Formulário de Cálculo II (Completo)

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Formulário de Cálculo II 
 
Equações e Parametrizações 
Reta 
𝛼(𝑡) = (1 − 𝑡) 𝐴 + 𝑡. 𝐵 
α(t)= A + t(B-A) 
Parábola 
y = 𝑥2 
x = y2 
𝛼(𝑡) = (𝑥, 𝑦)𝑡 € 𝑅 
Círculo 
(𝑥 – 𝑥0)
2 + (𝑦 – 𝑦0)
2 = 𝑟2 
Centro (x0, y0) , Raio r 
𝛼(𝑡) = (𝑥0 + 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝑡 , 𝑦0 + 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝑡) 𝑡 € [0,2 𝜋] 
Elipse 
(𝑥 − 𝑥0)
2
𝑎2
 + 
(𝑦 − 𝑦0)
2
𝑏2
= 1 
𝛼(𝑡) = (𝑥0 + 𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑡 , 𝑦0 + 𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝑡) 𝑡 € [0,2 𝜋] 
Hipérbole 
(𝑥 − 𝑥0)
2
𝑎2
− 
(𝑦 − 𝑦0)
2
𝑏2
= 1 
(𝑦 − 𝑦0)
2
𝑎2
− 
(𝑥 − 𝑥0)
2
𝑏2
= 1 
(Quando y negativo) 
𝛼(𝑡) = (𝑥0 + 𝑎. 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑡, 𝑦0 + 𝑏. 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡) 
𝛽(𝑡) = (𝑥 0 − 𝑎. 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑡, 𝑦0 + 𝑏. 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡) 
(Quando x negativo) 
𝛼(𝑡) = (𝑥0 + 𝑏. 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡, 𝑦0 + 𝑎. 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑡) 
𝛽(𝑡) = (𝑥0 + 𝑏. 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑡, 𝑦0 − 𝑎. 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑡) 
 
Equação da reta tangente ao gráfico de uma 
função vetorial no ponto α(a) 
r(t)= t. α’(a) + α(a) 
Equação do Comprimento da curva 
𝐿(𝛼) = ∫ |𝛼′(𝑡)|𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 
Relação entre coordenadas cartesianas e polares 
{
𝑥 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃
 , 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 , 𝑡𝑔𝜃 =
𝑦
𝑥
 
Curvatura k de uma curva 
Γ(𝑡) =
𝑟′(𝑡)
|𝑟′(𝑡)|
 
 𝑘(𝑡) =
|Γ′(𝑡)|
|𝑟′(𝑡)|
 
Ou, 𝑘(𝑡) =
|𝑟′(𝑡) 𝑥 𝑟′′(𝑡)|
|𝑟′(𝑡)|3
 
Vetor normal(N) e Binormal(B) 
Γ(𝑡) =
𝑟′(𝑡)
|𝑟′(𝑡)|
 
𝑁(𝑡) =
Γ′(𝑡)
|Γ′(𝑡)|
 
𝐵(𝑡) = Γ(𝑡) 𝑥 𝑁(𝑡) 
Curva tangente a reta 
𝛽′(𝑡) = 𝜆 (𝑟′(𝑡)) 
Parabolóide 
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 
Esfera 
(𝑥 – 𝑥0)
2 + (𝑦 – 𝑦0)
2 + (𝑧 − 𝑧0)
2 = 𝑟2 
Elipsóide 
(𝑥 − 𝑥0)2
𝑎2
 + 
(𝑦 − 𝑦0)2
𝑏2
+ 
(𝑧 − 𝑧0)
2
𝑐2
 
Hiperbolóide 
(de uma folha) 
(𝑥 − 𝑥0)
2
𝑎2
+ 
(𝑦 − 𝑦0)
2
𝑏2
−
(𝑧 − 𝑧0)
2
𝑐2
= 1 
(de duas folhas) 
−
(𝑥 − 𝑥0)
2
𝑎2
− 
(𝑦 − 𝑦0)
2
𝑏2
+
(𝑧 − 𝑧0)
2
𝑐2
= 1 
Conjunto de nível 
𝑓−1 (𝑏) = {𝑎 ∈ 𝐴 ∖ 𝑓(𝑎) = 𝑏} 
Equação do plano Tangente ao gráfico de f no 
ponto (a,b) 
𝑍 = 𝑓(𝑎, 𝑏) +
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑎, 𝑏). (𝑥 − 𝑎) +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑎, 𝑏). (𝑦 − 𝑏) 
Equação paramétrica da reta normal ao gráfico de f 
no ponto (a,b) 
𝑟(𝑡) = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑎, 𝑏). 𝑡 + 𝑎 ,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑎, 𝑏). 𝑡 + 𝑏 , −𝑡 + 𝑓(𝑎, 𝑏) ) 
 
 
Vetor gradiente 
∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 ,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
,
𝜕𝑓
𝜕𝑧
) 
Derivada direcional 
𝐷𝑢 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧). �⃗� 
Se �⃗� ≠ 1 , �⃗� = 𝑣 
|𝑣 |⁄
 
Hesiana 
𝐻(𝑥, 𝑦) = |
|
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
|
| 
 
Mudança de variável na integral dupla 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣))| 𝐽|𝑑𝑢𝑑𝑣
𝐷𝑢𝑣𝐷𝑥𝑦
 
𝐽 = |
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
| ≠ 0 
Integrais duplas em coordenadas polares 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃). 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃
𝐷𝑟𝜃𝐷
 
Integrais duplas em regiões gerais 
Tipo 1: Inferior e superiormente por funções. 
Lateralmente por pontos. 
a ≤ x ≤ b e g1(x) ≤ y ≤ g2(x) 
Tipo 2: Inferior e superiormente por pontos 
Lateralmente por funções 
h1(x) ≤ x ≤ h2(x) e a ≤ y ≤ b 
Mudança de variáveis na integral tripla 
1.Coordenadas cilíndricas 
{
𝑥 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑧 = 𝑧
 , 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 , (r ,ϴ,z) 
 r ≥ 0 
0 ≤ ϴ ≤ 2π 
z1 ≤ z ≤ z2 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
𝑊
= ∭ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧). 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧 
𝑤𝑟𝜃𝑧
 
 
 
 
2.Coordenadas esféricas 
{
𝑥 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃
 x2+y2+z2=𝜌 J =𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜙 
0 ≤ ϴ ≤ 2π 
0 ≤ 𝜙 ≤ π 
𝜌 ≥ 0 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =𝑤
 ∭ 𝑓(𝑠𝑒𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃,𝑤𝜌𝜙𝜃 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝜌
2𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝑝𝑑𝜙𝑑𝜃 
 
Integral de Linha e o campo escalar 
∫𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓(𝛼(𝑡)). |𝛼′(𝑡)| 𝑑𝑡 𝑎 ≤ 𝑓 ≤ 𝑏 
𝑏
𝑎
𝑐
 
 
Divergente 
𝑑𝑖𝑣𝐹 =
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+
𝜕𝑄
𝜕𝑦
+
𝜕𝑅
𝜕𝑧
 
 
Rotacional 
𝑟𝑜𝑡𝐹 = (
𝜕𝑅
𝜕𝑦
− 
𝜕𝑄
𝜕𝑧
) 𝑖 + (
𝜕𝑃
𝜕𝑧
− 
𝜕𝑅
𝜕𝑥
) 𝑗 + (
𝜕𝑄
𝜕𝑥
− 
𝜕𝑃
𝜕𝑦
) 𝑘 
 
Integral de linha e o campo vetorial 
∫𝐹 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹(𝛾(𝑡)). (𝛾′(𝑡))𝑑𝑡 𝑎 ≤ 𝑓 ≤ 𝑏 
𝑏
𝑎
𝑐
 
 
Campos conservativos 
∇. 𝜑 = 𝐹 onde ∇ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 e . escalar 
𝜑 = ∫∇ 
 
Teorema de Green 
Região D orientada no sentido anti-horário 
∫𝐹 𝑑𝑟 = ∫𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = ∬ (
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
𝐷
 
Versor Tangente 
𝛽(𝑡) =
𝛼′(𝑡)
|𝛼′(𝑡)|
 
 
®Barizão, Pamella