aula_CM

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Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Centro de Massa
24/09/2014
(Centro de Massa) Física 1 24/09/2014 1 / 34
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Outline
1 Centro de Massa
2 Movimento do Centro de Massa
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Sistema de Partículas
Vimos tratando o movimento de uma partícula ‹ um bloco, um
carro, uma geladeira... todos eram considerados adimensionais.
Vamos passar agora a descrever o movimento de um sistema
constituído de várias partículas:
ou várias partículas pontuais
ou um objeto maciço (que pode ser pensado como um
contínuo de várias partículas pontuais)
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Observe o movimento dos diversos pontos de cada corpo
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Centro de Massa
Existe um ponto especial que descreve um movimento simples
como se fosse o de uma partícula pontual
Esse ponto é chamado de centro de massa do sistema.
Veremos que o movimento será determinado
se considerarmos que toda a massa do
sistema está colocada nesse ponto e que todas
as forças externas atuam nesse ponto.
Assim, o movimento de um sistema complexo poderá ser
determinado como um
Movimento Geral
Movimento de translação do CM
Movimento de rotação em torno do CM
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Centro de Massa de Partículas pontuais
Dois objetos de massa m1 e m2 nas posições x1 e x2,
respectivamente
xCM
m1x1 m2x2
m1 m2
se m1 0 ‹ xCM x2
se m1 m2 ‹ xCM m x1 x22m
x1 x2
2
Podemos estender o conceito para n
partículas em uma dimensão:
xCM
m1x1 m2x2 mnxn
m1 m2 mn
mixi
M
onde M é a massa total
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Centro de Massa de Partículas pontuais em 3
dimensões
Se as partículas estiverem distribuídas em três dimensões, a
posição do CM deve ser dada por três coordenadas:
xCM
mixi
M
yCM
miyi
M
zCM
mizi
M
Podemos escrever em termos de vetores: se
ri xi yi zik
é a posição de cada partícula i , então
rCM xCM yCM zCMk
ou
rCM
1
M
miri
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Determine o vetor posição do CM das 3 partículas localizadas
nos pontos mostrados na figura, com m1 m2 1kg e m3 2kg
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CM de objetos extensos
Podemos considerar um objeto extenso como um sistema que
contém um grande número de partículas.
Caso mais simples: Se um objeto tem simetria geométrica e
sua massa está uniformemente distribuída, é intuitivo
imaginar que o CM esteja nesse centro geométrico, p.ex, no
centro de uma barra uniforme, no centro de uma placa quadrada,
no centro de um cilindro maciço...
E se temos vários objetos extensos, podemos considerar cada um
como uma massa pontual localizada no seu centro de massa:
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CM de objetos extensos
Ex: Calcule a posição do CM do sistema constituído das 3 barras
de comprimento L dispostas como na figura:
Ex: Calcule a posição do CM de uma caixa cúbica de lateral
40cm sem tampa.
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MM
3M
X
Y
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CM de objetos extensos
Ex: Calcule a posição do CM do sistema constituído das 3 barras
de comprimento L dispostas como na figura:
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MM
3M
X
Y
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CM de objetos extensos
Ex: Calcule a posição do CM de uma caixa cúbica de lateral
40cm sem tampa.
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CM de objetos extensos
Ex: Calcule a posição do CM do sistema constituído das 3 barras
de comprimento L dispostas como na figura:
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CM de objetos extensos
Mas e se não tivermos uma simetria óbvia? Podemos pensar que
temos um grande número de partículas, com uma separação
infinitesimal entre elas, de forma a ter uma distribuição de massa
contínua.
Dividimos o objeto em elementos de massa mi ,
cada um com coordenadas xi , yi , zi , ficando o CM
determinado por
xCM
mixi
M
yCM
miyi
M
zCM
mizi
M
Se fizermos o número de elementos tender a , a
soma se torna a integral e o mi se torna o
elemento infinitesimal de massa dm :
xCM
x dm
M
yCM
y dm
M
zCM
z dm
M
ou rCM 1M r dm
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Centro de Massa de uma barra homogênea
escolhemos a barra alinhada no eixo x .
Usamos a densidade linear de massa, que
é constante porque a barra é homogênea:
M
L
se dividirmos a barra em elementos
infinitesimais de comprimento dx , temos
que dm dx
xCM
1
M
x dm
1
M
L
0
x dx
xCM M
x 2
2
L
0
M
ML
L2
2
L
2
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Centro de Massa de uma barra NÃO homogênea
Se a barra não for homogênea, mas soubermos que ax ,
onde a é uma constante:
se dividirmos a barra em elementos infinitesimais de
comprimento dx , e usando novamente que dm dL:
xCM
1
M
x dm
1
M
L
0
x dx
xCM
1
M
L
0
x a x dx
a
M
L
0
x 2dx
aL3
M3
a pode ser eliminado se notarmos sua relação com M :
M dm
L
0
dx
L
0
ai x dx
aL2
2
xCM
aL3
3aL2 2
2
3
L
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CM de um Triângulo Retângulo Homogêneo
“no olho” vemos que
xCM a 2 e yCM b 2
Dividimos o triângulo em
tiras como na figura, e
como é homogêneo:
usando o mesmo raciocício
chegamos a
yCM
1
3
b
dm
area da tira
M
A ‹ dm
M
ab 2 ydx
xCM
1
M
x dm
1
M
a
0
x
2M
ab
y dx
xCM
2
ab
a
0
x y dx
temos que escrever y em função de x :
y
x
b
a
xCM
2
ab
a
0
x
b
a
x dx
2
a2
a
0
x 2dx
xCM
2
a2
x 3
3
a
0
2
3
a
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Determinação experimental do CM
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Movimento do Centro de Massa
Temos um sistema de n partículas em movimento e queremos
determinar como o CM irá se mover.
M RCM m1r1 m2r2 mnrn
Se o sistema está se movendo, então em geral,
o CM também se move. Derivando ambos os
lados:
M VCM m1v1 m2v2 mnvn
onde v1 é a velocidade da partícula 1 e VCM é
a velocidade do CM. Derivando novamente:
M ACM m1a1 m2a2 mnan
onde a1 é a aceleração da partícula 1 e ACM é
a aceleração do CM.
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O
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Movimento do Centro de Massa
Da segunda Lei de Newton, m1a1 é a
resultante das forças que atuam sobre m1:
M ACM F1 F2 Fn
Podemos separar a Força Resultante sobre m1
em:
Result. de Forças Internas
Result. de Forças Externas
Exemplificando para duas partículas:
M ACM Fext1 F12 F
ext
2 F21
M ACM Fext
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Exemplos
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Exemplos
Estrela Dupla
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Exemplos
Suppose you tranquilize a polar bear on a smooth glacier as part
of a research effort. How might you estimate the bear’s mass
using a measuring tape, a rope, and knowledge of your own mass?
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Exemplos
Em uma mesa horizontal, um sistema formado por duas massas
de 1kg e 3kg ligadas por uma haste rígida de massa desprezível e
comprimento igual a 20 cm está em repouso. Em um
determinado instante, as forças F1 3 N e F2 4 N passam
a atuar respectivamente sobre as massas 1kg e 3kg. Desprezando
o atrito,
a) calcule a posição do CM do sistema em função do tempo.
b) Qual a trajetória do CM?
c) O que mudaria se a haste rígidafosse substituída por uma
mola?
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