utilizando a ideia intuitiva de li-
mite calcule lim
x→1
3
√
x−1
x−1 .
2