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�PAGE � �PAGE �2� 01 ZERO DE FUNÇÕES - 1 INTRODUÇÃO� A resolução de problemas com métodos numéricos envolve as seguintes fases: Os resultados obtidos dependem: ( da precisão dos dados de entrada ( da forma como estes dados são representados no computador ( das operações numéricas efetuadas ERRO ABSOLUTO: Definimos erro absoluto a diferença entre o valor exato de um número x e de seu valor aproximado : . ERRO RELATIVO: É definido como o erro absoluto dividido pelo valor aproximado: ZEROS REAIS DE FUNÇÕES� Nas mais diversas áreas das ciências exatas ocorrem, frequentemente, situações que envolvem a resolução de uma equação do tipo f(x) = 0. As equações algébricas de 1º e 2º graus, algumas de 3º e 4º graus e algumas equações transcendentes podem ter suas raízes calculadas exatamente através de métodos analíticos, mas para polinômios de grau superior a quatro e para a maioria das equações transcedentes o problema só pode ser resolvido por métodos que aproximam as soluções. Um número real ( é um zero da função f(x) ou uma raiz da equação f(x) = 0 se f(() = 0. Graficamente, os zeros reaias são representados pelas abcissas dos pontos onde uma curva intercepta o eixo �� EMBED Equation.3 . A idéia central dos métodos para se obter as raízes reais de uma equação qualquer é partir de uma aproximação inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximação através de um processo iterativo. Por isso, os métodos constam de duas fases: Fase I: Localização ou isolamento das raízes, que consiste em obter um intervalo que contém a raiz. Fase II: Refinamento, que consiste em, escolhidas aproximações iniciais no intervalo encontrado na Fase I, melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão ( prefixada. FASE I: ISOLAMENTO DAS RAÍZES Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função f(x). Teorema: Seja f(x) uma função contínua num intervalo [a, b]. Se f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = ( entre a e b que é zero de f(x). Além disso, se f´(x) não muda de sinal em [a, b] então ( é a única raiz de f(x) nesse intervalo. Observação: Sob as hipóteses do teorema anterior, se f´(x) existir e preservar sinal em (a, b), então este intervalo contém um único zero de f(x). Uma forma de se isolar as raízes de f(x) usando os resultados anteriores é tabelar f(x) para vários valores de x e analisar as mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos intervalos em que f(x) mudou de sinal. EXEMPLO: a) x –100 –10 –5 –3 –1 0 1 2 3 4 5 f(x) – – – + + + – – + + + I1 = [–5, –3] I2 = [0, 1] I3 = [2, 3] b) Temos que D(f) = R+ x 0 1 2 3 f(x) – – + + I = [1, 2] Como podemos concluir que f(x) tem um único zero em todo o seu domínio, e este zero está no intervalo [1, 2]. Observação: Se f(a)f(b) > 0 então podemos ter várias situações no intervalo [a, b], conforme mostram os gráficos. Outro método para se localizar os intervalos onde se encontram as raízes da função é o seguinte: A partir da equação f(x) = 0, obter a equação equivalente g(x) = h(x), esboçar os gráficos das funções g(x) e h(x) no mesmo eixo cartesiano e localizar os pontos x ondes as duas curvas se interceptam, pois neste caso f(() = 0 ( g(() = h(() EXEMPLO: a) b) c) ou ( FASE II: REFINAMENTO Os métodos numéricos de refinamento de raiz pertencem à classe dos métodos iterativos. Um método iterativo consiste em uma sequência de instruções que são executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos. Critérios de Parada: Todos os testes iterativos para obter zero de funções efetuam um teste para verificar se xk está suficientemente próximo da raiz exata. Dizemos que é a raiz aproximada com precisão ( se: a) ou b) Como não conhecemos (, o objetivo é reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração, de modo a se conseguir um intervalo [a, b] tal que: ( ( [a, b] e (b – a) < ( então .Portanto, qualquer x ( [a, b] pode ser tomado como . Nem sempre é possível ter as duas exigências anteriores satisfeitas simultaneamente, como podemos ver nos gráficos a seguir: MÉTODO DA BISSECÇÃO Seja a função f(x) contínua no intervalo [a, b] e tal que f(a)f(b) < 0. Vamos supor, para simplificar, que o intervalo (a, b) contenha uma única raiz da equação f(x) = 0. O objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até se atingir a precisão requerida: (b – a) < (, usando para isto a sucessiva divisão de [a, b] ao meio Graficamente: As iterações são realizadas da seguinte forma: ( ( ( EXEMPLO: I = (2, 3): ( ( ALGORITMO Seja f(x) contínua em [a, b] e tal que f(a)f(b)<0. 1) Dados iniciais: a) intervalo inicial [a, b] b) precisão ( 2) Se (b – a) < (, então escolha para qualquer x ( [a, b]. FIM. 3) K = 1 4) M = f(a) 5) 6) Se Mf(x) > 0, faça a = x. Vá para o passo 8. 7) b = x 8) Se (b – a) < (, então escolha para qualquer x ( [a, b]. FIM. 9) K = K + 1. Volte para o passo 4. Terminado o processo, teremos um intervalo [a, b] que contém a raiz (e tal que (b –a) < () e uma aproximação para a raiz exata. EXEMPLO: I = [0, 1] ( = 10-3 Iteração x a b f(a) f(x) f(b) b-a 0 0,5 0 1 3 -1,375 -5 1 1 0,25 0 0,5 3 0,765625 -1,375 0,5 2 0,375 0,25 0,5 0,765625 -0,322266 -1,375 0,25 3 0,3125 0,25 0,375 0,765625 0,2180176 -0,322266 0,125 4 0,34375 0,3125 0,375 0,2180176 -0,053131 -0,322266 0,0625 5 0,328125 0,3125 0,34375 0,2180176 0,0822029 -0,053131 0,03125 6 0,3359375 0,328125 0,34375 0,0822029 0,0144744 -0,053131 0,015625 7 0,3398438 0,3359375 0,34375 0,0144744 -0,019344 -0,053131 0,0078125 8 0,3378906 0,3359375 0,3398438 0,0144744 -0,002439 -0,019344 0,0039063 9 0,3369141 0,3359375 0,3378906 0,0144744 0,0060169 -0,002439 0,0019531 10 0,33740234 0,3369141 0,3378906 0,0060169 0,0017889 -0,002439 0,0009766 EXERCÍCIOS Encontrar a raiz das funções a seguir: a) ( ( (1, 2) ( = 10-4 Resposta: = 1,44741821 14 Iterações b) ( ( (1, 2) ( = 10-6 Resposta: = 1,324718 20 Iterações c) ( ( (0, 1) ( = 10-5 Resposta: = 0,370555878 17 Iterações d) ( ( (2, 3) ( = 10-7 Resposta: = 2,506184413 24 Iterações MÉTODO DA POSIÇÃO FALSA Seja f(x) contínua no intervalo [a, b] e tal que f(a)f(b)<0. Supor que o intervalo (a, b) contenha uma única raiz da equação f(x) = 0. Em vez de tomar a média aritmética entre a e b, o método da posição falsa toma a média aritmética ponderada entre a e b com pesos f(b) e f(a), respectivamente: --------------------------------------------------------------------------------------------------------Demonstração: Seja a reta r(x) = Ax + B que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Logo ( ( em (i) ( quando r(x) intercepta , r(x) = 0 -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Graficamente, este ponto x é a intersecção entre o eixo OX e a reta r(x) que passa por (a, f(a)) e (b, f(b)): E as iterações são feitas assim: EXEMPLO: O Método da posição falsa aplicado a xlog(x) – 1 em [a0, b0] = [2, 3], fica: ( Como f(a0) e f(x0) tem o mesmo sinal, a1 = x0 = 2,4798 f(a1) = –0,0219 < 0 b1 = b0 = 3 f(b1) = 0,4314 > 0 ( Como f(a1) e f(x1) tem o mesmo sinal, a2 = x1 = 2,5049 b2 = b1 = 3 ALGORITMO Seja f(x) contínua em [a, b] e tal que f(a)f(b)<0. 1) Dados iniciais: a) intervalo inicial [a, b] b) precisôes (1 e (2 2) Se (b – a) < (1, então escolha para qualquer x ( [a, b]. FIM. escolha a ou b como . FIM. 3) K = 1 4) M = f(a) 5) 6) Se escolha = x. FIM. 7) Se Mf(x) > 0, faça a = x. Vá para o passo 9. 8) b = x 9) Se (b – a) < (1, então escolha para qualquer x ( [a, b]. FIM. 10) K = K + 1. Volte para o passo 4. EXEMPLO: I = [0, 1] (1 = (2 = 5x10-4 Iteração x a b f(a) f(x) f(b) b-a 0 0,375 0 1 3 -0,322266 -5 1 1 0,3386243 0 0,375 3 -0,00879 -0,322266 0,375 2 0,337635 0 0,3386243 3 0,000226 -0,00879 0,3386243 EXERCÍCIOS Encontrar a raiz das funções a seguir: a) ( ( (1, 2) ( = 10-4 Resposta: = 1,44735707 6 Iterações b) ( ( (1, 2) ( = 10-6 Resposta: = 1,324718 17 Iterações c) ( ( (0, 1) ( = 10-5 Resposta: = 0,370558828 8 Iterações d) ( ( (2, 3) ( = 10-7 Resposta: = 2,50618403 5 Iterações Problema Real Levantamento de Dados Construção do Modelo Matemático Escolha do Método Numérico Adequado Implementação Computacional Deste Método Análise dos Resultados Obtidos Se Necessário: Reformular o Modelo Matemático e / ou Escolher Novo Método Numérico f(x) x (1 (2 (3 (1 (2 f(x) x (1 (3 (2 f(x) x a b ( f(x) x a b b (1 a (2 f(x) x a ( f(x) x b � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� a a ( f(x) x b (1 f(x) x b (2 (1 ( a f(x) x b a f(x) x b a ( f(x) x b ( x ( f(x) x f(x) � EMBED Equation.3 ���( � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ���( � EMBED Equation.3 ��� ( f(x) x � EMBED Equation.3 ���( � EMBED Equation.3 ��� f(x) x � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� x1 x2 x0 a2 a3 ( ( f(x) x ( y x f(x) a r(x) x b a0 f(x) a2 a1 x0 x1 b2 x1 b2 b0 b1 x2 _1133093762.unknown _1136095569.unknown _1136098256.unknown _1141710034.unknown _1141716012.unknown _1142319041.unknown _1141716740.unknown _1141716905.unknown _1141716345.unknown _1141715133.unknown _1141715104.unknown _1136098623.unknown _1136098911.unknown _1136099075.unknown _1136099246.unknown _1136098690.unknown _1136098391.unknown _1136095992.unknown _1136098045.unknown _1136098077.unknown _1136096083.unknown _1136095709.unknown _1136095925.unknown _1136095611.unknown _1133094987.unknown _1136095128.unknown _1136095262.unknown _1136095344.unknown _1136095172.unknown _1136094869.unknown _1136095113.unknown _1133094337.unknown _1133094534.unknown _1133094599.unknown _1133094872.unknown _1133094456.unknown _1133093797.unknown _1133094251.unknown _1133093777.unknown _1133076142.unknown _1133089489.unknown _1133093548.unknown _1133093691.unknown _1133093711.unknown _1133093678.unknown _1133093414.unknown _1133093453.unknown _1133091511.unknown _1133092804.unknown _1133092988.unknown _1133093280.unknown _1133092931.unknown _1133091688.unknown _1133091138.unknown _1133091218.unknown _1133079400.unknown _1133088395.unknown _1133089048.unknown _1133089127.unknown _1133088530.unknown _1133087766.unknown _1133076231.unknown _1133078721.unknown _1133079046.unknown _1133078686.unknown _1133076194.unknown _1114324396.unknown _1114324539.unknown _1133075768.unknown _1133075828.unknown _1114324633.unknown _1133075756.unknown _1114324623.unknown _1114324471.unknown _1114324511.unknown _1114324433.unknown _1114258470.unknown _1114258563.unknown _1114324348.unknown _1114324358.unknown _1114324316.unknown _1114258486.unknown _1114258070.unknown _1114258198.unknown _1114258259.unknown _1114258207.unknown _1114258160.unknown _1114258058.unknown _1114257659.unknown
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