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AD1 - Questa˜o 2 - Resoluc¸a˜o a) (1.0 pt) Considere a proposic¸a˜o composta: “Ana e´ elegante, ou Ana e´ loira e baixa.”. Vamos supor que: “Ana na˜o e´ elegante”. i) Escreva as proposic¸o˜es simples envolvidas na proposic¸a˜o composta acima, designando para cada uma delas uma letra diferente. ii) Usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas no item i), reescreva a proposic¸a˜o composta e a suposic¸a˜o. iii) Analisando a proposic¸a˜o composta e a suposic¸a˜o dadas, marque a afirmac¸a˜o que e´ verdadeira: ( ) Ana na˜o e´ loira e na˜o e´ baixa ( X ) Ana na˜o e´ loira ou baixa ( ) Ana e´ loira e na˜o e´ baixa ( X ) Ana e´ loira ou baixa ( X ) Ana e´ loira e baixa Soluc¸a˜o: i) Proposic¸o˜es simples: p: Ana e´ elegante; q: Ana e´ loira; r: Ana e´ baixa; ii) Proposic¸a˜o composta: p ∨ (q ∧ r) (Ana e´ elegante, ou Ana e´ loira e baixa.) Suposic¸a˜o: ∼ p (Ana na˜o e´ elegante ) iii) Pela suposic¸a˜o sabemos que ∼ p e´ verdadeira, logo, p e´ falsa. Como uma disjunc¸a˜o so´ e´ verdadeira quando pelo menos uma das duas proposic¸o˜es e´ ver- dadeira segue de p ∨ (q ∧ r) que (q ∧ r) e´ verdadeira. E como uma conjunc¸a˜o e´ verdadeira, se as duas proposic¸o˜es envolvidas sa˜o verdadeiras, segue de (q ∧ r) que q e r sa˜o verdadeiras. Ou seja, “Ana e´ loira” e “Ana e´ baixa” sa˜o verdadeiras. Disso resulta que: • “Ana na˜o e´ loira” e´ falsa. • “Ana na˜o e´ baixa” e´ falsa. Consequentemente, • “Ana na˜o e´ loira e na˜o e´ baixa” e´ falsa. • “Ana na˜o e´ loira ou baixa” e´ verdadeira. • “Ana e´ loira e na˜o e´ baixa” e´ falsa. • “Ana e´ loira ou baixa” e´ verdadeira. • “Ana e´ loira e baixa” e´ verdadeira. Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 2 2 b) (1.5 pt) Numa situac¸a˜o idealizada entre dois estabelecimentos comerciais, A e B, para a venda de x unidades de um produto, sabe-se que os lucros dos estabelecimentos A e B sa˜o medidos, respectivamente, por LA = x ( 1 2 + 3 ) e LB = 5 ( 27 5 − 2x ) , i) Determine a quantidade vendida pelo estabelecimento A, quando o lucro dele e´ de 140 reais. ii) Determine para que quantidade vendida do produto, o lucro do estabelecimento A e´ igual ao lucro do estabelecimento B. Soluc¸a˜o: i) A fim de determinar a quantidade x vendida pelo estabelecimento A, quando LA e´ igual a 140 reais, temos de resolver a equac¸a˜o 140 = x ( 1 2 + 3 ) ⇐⇒ 140 = x ( 1 2 + 6 2 ) ⇐⇒ 140 = x ( 7 2 ) ⇐⇒ 280 = 7x ⇐⇒ 7x = 280 ⇐⇒ x = 280 7 ⇐⇒ x = 40. Portanto, o estabelecimento A vende uma quantidade de 40 unidades do produto, quando o lucro deste estabelecimento e´ de 140 reais. ii) Para determinar a quantidade vendida x, para que o lucro LA do estabelecimento A seja igual ao lucro LB do estabelecimento B, temos de resolver a equac¸a˜o Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 2 3 LA = LB ⇐⇒ x ( 1 2 + 3 ) = 5 ( 27 5 − 2x ) ⇐⇒ x ( 7 2 ) = 27− 10x ⇐⇒ 7x 2 = 27− 10x ⇐⇒ 7x = 54− 20x ⇐⇒ 7x+ 20x = 54 ⇐⇒ 27x = 54 ⇐⇒ x = 54 27 ⇐⇒ x = 2. Portanto, o lucro do estabelecimento A e´ igual ao do estabelecimento B quando forem vendi- das 2 unidades do produto. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ