Gabarito Lista Um

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Exercícios de Álgebra Linear II
Prof. Wilian Santos Turma: T64
REVISÃO DE CONCEITOS (aulas 1 e 2)
1. Um vetor v no espaço bidimensional tem duas componentes v1 e v2 .
2. v +w = (v1 + w1,v2 + w2) e αv = (αv1,αv2).
3. Dois vetores são iguais se, e só se, seus componentes correspondentes são iguais.
4. Se u, v e w são vetores do <n e se k e m são escalares, então:
• u+ v = v + u.
• (u+ v) +w = u+ (v +w).
• u+ 0 = u.
• u+ (−u) = 0.
• k(u+ v) = ku+ kv.
• (k +m)u = ku+mu.
• k(mu) = (km)u.
5. Uma combinação linear de três vetores u, v e w é cu+ dv + ew.
6. Em três dimensões, todas as combinações lineares possíveis do vetor u (cu) formam
uma reta em <3; todas as combinações lineares possíveis de dois vetores u e v (cu+dv)
podem formar um plano em <3 e, por fim, todas as combinações lineares possíveis de
três vetores u, v e w (cu+ dv + ew) podem formar todo o espaço <3.
Exercícios de Fixação.
1. Esboce o vetor dado com ponto inicial na origem.
(a) v1 = (3,6)
(b) v2 = (−4,− 8)
(c) v3 = (3,4,5)
(d) v4 = (−1,0,2)
Solução:
(a)
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Exercícios de Álgebra Linear II Lista 1
(b)
(c)
(d)
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Exercícios de Álgebra Linear II Lista 1
2. Encontre os componentes do vetor formado pelos seguintes pontos.
(a) P1(3,5), P2(2,8) (b) P1(5,− 2,1), P2(−2,5,− 4)
Solução:
(a) v = (−1,3) (b) v = (−7,7,− 5)
3. Encontre o ponto inicial do vetor que é igual a v = (1,1,3) e cujo ponto final é
B(−1,− 1,2).
Solução:O ponto inicial é (−2,− 2,− 1).
4. Sejam u = (−3,1,2,4,4), v = (4,0,− 8,1,2) e w = (6,− 1,− 4,3,− 5). Encontre os
componentes de
(a) v −w
(b) 6u+ 2v
(c) (2u− 7w)− (8v + u)
Solução:
(a) v −w = (−2,1,− 4,− 2,7)
(b) 6u+ 2v = (−10,6,− 4,26,28)
(c) (2u−7w)− (8v+u) = (−77,8,94,−
25,23)
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Exercícios de Álgebra Linear II Lista 1
5. Sejam u, v e w os vetores do exercício anterior. Encontre os componentes do vetor
x que satisfazem a equação 2u− v + x = 7x+w.
Solução:x =
(
−8
3
,
1
2
,
8
3
,
2
3
,
11
6
)
6. Quais vetores do <6 dados são paralelos a u = (−2,1,0,3,5,1)? Justifique.
(a) (4,2,0,6,10,2)
(b) (4,− 2,0,− 6,− 10,2)
(c) (0,0,0,0,0,0)
Solução:São paralelos (4,− 2,0,− 6,− 10,2) e (0,0,0,0,0,0).
7. Sejam u = (1, − 1,3,5) e v = (2,1,0, − 3). Encontre escalares a e b tais que
au+ bv = (1,− 4,9,18).
Solução:a = 3 e b = −1.
8. Encontre os escalares c1, c2 e c3 tais que
c1(1,− 1,0) + c2(3,2,1) + c3(0,1,4) = (−1,1,19)
Solução:c1 = 2, c2 = −1 e c3 = 5.
9. Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) Dois vetores iguais sempre têm o mesmo ponto inicial.
(b) Os vetores (a,b) e (a,b,0) são iguais.
(c) Se k for um escalar e v, um vetor, então v e kv são paralelos se, e somente se,
k ≥ 0.
(d) Os vetores v + (u+w) e (w + v) + u são iguais.
(e) Se u+ v = u+w, então v = w.
(f) Se a e b forem escalares tais que au+ bv = 0, então u e v são vetores paralelos
(múltiplos).
(g) Se (a,b,c) + (x,y,z) = (x,y,z), então (a,b,c) necessariamente é o vetor nulo.
(h) As combinações lineares a1v1 + a2v2 e b1v1 + b2v2 só podem ser iguais se
a1 = b1 e a2 = b2.
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Exercícios de Álgebra Linear II Lista 1
Solução:(a) Falsa. Justifique!
(b) Falsa. Justifique!
(c) Falsa. Justifique!
(d) Verdadeira. Justifique!
(e) Verdadeira. Justifique!
(f) Falsa. Justifique!
(g) Verdadeira. Justifique!
(h) Falsa. Justifique!
Questões selecionadas do livro de Álgebra Linear com Aplicações, dos autores Howard
Anton & Chris Rorres.
Pág. 5 de 5 Bons estudos