EP1- Gabarito

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EP1- Gabarito 
1) Represente os conjuntos abaixo, listando os seus elementos. 
 
A = {xN| x é ímpar e 1 < x < 15} 
Solução: Como os elementos de A são os números ímpares compreendidos entre 
1 e 15, temos: A = {3, 5, 7, 9, 11, 13} 
 
B = {xN| x < 3} 
Solução: Os elementos de B são os números naturais menores do que 3, logo 
B = {0, 1, 2}. 
 
C = {xZ | x  -5} 
Solução: Os elementos de C são os números inteiros maiores do que ou iguais a 
-5, daí temos C = {-5, -4, -3, -2, -1, 0 ,1, 2, 3, ...} 
 
D = {x Z| -3 < x ≤ -1} 
Solução: Os elementos de D são os números inteiros compreendidos entre -3 e 
-1 e o próprio -1. Logo, D = { -2, -1} 
 
E = {x Z | x2 = 4} 
Solução: Como (-2)2 = (-2) . (-2) = 4 e 22 = 2.2 = 4 temos que E = {-2, 2}. 
 
2) Descreva cada conjunto abaixo, por meio de uma propriedade. 
 
A = {0, 2, 4, 6, 8, ...} 
Solução: A = {xN; x é par} 
Outra solução: A = { x Z ; x > -1 e x é par} 
Note que têm infinitas maneiras de responder. 
 
B = { } 
Solução: B = {xN; x < 0} 
Outra solução: B = { x  Z ; 0 < x < 1 } 
Note que aqui também, têm infinitas maneiras de responder. 
 
C = {-10, -5, 0 ,5, 10} 
Solução: C = {xZ| x é múltiplo de 5 e -11< x < 11} 
 
 
D = { 2 } 
Solução: D = {xN | x 2 = 4} 
Outra solução: D = {x  Z | 1 < x < 3} 
Note que têm infinitas maneiras de responder. 
 
E = { -3, 3} 
Solução: E = {xZ | x 2 = 9} 
 
3) Considere o conjunto A = {x Q; x > 1}. Com relação a este conjunto, diga se as 
afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas. 
a) A






10
25
,
9
12
,2 
Solução: Verdadeira. 
 2 é um número inteiro e portanto é um número racional. Como 2 > 1 temos 
que 2 é um elemento de A. 
...333,1
9
12
 logo é um número racional maior do que 1, ou seja, é um 
elemento de A. 
5,2
10
25
 logo também é um número racional maior do que 1 e pertence ao 
conjunto A. 
Assim, todos os elementos do conjunto dado são elementos de A e portanto o 
conjunto está contido em A. 
 
b) A2 
Solução: Verdadeira, pois 2 é um número irracional e A é um conjunto de 
números racionais. 
 
c) A
2
3
 
Solução: Falsa, 5,1
2
3
 logo é um número racional ( pois está escrito na forma 
de fração com numerador e denominador inteiros) e é maior do que 1. Portanto 
pertence ao conjunto A. 
 
d) {xN; x < 0} A 
Solução: Verdadeira, pois {xN; x < 0} = e  A qualquer que seja o 
conjunto A 
. 
e) {xZ; x > 0} A 
Solução: Falsa, pois 1{xZ; x > 0} mas 1A, já que 1 não é maior do que 
1. 
 
4) Escreva os números racionais na forma decimal. (Lembre-se que para obter a 
representação decimal de um número racional 
q
p
basta fazer a divisão de p por q) 
a) 
4
1
 = - 0,25 
 b) 
100
7
 = 0,07 
 c) 
8
1
 = - 0,125 
 
 d) 
50
70
= 1,4 
 e) 
3
5
 = - 1,6666... 
 
5) Agora faça o contrário, escreva os números racionais na forma fracionária. 
Neste exercício existe mais de uma resposta. Lembre-se de frações equivalentes. 
 
a) -0,08 = 
100
8
 = 
25
2
50
4 


 
b) 1,5 = 
10
15
 = 
2
3
 
c) -2,25 = 
4
9
20
45
100
225 




 
d) 0,8888... = 
9
8
 
Aqui temos o período, que é a parte que repete, neste caso é o número 8, sobre 
quantos algarismos nove for a quantidade de algarismos do período, neste caso 
um algarismo nove. Assim a geratriz da dízima será 
9
8
. 
 
Você deve estar se perguntando por que 9? 
Vejamos outra forma de encontrar a geratriz da dízima periódica: 
 
Escrevemos x = 0,888... 
Multiplicamos ambos os lados desta igualdade por 10 (porque o período possui 
um algarismo, se fosse dois algarismos seria por 100, três algarismos por 1000, 
etc) 
10 x = 8,888.... 
Agora subtraímos desta igualdade a primeira igualdade: 
10 x = 8,888... 
- x = 0,888... 
___________________ 
 9x = 8 
 Logo: x = 
9
8
 
 
e) 1,131313.... = 1
99
112
99
13
 
 
Primeiro separamos a parte inteira da decimal: 1 + 0,131313... 
O período é 13, tem dois algarismos, logo a fração geratriz da dízima será 13 sobre 
99. Podemos escrever na forma de número misto como acima ou efetuar a soma: 
1 + 
99
112
99
1399
99
13


 
Vejamos outra forma de encontrar a geratriz da dízima periódica: 
Escrevemos x = 1,131313... 
Multiplicamos ambos os lados desta igualdade por 100. 
100 x = 113,131313.... 
Agora subtraímos desta igualdade a primeira igualdade: 
100 x = 113,131313... 
- x = 1,131313.... 
___________________ 
 99 x = 112 
 Logo: x = 
99
112
 
 
6) Escreva os conjuntos abaixo na notação de intervalo e represente-os na reta real: 
 Solução: 
a) {xR| 1 < x < 5} = (1, 5) 
 Ou ]1, 5[ 
 
 Representação: 
 ______________________ 
 1 5 
 
b) {xR| x < 3} = (-∞, 3) 
 Ou ]-∞ , 3[ 
 Representação: 
 
 
 3 
c) {xR| x  -5} = [-5, +∞) 
 Ou [-5, + ∞[ 
 Representação: 
 
 
 -5 
 
 
d) {x R| -3 < x 
3
2
 } = ]−3,
2
3
] 
 Representação: 
 ______________________ 
 -3 2/3 
 
 
 
e) {xR| x  2 } = (-∞, 2 ] 
 Representação: 
 
 
 2 
 
 
7) Agora faça o contrário, escreva os intervalos abaixo usando a notação de chaves 
para conjuntos: 
Solução: 
a) [ -2, 6] = {x R | -2  x  6} 
 
b) (-∞, π) = {x R | x < π } 
 
c) (- 
2
1
, 8] = {x R | -
2
1
< x  8 } 
 
d) [5, +∞) = {x R | x  5} 
 
 
e) (-1, 1) = {x R | -1 < x < 1 } 
 
8) A variável x descreve o lucro que uma cidade do Rio de Janeiro espera obter com 
o turismo durante o próximo carnaval. O departamento financeiro da secretaria de 
turismo desta cidade estimou um lucro de pelo menos 4 milhões de reais. Descreva 
esta previsão usando linguagem matemática. 
Solução: 
Devemos ter 4x ( em que a unidade é milhões de reais). 
Assim x deverá pertencer ao intervalo ),4[  . 
Em linguagem matemática: ),4[ x . 
 
9) Desenhe uma reta. Marque sobre ela um segmento de medida 10 cm. Chame as 
extremidades desse segmento de 0 e 1. Localize nesse segmento os pontos que 
representam os números racionais: 
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 
Localize nesse segmento os pontos que representam os números racionais; 
a = 0,33333... e b = 0,373737.. 
localize também o ponto que representa o número irracional 
 c = 0,35335333533335... 
Solução: 
 || | | | | | | | | | 
 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 
 
 a c b 
 
10) 
a) Coloque em ordem crescente os seguintes números reais: 
3
2
; 0,6; 0,626262...; 0,678910111213... 
Solução: 
Colocar em ordem crescente é escrever os números em uma sequência, do 
menor para o maior. 
Temos que 
3
2
= 0,6666... 
Tomando os quatro números reais dados na forma decimal podemos observar 
que eles possuem as partes inteiras iguais como também são iguais as suas 
primeiras casas decimais. Portanto tomando a segunda casa decimal temos que: 
0,60 < 0,62 < 0,66 < 0,67 e por isso temos 0,6 < 0,626262... < 0,6666... < 
0,678910111213.... 
 
b) Coloque em ordem decrescente os números reais abaixo: 
0; -
4
1
; - 0,7; 
3
2
; - 0,515115111... 
Solução: 
Colocar em ordem decrescente é escrever os números em uma sequência, do 
maior para o menor. Sabemos que o 0 (zero) é maior do que qualquer número 
negativo. 
Vamos comparar os outros números na forma decimal. Temos que: 
 -
4
1
 = - 0,25 e 
3
2
 = - 0,666... Portanto os números dados possuem as 
mesmas partes inteiras e as primeiras casas decimais são todas diferentes. Assim 
consideramos a primeira casa decimal para fazer a comparação: 
- 0,2 > - 0,5 > - 0,6 > - 0,7 
Logo temos a seguinte sequência: 
0 > - 0,25 > - 0,515115111... > - 0,666... > - 0,7