AULA 14 AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR

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AULA 14 - AUTOVALORES E AUTOVETORES
INTRODUÇÃO
Dado um operador linear T: V ( V, estaremos interessados, em saber quais vetores são levados em um múltiplo de si mesmo, isto é, procuraremos um vetor v ( V e um escalar ( ( R tais que: 
T(v) = ( v (I)
                                                                                                                         
Neste caso T(v) será um vetor de mesma "direção" que v, ou melhor, T(v) e v estão sobre a mesma reta suporte. 
            Como v = 0 satisfaz a equação ( I ) para todo ( , estaremos interessados em determinar v ( 0 que satisfaça a condição acima. 
DEFINIÇÃO
Seja T: V ( V um operador linear e V um espaço vetorial. Um vetor v ( V, e v ( 0 é um autovetor (vetor próprio) do operador T se existe um ( ( R, denominado autovalor (valor próprio) tal que:
Exemplos
1) Seja T: R2 ( R2 / T(x,y) = (4x + 5y, 2x + y), verifique se v1 = (5,2) e v2 = (1,1) são autovetores de T. 
2) Seja T: R3 ( R3 / T(x,y,z) = (-x,-y, -z), qual é o autovalor associado ao autovetor?
De agora em diante vamos considerar apenas espaços vetoriais V = Rn e a transformação definida por T: Rn ( Rn / T(v) = Av, onde A é uma matriz quadrada de ordem n. Por definição, se v ( 0 é um autovetor de T se:
T(v) = Av = (v ou Av - (v = 0 ou (Av - (Iv) = 0
(A - (I)v = 0 (sistema linear homogêneo)
Como queremos as soluções não nulas do sistema homogêneo coloca-se a condição:
det(A - (I) = 0, pois v ( 0.
A equação det(A - (I) é denominada equação característica da matriz A e as raízes ( são os autovalores da matriz A. O determinante det(A - (I) é um polinômio de variável (, denominado de polinômio característico.
Os autovetores de A
Determinando as raízes de ( do polinômio característico então os autovetores podem ser determinados pela equação Av = (v.
Exemplos
1) Seja 
 uma matriz de transformação linear, determine os autovalores e os autovetores de A.
2) Determine os autovalores e os autovetores do operador linear T: R3 ( R3 / 
T(x,y,z) = (3x – y + z,-x + 5y - z, x – y + 3z) 
3) Seja 
 uma matriz de transformação linear, determine os autovalores e os autovetores de A.
 
4) Verificar se os vetores dados são vetores próprios das correspondentes matrizes.
a) v = (-2,1) , 
b) v = (1,1,2) , 
c) v = (-2,1,3) , 
DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES LINEARES
Nosso objetivo é encontrar uma base de V na qual a representação matricial de T seja a mais simples possível, isto é, uma matriz diagonal.
Um operador linear é diagonalizável se pudermos formar uma base em V com os autovetores de T.
Exemplos
1) Verificar se T é diagonalizável, e se for determinar a matriz diagonal que representa T.
a) T:R2 (R2 / T(x,y) = (x + y, 2y)
b) T:R2 (R2 / T(x,y) = (-3x + 4y, -x + 2y)
c) T:R3 (R3 / T(x,y,z) = (2x + y, y – z, 2y + 4z)
APLICAÇÃO DE AUTOVALORES E AUTOVETORES
Uma membrana elástica, limitada pela circunferência x2 + y2 = 1 é deformada de forma que o ponto vetor P(x,y) é levado ao ponto Q(x,y), de acordo com a TL 
, calcule os autovalores e os autovetores da TL e esboce a forma final da membrana
LISTA DE EXERCÍCIOS DE AUTOVALORES E AUTOVETORES
1) Seja o operador linear T: R2 ( R2 definido por T(x,y) = (2x + 9y, x + 2y). Determine [T] matriz canônica de T, e a seguir use a relação [T]B = P-1[T]P para transformá-la na matriz de T na base B = {(3,1), (- 3,1)}.
2) Considere o R2 com produto interno usual. Verifique que a rotação do plano de um ângulo ( dada por T(x,y) = (x.cos ( - y.sen (, x.sen ( + y.cos () é ortogonal. 
Uma matriz A é ortogonal se A é inversível e sua inversa é igual à sua transposta, isto é: 
A-1 = At
3) Encontre o polinômio característico de cada matriz:
 
 
 
 
4) Para as matrizes a seguir encontre os autovalores e os autovetores associados:
 
 
 
 
5) Verifique se ( = - 2 é autovalor da matriz 
6) Verifique se é verdadeiro que 
 é um autovetor para 
?
7) É verdadeiro que 
 é autovetor de 
? Caso seja, determine o autovalor.
8) Achar os valores e vetores próprios da matriz 
 e dizer se ela é diagonalizável.
9) Diagonalize as seguintes matrizes, se possível:
 
RESPOSTAS
1) 
2) 
3) a) - (3 + 4(2 + 13( - 28 = 0 b) - (3 + 10(2 - 2( - 85 = 0 c) (2 - 7( + 16 = 0
4) a) (1 = 2 e (2 = 3 v1 = x(1,-1) x ( 0 e v2 = x(1,-2) x ( 0
b) (1 = (2 = (3 = 0 v1 = (1,0,0)
c) (1 = 2 v1 = (1,1,-4) ; (2 = - 1 v2 =(0,-1,1) ; (3 = 3 v3 = (0,0,1)
d) (1 = 1 v1 = (1,0,0,0) ; (2 = - 1 v2 =(-1,1,0,0) (3 = 3 v3 = 
 
(4 = 2 v4 = 
5) ( = - 2 , sim
6) não
7) ( = - 2 , sim
8) (1 = 2 , (2 = 2 e (3 = - 4 para (1 = (2 = 2 v1 = (1, -1, 1) para (3 = - 4 v2 = (1, -1,0) não é diagonalizável.
9) a) 
 b) não é diagonalizável
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