Alg_Aula05_transformacoes_lineares

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Álgebra Linear
Transformações Lineares
Álgebra Linear
Transformações Lineares
Prof. André Tiba
akot@cin.ufpe.br
Baia 65, ramais: 4765 ou 4338
esta aula baseia-se nas notas de aula gentilmente cedidas pelo professor Carlos Mello1
Transformações Lineares
1. Introdução
2. Transformação do plano no plano
3. Conceitos e Teoremas
4. Transformações Lineares de Matrizes
5. Exercícios
1. Introdução
2. Transformação do plano no plano
3. Conceitos e Teoremas
4. Transformações Lineares de Matrizes
5. Exercícios
2
Introdução
• Funções lineares descrevem o tipo mais simples de dependência
entre variáveis.
• Muitos problemas podem ser representados por tais funções.
• Definição: Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma
transformação linear é uma função de V em W, F: V → W que
satisfaz as condições:
i. Quaisquer que sejam u e v  V: F(u + v) = F(u) + F(v)
ii. Quaisquer que sejam kR e vV: F(kv) = kF(v)
• Princípio da Superposição
• Funções lineares descrevem o tipo mais simples de dependência
entre variáveis.
• Muitos problemas podem ser representados por tais funções.
• Definição: Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma
transformação linear é uma função de V em W, F: V → W que
satisfaz as condições:
i. Quaisquer que sejam u e v  V: F(u + v) = F(u) + F(v)
ii. Quaisquer que sejam kR e vV: F(kv) = kF(v)
• Princípio da Superposição
3
Guardem esse
nome!!
Introdução
• Exemplo 1: Seja V = R e W = R. F: R  R
x  2,5x
F(x) = 2,5x
x1, x2  R e k uma constante, k  R
F(x1 + x2) = 2,5(x1 + x2) = 2,5x1 + 2,5x2 = F(x1) + F(x2)
F(kx1) = 2,5(kx1) = k(2,5x1) = kF(x1)
 Logo F(x) é uma transformação linear.
• Exemplo 1: Seja V = R e W = R. F: R  R
x  2,5x
F(x) = 2,5x
x1, x2  R e k uma constante, k  R
F(x1 + x2) = 2,5(x1 + x2) = 2,5x1 + 2,5x2 = F(x1) + F(x2)
F(kx1) = 2,5(kx1) = k(2,5x1) = kF(x1)
 Logo F(x) é uma transformação linear.
4
Introdução
• Exemplo 2: Seja V = R4 e W = R2. F: R4  R2
(x, y, z, t)  (2x + y, z – t)
F (x, y, z, t) = (2x + y, z – t)
Sejam u1= (x1, y1, z1, t1) e u1= (x2, y2, z2, t2)  R4 e k uma
constante, k  R:
 F(u1 + u2) = (x1+ x2, y1+ y2, z1 + z2, t1 + t2)
= (x1, y1, z1, t1) + (x2, y2, z2, t2) = F(u1) + F(u2)
 F(ku1) = (kx1, ky1, kz1, kt1) = k(x1, y1, z1, t1) = kF(u1)
 Logo F(x) é uma transformação linear.
• Exemplo 2: Seja V = R4 e W = R2. F: R4  R2
(x, y, z, t)  (2x + y, z – t)
F (x, y, z, t) = (2x + y, z – t)
Sejam u1= (x1, y1, z1, t1) e u1= (x2, y2, z2, t2)  R4 e k uma
constante, k  R:
 F(u1 + u2) = (x1+ x2, y1+ y2, z1 + z2, t1 + t2)
= (x1, y1, z1, t1) + (x2, y2, z2, t2) = F(u1) + F(u2)
 F(ku1) = (kx1, ky1, kz1, kt1) = k(x1, y1, z1, t1) = kF(u1)
 Logo F(x) é uma transformação linear.
5
Introdução
• Exemplo 3: Seja V = R2 e W = R3. F: R2  R3
(x, y)  (2x + y, x  y, y)
F (x, y) = (2x + y, x  y, y)
Sejam u1= (x1, y1) e u1= (x2, y2)  R2 e k uma constante, k  R:
F(u1 + u2) = [2(x1+ x2) + (y1+ y2), (x1+ x2)  (y1+ y2), y1+ y2]
= [ (2x1+ y1) + (2x2+ y2), (x1 y1) + (x2 y2), y1+ y2)]
= (2x1+ y1, x1  y1, y1) + (2x2+ y2, x2 y2, y2)
= F(u1) + F(u2)
F(ku1) = (2kx1+ ky1, kx1 ky1, ky1) = k(2x1+ y1, x1 y1, y1) = kF(u1)
 Logo F(x) é uma transformação linear.
• Exemplo 3: Seja V = R2 e W = R3. F: R2  R3
(x, y)  (2x + y, x  y, y)
F (x, y) = (2x + y, x  y, y)
Sejam u1= (x1, y1) e u1= (x2, y2)  R2 e k uma constante, k  R:
F(u1 + u2) = [2(x1+ x2) + (y1+ y2), (x1+ x2)  (y1+ y2), y1+ y2]
= [ (2x1+ y1) + (2x2+ y2), (x1 y1) + (x2 y2), y1+ y2)]
= (2x1+ y1, x1  y1, y1) + (2x2+ y2, x2 y2, y2)
= F(u1) + F(u2)
F(ku1) = (2kx1+ ky1, kx1 ky1, ky1) = k(2x1+ y1, x1 y1, y1) = kF(u1)
 Logo F(x) é uma transformação linear.
6
Introdução
• Exemplo 4: Seja V = R2 e W = R. F: R2  R
(x, y)  x2 + y
F (x, y) = x2 + y
Sejam u1= (x1, y1) e u1= (x2, y2)  R2 e k uma constante, k  R:
F(u1 + u2) = (x1+ x2)2 + (y1+ y2) = (x1)2 + (x2)2 + 2x1x2 + y1+ y2
= [(x1)2 + y1 ] + [(x2)2 + y2 ] + 2x1x2 = F(u1) + F(u2) + 2x1x2
 Logo F(x) não é uma transformação linear.
• Exemplo 4: Seja V = R2 e W = R. F: R2  R
(x, y)  x2 + y
F (x, y) = x2 + y
Sejam u1= (x1, y1) e u1= (x2, y2)  R2 e k uma constante, k  R:
F(u1 + u2) = (x1+ x2)2 + (y1+ y2) = (x1)2 + (x2)2 + 2x1x2 + y1+ y2
= [(x1)2 + y1 ] + [(x2)2 + y2 ] + 2x1x2 = F(u1) + F(u2) + 2x1x2
 Logo F(x) não é uma transformação linear.
7
Introdução
• Exemplo 5: Seja V = R2 e W = R2. F: R2  R2
(x, y)  (y + 1, x)
F (x, y) = (y + 1, x)
Sejam u1= (x1, y1) e u1= (x2, y2)  R2 e k uma constante, k  R:
F(u1 + u2) = [ (y1 + y2) + 1, x1 + x2)]
= (y1+ 1, x1) + (y2, x2)  F(u1) + (y2, x2)
 Logo F(x) não é uma transformação linear.
• Exemplo 5: Seja V = R2 e W = R2. F: R2  R2
(x, y)  (y + 1, x)
F (x, y) = (y + 1, x)
Sejam u1= (x1, y1) e u1= (x2, y2)  R2 e k uma constante, k  R:
F(u1 + u2) = [ (y1 + y2) + 1, x1 + x2)]
= (y1+ 1, x1) + (y2, x2)  F(u1) + (y2, x2)
 Logo F(x) não é uma transformação linear.
8
Portanto: Uma transformação para ser linear, não implica
que ela seja derivada de uma função linear.
Introdução
• Observações:
1. A operação de transformação será representada pela letra T.
2. Da definição de transformação linear, tem-se que a
transformação do vetor nulo leva ao mesmo vetor nulo, ou
seja, T(0) = 0.
3. Isso ajuda a detectar transformações não lineares: se T(0)0,
implica uma transformação não linear.
4. No entanto, T(0) = 0 não é condição suficiente para que
T seja linear (Veja Exemplo 4, T(0) = 0 mas T é não linear).
• Observações:
1. A operação de transformação será representada pela letra T.
2. Da definição de transformação linear, tem-se que a
transformação do vetor nulo leva ao mesmo vetor nulo, ou
seja, T(0) = 0.
3. Isso ajuda a detectar transformações não lineares: se T(0)0,
implica uma transformação não linear.
4. No entanto, T(0) = 0 não é condição suficiente para que
T seja linear (Veja Exemplo 4, T(0) = 0 mas T é não linear).
9
Introdução
• Exemplo 6: Seja V = Rn e W = Rm , A uma matriz m x n
Definimos TA: Rn  Rm
v  A.v
onde v é o vetor coluna









nx
x

1
v
• Exemplo 6: Seja V = Rn e W = Rm , A uma matriz m x n
Definimos TA: Rn  Rm
v  A.v
onde v é o vetor coluna
10









nx
x

1
v


























mnmnm
n
y
y
x
x
aa
aa



 11
1
111
)(T A.vvA
TA(u + v) = A.(u + v) = A.u + A.v = TA(u) + TA(v)
TA(ku) = A.(ku) = kA.u = kTA(u)
Portanto LA é uma transformação linear.
Introdução
• Exemplo 6 (continuação): Seja V = R4 e W = R2
Seja A uma matriz 2 x 4
Definimos TA: R4  R2
Se e









t
z
y
x
v


 1100
0012A
• Exemplo 6 (continuação): Seja V = R4 e W = R2
Seja A uma matriz 2 x 4
Definimos TA: R4  R2
Se e
11









t
z
y
x
v
















 tz
yx
t
z
y
x
2
1100
0012)(T A.vvA



 1100
0012A
idêntico ao Exemplo 2
Transformações do plano no plano
• As transformações no plano R2 permitem que tenhamos
uma visão geométrica das transformações lineares.
• Estudaremos basicamente
– Expansão ou contração
– Rotação
– Deformações diversas
– Translação (não é uma transformação linear)
• As transformações no plano R2 permitem que tenhamos
uma visão geométrica das transformações lineares.
• Estudaremos basicamente
– Expansão ou contração
– Rotação
– Deformações diversas
– Translação (não é uma transformação linear)
12
Transformações do plano no plano
1) Expansão (ou contração) uniforme:
T: R2  R2,   R
v .v
 > 1  Expansão:13
v T(v)T











y
x
y
x
y
x
y
x
30
03ou3
3Exemplo:  = 3v 3.v
T(v) = T(x, y) = (3x, 3y)
Transformações do plano no plano
1) Expansão (ou contração) uniforme:
T: R2  R2,   R
v .v
0 <  < 1  contração:
14
v T(v)T
Exemplo:  =1/2
v (1/2).v
T(v) = T(x, y) = (x/2, y/2) 










y
x
y
x
y
x
y
x
2/10
02/1ou2/
2/
Transformações do plano no plano
2) Reflexão em torno do Eixo-x:
T: R2  R2
(x, y)  (x, y)
v
T
15













y
x
y
x
y
x
y
x
10
01ou
T(v)
T
Transformações do plano no plano
3) Reflexão na origem:
T: R2  R2
(x, y)  (x, y)
v
T
16















y
x
y
x
y
x
y
x
10
01ou
T(v)
T
Transformações do plano no plano
4) Rotação por um Ângulo  (anti-horário):
T: R2  R2
(x, y)  (x’, y’)
y v R y v
y’ R(v)
17
y
x

y
x

x’

x’ = r.cos( + ) = r.cos.cos  r.sen.sen, onde r = |v|
Mas, r.cos = x e r.sen = y
 x’ = x.cos  y.sen
Analogamente: y’ = y.cos + x.sen
Assim: R(x,y) = (x.cos  y.sen, y.cos + x.sen)
Transformações do plano no plano
4) Rotação por um Ângulo  (anti-horário):




 








y
x
y
x
yx
yx
y
x




cossin
sincosoucossin
sincos
Caso  = /2:
18
Caso  = /2:
v
R
R(v)





x
y
y
x
Transformações do plano no plano
5) Cisalhamento horizontal:
T: R2  R2
(x, y)  (x + y, y),   R
v
T(v)
19












 


y
x
y
x
y
x
y
yx
y
x
10
21
10
1ou2 
v
T
Exemplo,  = 2:
Transformações do plano no plano
6) Translação (é uma transformação linear apenas quando a = b = 0):
T: R2  R2
(x, y)  (x + a, y + b), a, b  R
T(v)
20
Verifique que para a  0 ou b  0:
i. T(u + v)  T(u) + T(v)
ii. T(ku)  kT(u)
v
T(v)
T
a
b v
a
b









b
a
y
x
y
x
10
01
Conceitos e Teoremas
• Teorema: Dados dois espaços vetoriais V e W e
uma base  de V,  = {v1, ..., vn}. Sejam w1, ...,wn vetores arbitrários de W. Então existe umaúnica transformação linear T:V→W tal que
T(v1) = w1, ..., T(vn) = wn.
Se v for um vetor do espaço V, ou seja:
v = a1v1 + .... + anvn
Então,
T(v) = a1T(v1) + .... + anT(vn) = a1w1 + .... + anwn
• Teorema: Dados dois espaços vetoriais V e W e
uma base  de V,  = {v1, ..., vn}. Sejam w1, ...,wn vetores arbitrários de W. Então existe umaúnica transformação linear T:V→W tal que
T(v1) = w1, ..., T(vn) = wn.
Se v for um vetor do espaço V, ou seja:
v = a1v1 + .... + anvn
Então,
T(v) = a1T(v1) + .... + anT(vn) = a1w1 + .... + anwn
21
Conceitos e Teoremas
Exemplo 1: Qual a transformação linear T: R2→R3 tal que
T(1, 0) = (2, 1, 0) e T(0, 1) = (0, 0, 1)?
Sejam e1= (1,0), e2= (0,1), w1= (2, 1, 0) e w2= (0, 0, 1). Observeque {e1, e2} formam a base canônica do R2.
22
Então deseja-se que T(e1) = w1 e T(e2) = w2
Seja um vetor v = (x, y)  R2,  v = x.e1 + y.e2
T(v) = T(x.e1) + T(y.e2) = x.T(e1) + y.T(e2) = x.w1 + y.w2
T(v) = T(x, y) = x(2, 1, 0) + y(0, 0, 1) = (2x, x, y)
Conceitos e Teoremas
Exemplo 2: Qual a transformação linear T: R2→R3 tal que
T(1, 1) = (2, 1, 0) e T(2, 1) = (0, 0, 1)?
Sejam v1= (1,1), v2= (2,1), w1= (2, 1, 0) e w2= (0, 0, 1). Observeque {v1, v2} formam uma base do R2.
Solução 1:
23
Então deseja-se que T(v1) = w1 e T(v2) = w2
Seja um vetor v = (x, y)  R2,  )1,2()1,1(),(  bayx
),2(),( babayx 







 y
x
b
a
11
21



 y
x
11
21
L2 = L2 – L1 


 xy
x
30
21
Solução 1:
Conceitos e Teoremas
Exemplo 2 (continuação):
L2 = – L2 /3


 xy
x
30
21 L1 = L1 – 2L2



 3/)(10
21
yx
x





3/)(
3/23/
10
01
yx
yx   3/)(e3/23/ yxbyxa 
24





3/)(
3/23/
10
01
yx
yx
21),( vvv bayx 
T(v) = T(a.v1) + T(b.v2) = a.T(v1) + b.T(v2) = a.w1 + b.w2
  3/)(e3/23/ yxbyxa 
T(v) = a(2,1,0) + b(0, 0, 1) = (2a, a, b)


  3,3
2,3
42y)T(x, yxyxyx
Conceitos e Teoremas
Exemplo 2 (continuação):
Solução 2:
v1= (1,1), v2= (2,1) formam uma base no R2, porém não uma basecanônica. Temos ainda que:
T(v1) = T(1,1) = w1 = (2, 1, 0)T(v2) = T(2,1) = w2 = (0, 0, 1)
25
Observe que v1= (1, 1) = e1 + e2 = (1,0) + (0,1)
v1= (1,1), v2= (2,1) formam uma base no R2, porém não uma basecanônica. Temos ainda que:
T(v1) = T(1,1) = w1 = (2, 1, 0)T(v2) = T(2,1) = w2 = (0, 0, 1)
T(v1) =T(e1) + T(e2) = w1
De forma análoga, v2= (2, 1) = 2e1  e2 = 2(1,0)  (0,1)
T(v2) = T(2e1) + T(e2) = 2T(e1)  T(e2) = w2
Conceitos e Teoremas
Exemplo 2 (continuação):
T(e1) + T(e2) = w1
2T(e1)  T(e2) = w2
3T(e1) = w1 + w2
T(e1) = (w1 + w2)/3
T(e2) = (2w1  w2)/3
T(e1) = [(2, 1, 0) + (0, 0, 1)]/3 = (2/3, 1/3, 1/3)
26
T(e2) = [2.(2, 1, 0)  (0, 0, 1)]/3 = (4/3, 2/3,  1/3)
Seja um vetor v = (x, y)  R2,  v = x.e1 + y.e2
T(v) = T(x.e1) + T(y.e2) = x.T(e1) + y.T(e2) =
T(v) = x(2/3, 1/3, 1/3) + y (4/3, 2/3,  1/3)


  3,3
2,3
42y)T(x, yxyxyx
Conceitos e Teoremas
• Definição: Seja T:V → W uma transformação linear. A
imagem de T é o conjunto dos vetores wW, tal que
existe um vetor vV, que satisfaz T(v) = w. Ou seja:
 Im(T) = {wW ; T(v) = w para algum vV}
• Definição: Seja T:V → W uma transformação linear. O
conjunto de todos os vetores vV tais que T(v) = 0 é
chamado de núcleo de T, sendo denotado por ker T (ker
= kernel). Isto é:
 ker T = {vV ; T(v) = 0}
• Definição: Seja T:V → W uma transformação linear. A
imagem de T é o conjunto dos vetores wW, tal que
existe um vetor vV, que satisfaz T(v) = w. Ou seja:
 Im(T) = {wW ; T(v) = w para algum vV}
• Definição: Seja T:V → W uma transformação linear. O
conjunto de todos os vetores vV tais que T(v) = 0 é
chamado de núcleo de T, sendo denotado por ker T (ker
= kernel). Isto é:
 ker T = {vV ; T(v) = 0}
27
Conceitos e Teoremas
Exemplo 3: T: R2→ R
T(x, y) → x + y
• Neste caso, ker T = {(x, y)R2; x + y = 0}
• Isto é, ker T é a reta y = x
• Veja que ker T = {(x, x); xR} = {x.(1, 1); xR} = [(1, 1)]
• Im T = R, pois dado wR, w = T(w, 0)
Exemplo 3: T: R2→ R
T(x, y) → x + y
• Neste caso, ker T = {(x, y)R2; x + y = 0}
• Isto é, ker T é a reta y = x
• Veja que ker T = {(x, x); xR} = {x.(1, 1); xR} = [(1, 1)]
• Im T = R, pois dado wR, w = T(w, 0)
28
y
x
y = x
0
Im T = R Qualquer valordos reais satisfaz
o par (x, x).
Conceitos e Teoremas
Exemplo 4: T: R3→ R3
T(x, y, z) → (x, 2y, 0)
• Então a imagem de T:
– Im(T) = {(x, 2y, 0): x, y R}
= {x.(1, 0, 0) + y.(0, 2, 0), x, yR}
= <(1, 0, 0), (0, 2, 0)>
Assim, dim Im(T) = 2
• O núcleo de T é dado por:
– ker T = {(x,y,z): T(x, y, z) = (0,0,0)}
= {(x,y,z): (2x, y, z) = (0,0,0)}
= {(0, 0, z): zR} = {z(0,0,1): zR}  [(0, 0, 1)]
Assim, dim ker T = 1
Exemplo 4: T: R3→ R3
T(x, y, z) → (x, 2y, 0)
• Então a imagem de T:
– Im(T) = {(x, 2y, 0): x, y R}
= {x.(1, 0, 0) + y.(0, 2, 0), x, yR}
= <(1, 0, 0), (0, 2, 0)>
Assim, dim Im(T) = 2
• O núcleo de T é dado por:
– ker T = {(x,y,z): T(x, y, z) = (0,0,0)}
= {(x,y,z): (2x, y, z) = (0,0,0)}
= {(0, 0, z): zR} = {z(0,0,1): zR}  [(0, 0, 1)]
Assim, dim ker T = 1
29
Conceitos e Teoremas
• Definição: Dada uma transformação T:V→W,dizemos
que T é injetora se, dados u  V e v  V com
T(u) = T(v), tivermos u = v ou, de forma equivalente, T
é injetora se dados u,vV com uv, então T(u)  T(v).
• Em outras palavras, T é injetora se as imagens de vetores
distintos são distintas.
• Definição: Dada uma transformação T:V→W, dizemos
que T é injetora se, dados u  V e v  V com
T(u) = T(v), tivermos u = v ou, de forma equivalente, T
é injetora se dados u,vV com uv, então T(u)  T(v).
• Em outras palavras, T é injetora se as imagens de vetores
distintos são distintas.
30
Conceitos e Teoremas
• Definição: Dada uma transformação T:V→W, dizemos
que T é sobrejetora se a imagem de T coincidir com W,
ou seja T(V) = W.
• Em outras palavras, T é sobrejetora se dado wW,
existir vV tal que T(v) = w.
• Definição: Dada uma transformação T:V→W, dizemos
que T é sobrejetora se a imagem de T coincidir com W,
ou seja T(V) = W.
• Em outras palavras, T é sobrejetora se dado wW,
existir vV tal que T(v) = w.
31
Conceitos e Teoremas
Exemplo 5: T: R→R2
x → (x, 0)
Sejam x, y  R, vamos supor que T(x) = T(y).
Então T(x) = (x, 0) e T(y) = (y, 0)
(x, 0) = (y, 0)  x = y, logo T é injetora.
Porém T não é sobrejetora uma vez que
Im(T) = {(x,0): x R}  R2
Exemplo 5: T: R→R2
x → (x, 0)
Sejam x, y  R, vamos supor que T(x) = T(y).
Então T(x) = (x, 0) e T(y) = (y, 0)
(x, 0) = (y, 0)  x = y, logo T é injetora.
Porém T não é sobrejetora uma vez que
Im(T) = {(x,0): x R}  R2
32
Conceitos e Teoremas
• Teorema: Seja T:V→W uma transformação linear. Então
ker T={0}, se e somente se, T é injetora.
• Teorema: Seja T:V→W uma transformação linear, então:
dim ker T + dim Im T = dim V.
• Corolário 1: Se dim V = dim W, então T linear é injetora, se
e somente se, T é sobrejetora.
• Corolário 2: Seja T:V→W uma transformação linear
injetora. Se dim V = dim W, então T leva base em base
– Base de V em base de W.
• Teorema: Seja T:V→W uma transformação linear. Então
ker T={0}, se e somente se, T é injetora.
• Teorema: Seja T:V→W uma transformação linear, então:
dim ker T + dim Im T = dim V.
• Corolário 1: Se dim V = dim W, então T linear é injetora, se
e somente se, T é sobrejetora.
• Corolário 2: Seja T:V→W uma transformação linear
injetora. Se dim V = dim W, então T leva base em base
– Base de V em base de W.
33
Conceitos e Teoremas
• Quando uma transformação linear T:V→W for
injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, dá-se o
nome de isomorfismo.
– Os espaços vetoriais V e W são ditos Isomorfos.
• Quando uma transformação linear T:V→W for
injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, dá-se o
nome de isomorfismo.
– Os espaços vetoriais V e W são ditos Isomorfos.
34
Conceitos e Teoremas
Exemplo 6: T:R3→R3
T(x,y,z) = (x – 2y, z, x + y)
Verifique que T é um isomorfismo e calcule sua inversa T-1.
Para que T seja um isomorfismo, T deve ser injetora e sobrejetora.
Pelo teorema, T será injetora se ker T = {0} (ou seja, o único elemento
do núcleo de T for o vetor nulo (0,0,0)):
35
Para que T seja um isomorfismo, T deve ser injetora e sobrejetora.
Pelo teorema, T será injetora se ker T = {0} (ou seja, o único elemento
do núcleo de T for o vetor nulo (0,0,0)):
ker T = {(x,y,z): (x – 2y, z, x + y) = (0, 0, 0)}
x – 2y = 0
z = 0
x + y = 0
x = 2y
z = 0
x = y
x = 0
z = 0
x = 0
se e somente se
Conceitos e Teoremas
Exemplo 6 (continuação):
Pelo corolário 2, tem-se que T é um isomorfismo.
Tomando a base canônica de R3, sua imagem pela transformação será:
T(1,0,0) = (1 – 2.0, 0, 1 + 0) = (1,0,1)
T(0,1,0) = (0 – 2.1, 0, 0 + 1) = (–2,1,0)
T(0,0,1) = (0 – 2.0, 1, 0 + 0) = (0,1,0)
Ou Seja,
{T(1,0,0), T(0,1,0), T(0,0,1)} = {(1,0,1), (–2,0,1), (0,1,0)}
que continua sendo uma base de R3.
36
Tomando a base canônica de R3, sua imagem pela transformação será:
T(1,0,0) = (1 – 2.0, 0, 1 + 0) = (1,0,1)
T(0,1,0) = (0 – 2.1, 0, 0 + 1) = (–2,1,0)
T(0,0,1) = (0 – 2.0, 1, 0 + 0) = (0,1,0)
Ou Seja,
{T(1,0,0), T(0,1,0), T(0,0,1)} = {(1,0,1), (–2,0,1), (0,1,0)}
que continua sendo uma base de R3.
Conceitos e Teoremas
Exemplo 6 (continuação):
Calculando a transformação inversa de T, T-1:
Veja que:
T(1,0,0) = (1,0,1)
T(0,1,0) = (–2,1,0)
T(0,0,1) = (0,1,0)
(1,0,0) = T-1(1,0,1)
(0,1,0) = T-1 (–2,1,0)
(0,0,1) = T-1 (0,1,0)
T-1 (x,y,z) = ?
37
Veja que:
T(1,0,0) = (1,0,1)
T(0,1,0) = (–2,1,0)
T(0,0,1) = (0,1,0)
(1,0,0) = T-1(1,0,1)
(0,1,0) = T-1 (–2,1,0)
(0,0,1) = T-1 (0,1,0)
Vamos escrever (x,y,z) em relação à base {(1,0,1), (-2, 0,1), (0,1,0)}
(x, y, z) = a(1, 0, 1) + b(2, 0, 1) + c(0, 1, 0)
a 2b = x
c = y
a + b = z
a = (x + 2z)/3
b = (z – x)/3
c = y
Conceitos e Teoremas
Exemplo 6 (continuação):
(x, y, z) = a(1, 0, 1) + b(2, 0, 1) + c(0, 1, 0)
Aplicando a inversa,
T-1(x, y, z) = T-1[a(1, 0, 1)] + T-1[b(2, 0, 1)] + T-1[c(0, 1, 0)]
38
T-1(x, y, z) = aT-1(1, 0, 1) + bT-1(2, 0, 1) + cT-1(0, 1, 0)
T-1(x, y, z) = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c (0,0,1)
)1,0,0()0,1,0(3)0,0,1(3
2),,(T 1 yxzzxzyx 


  yxzzxzyx ,3,3
2),,(T 1
Transformações Lineares de Matrizes
Exemplo 1:
Encontre a transformação linear: TA:R3→R2




 1
5
42
31A
Sejam as bases canônicas do R2 e do R3:
={(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1) e ’={(1,0),(0,1)}.
Seja ainda a matriz:
39
Encontre a transformação linear: TA:R3→R2
Seja u um vetor do R3,









z
y
x
u Então TA(u) = A.u:

















 zyx
zyx
z
y
x
zyx 42
53
1
5
42
31),,(TA
TA(x,y,z) = (x – 3y +5z, 2x + 4y – z )
Transformações Lineares de Matrizes
Exemplo 2:
Encontre
Seja : TA:R3→R2
TA(x,y,z) = (2x + y – z, 3x – 2y + 4z )
E as bases
 ={(1,1,1),(1,1,0), (1,0,0)} e ’ ={(1,3),(1,4)}.
  'T
40
TA(1,1,1) = (2.1 + 1 – 1 , 3.1 – 2.1 +4.1 ) = (2, 5) = 3.(1,3) – 1.(1,4)
TA(1,1,0) = (2.1 + 1 – 0 , 3.1 – 2.1 +4.0 ) = (3, 1) = 11.(1,3) – 8.(1,4)
TA(1,0,0) = (2.1 + 0 – 0 , 3.1 – 2.0 +4.0 ) = (2, 3) = 5.(1,3) – 3.(1,4)
Encontre   'T
Então,
  


 381
5113T '
Transformações Lineares de Matrizes
Exemplo 3:
Encontre
Seja : TA:R3→R2
T(x,y,z) = (2x + y – z, 3x – 2y + 4z )
E as bases
 ={(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1)} e ’ ={(1,0),(0,1)}.
  'T
41
T(1,1,1) = (2.1 + 0 – 0 , 3.1 – 2.0 +4.0 ) = (2, 3) = 2.(1,0) + 3.(0,1)
T(1,1,0) = (2.0 + 1 – 0 , 3.0 – 2.1 +4.0 ) = (1, –2) = 1.(1,0) – 2.(0,1)
T(1,0,0) = (2.0 + 0 – 1 , 3.0 – 2.0 +4.1 ) = (–1, 4) = –1.(1,0) + 4.(0,1)
Encontre   'T
Então,
  



 423
112T '
Transformações Lineares de Matrizes
Exemplo 4:
Sejam as bases:  ={(1,1),(0,1)} e ’ ={(0,3,0),(1,0,0), (0,1,1)},
encontre a transformação T: R2  R3, cuja matriz vale:
 










3
0
2
1
1
0
T '
42
T(1,1) = 0.(0, 3, 0) – 1.(–1, 0, 0) – 1.(0, 1, 1) = (1, –1, –1)
T(0,1) = 2.(0, 3, 0) + 0.(–1, 0, 0) + 3.(0, 1, 1) = (0, 9, 3)
 










3
0
2
1
1
0
T '
Transformações Lineares de Matrizes
Exemplo 4 (continuação):
Podemos escrever um vetor v = (x,y) do R2 na base  como:
(x,y) = a(1,1) + b(0,1) a = x e b = y  x
(x,y) = x(1,1) + (y  x)(0,1)
Aplicando a Transformação linear T:
T(x,y) = T[x(1,1) + (y  x)(0,1)] = T[x(1,1)] + T[(y  x)(0,1)]
= x.T(1,1) + (y  x).T(0,1)
= x.(1, –1, –1) + (y  x).(0, 9, 3)
= (x, – 10x – 9y , – 4x – 3y)
43
Podemos escrever um vetor v = (x,y) do R2 na base  como:
(x,y) = a(1,1) + b(0,1) a = x e b = y  x
(x,y) = x(1,1) + (y  x)(0,1)
Aplicando a Transformação linear T:
T(x,y) = T[x(1,1) + (y  x)(0,1)] = T[x(1,1)] + T[(y  x)(0,1)]
= x.T(1,1) + (y  x).T(0,1)
= x.(1, –1, –1) + (y  x).(0, 9, 3)
= (x, – 10x – 9y , – 4x – 3y)Transformações Lineares de Matrizes
• Seja T:V→V uma transformação linear e  e  bases de
V então:
 [T] = [ I ] [T] [ I ]
• Lembrando que [ I ] = ([ I ])-1 e chamando [ I ] = A,temos que
 [T] =A . [T] . A-1
• Nesse caso, dizemos que as matrizes [T] e [T] sãosemelhantes.
44
• Seja T:V→V uma transformação linear e  e  bases de
V então:
 [T] = [ I ] [T] [ I ]
• Lembrando que [ I ] = ([ I ])-1 e chamando [ I ] = A,temos que
 [T] =A . [T] . A-1
• Nesse caso, dizemos que as matrizes [T] e [T] sãosemelhantes.
Exercícios Sugeridos
• Problemas Sugeridos: 2, 3, 4, 6, 7, 11, 14, 19, 20 e 23
45